教案教學(xué)基本信息課題平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊A版出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點本節(jié)課主要探究平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示，在教學(xué)中始終抓住向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，引導(dǎo)學(xué)生在了解向量知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，進一步熟悉向量的坐標(biāo)表示及運算法則、運算律；熟悉向量代數(shù)化的重要作用和在實際生活中的應(yīng)用，加強方程思想和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入在前面的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了平面向量的加、減運算，從圖形的角度明確了向量線性運算的幾何意義；隨后，我們又借助平面直角坐標(biāo)系，通過正交分解的方法將向量用唯一的有序?qū)崝?shù)對表示出來；引入坐標(biāo)后可使向量中形的運算轉(zhuǎn)化成數(shù)的運算，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來.本節(jié)課我們將一起繼續(xù)學(xué)習(xí)平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示.回顧所學(xué)，讓學(xué)生自由思考，引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.新課問題1已知向量向量你能得出的坐標(biāo)嗎？向量的坐標(biāo)是怎么得到的？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與軸，軸方向相同的兩個單位向量分別為，取作為一組正交分解的基底，則向量可以分解為.同理，向量的坐標(biāo)為，即向量可由與軸、軸方向相同的兩個單位向量向量和向量表示為那么，將向量和向量作和，得到，首先去括號，觀察式子結(jié)構(gòu)，根據(jù)平面向量加法的交換律，我們可以將x又因為向量的數(shù)乘運算滿足分配律：(進一步化簡得，從而得到向量的坐標(biāo)表示，即向量.因此我們得到，兩個向量的和的坐標(biāo)表示，就是將兩個向量的橫坐標(biāo)相加作為和向量的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相加作為和向量的縱坐標(biāo).同理，我們也可利用上述方法，得到向量和向量的差為.就此，我們得到了平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示.因此，兩個向量和或差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和或差.方法提煉：因為向量是可以進行運算的，在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)掌握了向量間符號運算、幾何運算的方法，那么這兩者與向量的坐標(biāo)運算有著緊密的聯(lián)系，我們利用正交分解的意義將向量的坐標(biāo)表示回歸到幾何本質(zhì)，再通過向量的幾何運算，得到在正交分解情景下和向量與差向量的表達式，從而得到加、減運算坐標(biāo)的表達形式.例已知向量求的坐標(biāo).根據(jù)平面向量加法的坐標(biāo)表示，我們可以得到：橫坐標(biāo)相加作為和向量的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相加作為和向量的縱坐標(biāo).同理，根據(jù)平面向量減法的坐標(biāo)表示，橫坐標(biāo)相減得到差向量的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相減得到差向量的縱坐標(biāo).得到兩向量的差為練習(xí)已知向量若求的坐標(biāo).此題中的坐標(biāo)已知，與的和向量的坐標(biāo)已知，所以我們不妨先設(shè)要求的未知向量的坐標(biāo)為.向量根據(jù)平面向量加法的坐標(biāo)表示，得到即，得到方程組；進一步得到，即方法提煉：任意向量坐標(biāo)，與表示此向量的有向線段的起點坐標(biāo)，終點坐標(biāo)，三者“知二求一”，在求解過程中往往用到設(shè)未知量的方法，應(yīng)用方程思想求解.問題2如圖所示，已知點點你能得出向量的坐標(biāo)嗎？根據(jù)上述，我們先在平面直角坐標(biāo)系中畫出示意圖，其中點為向量的起點，點為向量的終點.要想求一個向量的坐標(biāo)，我們可以把這個向量平移到以原點為起點的位置，用平移后的終點坐標(biāo)來表示向量的坐標(biāo)，那么這里有沒有更簡單的方法呢？根據(jù)平面向量坐標(biāo)表示的定義可以知道，點的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)，由此，我們作出向量，將點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)統(tǒng)一起來，進而，再根據(jù)平面向量減法的定義，用向量表示與向量的差你表示向量，即.根據(jù)平面向量減法的坐標(biāo)表示；進一步表示為.因此，一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).