15.3等腰三角形15．3.1等腰三角形第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)教師備課素材示例●懸念激趣(1)如圖是一組含有等腰三角形的生活圖片，這些圖片有哪些共同點(diǎn)？(2)將一把等腰三角尺和一個(gè)鉛錘按圖放置，就能檢查一根橫梁是否水平，你知道為什么嗎？要想解決這個(gè)問題我們需要先研究等腰三角形具有哪些性質(zhì)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：活躍課堂氣氛，讓學(xué)生帶著問題進(jìn)入學(xué)習(xí)，也為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．建議：盡量給學(xué)生制造疑問，如怎樣檢查一根橫梁是否水平；測平儀能測平的道理是什么等．●歸納導(dǎo)入問題1：如圖①，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點(diǎn)？你能畫出具有這種特點(diǎn)的三角形嗎？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))學(xué)生動手操作，從剪出的圖形觀察△ABC的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)AB＝AC.【歸納】有兩邊相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊叫作腰，另一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，底邊和腰的夾角叫作底角（如圖②）．問題2：把問題1中剪下的△ABC沿折痕AD對折，找出其中重合的線段和角，你能填好下表嗎？重合的線段重合的角AB＝AC∠B＝∠CBD＝CD∠BAD＝∠CADAD＝AD∠ADB＝∠ADC從上表中你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么性質(zhì)嗎？（引入課題）【教學(xué)與建議】教學(xué)：創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，歸納等腰三角形的性質(zhì)．建議：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）；性質(zhì)2：等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合（簡寫成“三線合一”）.·命題角度1利用等腰三角形的定義（兩邊相等）解決問題當(dāng)已知邊沒有確定為底邊或腰時(shí)，要分情況討論求解，并注意三角形的三邊關(guān)系這一隱含條件．【例1】一個(gè)等腰三角形的一邊長為2cm，另一邊長為5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長是(B)A．9cmB．12cmC．9cm或12cm D．以上都不對【例2】等腰三角形的底邊長為8cm，一腰上的中線把這個(gè)三角形分成周長差為2cm的兩部分，則腰長為6cm或10cm.·命題角度2利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角度計(jì)算(1)在等腰三角形中，當(dāng)已知銳角不能確定是頂角還是底角時(shí)，需分類討論；(2)在等腰三角形中，已知的直角或鈍角只能是頂角，不需分類討論．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在CA的延長線上，DE⊥BC于點(diǎn)E，∠BAC＝100°，則∠D等于(B)A．40°B．50°C．60°D．80°【例4】等腰三角形的一個(gè)角是30°，則這個(gè)等腰三角形的底角為(C)A．75°B．30°C．75°或30°D．不能確定【例5】等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為60°或120°.·命題角度3利用等腰三角形的性質(zhì)證明有關(guān)結(jié)論(1)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)在證全等三角形時(shí)可以得到等角；(2)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可以用來證明角相等、線段相等和線段垂直．【例6】如圖，已知AB＝AC，BD⊥AC于點(diǎn)D.求證：∠BAD＝2∠DBC.證明：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2.∵BD⊥AC于點(diǎn)D，∴∠BDC＝90°.∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.∴∠DBC＝∠2.∴∠BAD＝2∠DBC.【例7】如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE.求證：BD＝CE.證明：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P.∵AB＝AC，∴BP＝PC.∵AD＝AE，∴DP＝PE.∴BP－DP＝PC－PE.∴BD＝CE.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．探索并證明等腰三角形的性質(zhì)．2．運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等．3．體會軸對稱在研究幾何問題中的作用．▲重點(diǎn)理解和掌握等腰三角形的性質(zhì)．▲難點(diǎn)等腰三角形性質(zhì)證明中輔助線的添加和對“三線合一”的理解．◆活動1新課導(dǎo)入教師預(yù)先作出各種幾何圖形，包括圓、長方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等邊三角形．讓同學(xué)們搶答哪些是軸對稱圖形，提問什么是軸對稱圖形，什么樣的三角形才是軸對稱圖形．引入今天所要講的課題——等腰三角形．◆活動2探究新知教材P78探究．提出問題：(1)△ABC是什么特殊三角形？為什么？(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD對折，找出其中重合的線段和角．(3)圖中有哪些相等的角？有哪些相等的線段？(4)△ABC是不是軸對稱圖形？對稱軸是什么？(5)等腰三角形ABC除兩腰相等外，角有什么性質(zhì)？(6)在等腰三角形ABC中，AD有幾種角色？各是什么？(7)等腰三角形具有哪些性質(zhì)？學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.2．等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合（簡寫成“三線合一”）.◆活動4例題與練習(xí)例1教材P79例1.例2如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．求證：BE＝CE.證明：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線．又∵點(diǎn)E在AD上，∴BE＝CE.例3如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在CA的延長線上，且∠AEF＝∠AFE，試問直線EF和BC有何位置關(guān)系？并說明理由．解：EF⊥BC.理由如下：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB＝AC，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC.∵∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE＝eq\f(1,2)∠BAC＝∠BAD，∴EF∥AD.又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.練習(xí)1．教材P79～80練習(xí)第1，2，3題．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D，則∠CBD的度數(shù)為(B)A．30°B．45°C．50°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝AD＝AC，E為CD的中點(diǎn)．