方法提煉：向量的坐標(biāo)只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與向量所在的位置無關(guān)；當(dāng)一個向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變；在求一個向量的坐標(biāo)時，可以先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)即可得到該向量的坐標(biāo)，簡記為“任意向量坐標(biāo)=終點坐標(biāo)-起點坐標(biāo)”.鞏固練習(xí)，已知兩點坐標(biāo)，分別求的坐標(biāo).①由上述探究結(jié)論，我們知道，向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).向量是由指向的有向線段，點為起點，點為終點，因此向量的坐標(biāo)就應(yīng)該用點坐標(biāo)減去點坐標(biāo)，即向量；向量是由指向的有向線段，因此向量的坐標(biāo)就應(yīng)該用點坐標(biāo)減去點坐標(biāo)，即.②同理可得：.在前面的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了相反向量的概念，即長度相等，方向相反的向量；任意向量與其相反向量的和是零向量.觀察上題中的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，如果我們已經(jīng)求出了向量????的坐標(biāo)表示，也可以通過相反向量的關(guān)系得到向量????的坐標(biāo)表示.溫故知新，通過對向量坐標(biāo)定義的復(fù)習(xí)，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力.通過思考，得到向量加法、減法的坐標(biāo)表示，提高學(xué)生分析問題、推理能力.通過例題講解，讓學(xué)生明白怎樣求向量加法、減法的坐標(biāo)運算，提高學(xué)生解決問題的能力。練習(xí)提高，深化概念.通過探究，總結(jié)如何由向量起點、終點坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.通過鞏固練習(xí)，進一步理解向量加法、減法的坐標(biāo)運算，提高學(xué)生解決問題的能力.例題例若點，則與有什么位置關(guān)系？證明你的猜想.我們在平面直角坐標(biāo)系中畫出四個點的位置，猜想與是平行的.數(shù)學(xué)中的結(jié)論需要有嚴(yán)格的數(shù)據(jù)作為支撐.要想判斷和的位置關(guān)系，問題可以轉(zhuǎn)化為研究向量和向量的位置關(guān)系;我們來具體通過向量的坐標(biāo)計算，證明猜想由點，點坐標(biāo)可得向量；同理，由點，點坐標(biāo)可得向量.所以，.根據(jù)向量相等的定義，向量和向量的方向是相同的，即向量和向量是平行向量；這兩個向量是平行的，那么與之對應(yīng)的直線呢？向量的平行和直線的平行有什么不同之處？其本質(zhì)區(qū)別就是平行向量可以是重合的，而平行的直線不能重合！因此，我們還要借助圖形，辨析兩線段最準(zhǔn)確的位置關(guān)系；通過畫圖，我們得到兩條直線并不重合，所以.例如圖所示，已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為求頂點的坐標(biāo).首先我們思考一個問題，題目中的已知向量有哪些，能否用它們來表示點D的坐標(biāo)?點D的坐標(biāo)又可以等價于什么呢?根據(jù)向量坐標(biāo)表示的定義可以知道，點D的坐標(biāo)就是向量OD的坐標(biāo).因此這道題可以由點坐標(biāo)的求解轉(zhuǎn)化成向量坐標(biāo)的求解問題；觀察圖形，相信同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)：題目中已知三點坐標(biāo)即向量坐標(biāo)，能否通過向量的運算求得向量的坐標(biāo)呢？其實，我們只需把向量OD分別放在以A，B，C三點為頂點的三角形中即可利用三角形法則求解例如：①路徑1：可以將向量表示成向量和向量的和，即，方程中的和都是未知量，但因為向量和向量是相等向量，因此：.帶入向量坐標(biāo)，求得向量OD坐標(biāo)為（2,2）.所以頂點的坐標(biāo)為.②路徑2：我們可以將向量表示成向量和向量的和，即根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，求得向量BD坐標(biāo)為（2,2）因此：.因此，將上面求得的坐標(biāo)帶入求得所以頂點的坐標(biāo)為.③路徑3：我們還可以將向量表示成向量和向量的和，即，方程中的和都是未知量，但因為向量和向量是相等向量，所以頂點的坐標(biāo)為.以上三條路徑，都是在找尋題目中兩個已知的向量使其和向量為向量OD，進一步應(yīng)用向量加法的三角形法則進行求解，具體來說就是把向量OD放到三角形OAD，三角形OBD，三角形OCD中，雖然在選擇上有所不同，但本質(zhì)都是在利用向量加法的三角形法則進行求解.通過三條路徑的計算，我們也不難發(fā)現(xiàn)，這其中蘊含著策略的選擇，如果我們選擇了三角形OAD、三角形OCD這兩條路徑，則可以直接利用相等向量求解出向量OD，但如果我們選擇利用三角形OBD，則需要先求出向量BD，才能求出向量OD的坐標(biāo)表示.因此同學(xué)們在動筆做題之前，一定要先分析好題目中各個向量之間的關(guān)系，尋求最佳的路徑！在實際學(xué)習(xí)中，我們了解到平行四邊形的性質(zhì)還有很多，利用不同的性質(zhì)還可以得到本題的不同解答，構(gòu)造出以向量OD為一條邊的不同三角形.如利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，就可以得到路徑4④路徑4：連接對角線，設(shè)相交于點，則點既是的中點，又是的中點.由點是的中點，得向量.同理，由點是的中點，得向量，所以，即.于是，將向量坐標(biāo)帶入，得，所以頂點的坐標(biāo)為.上述問題四種路徑的求解過程中，都是利用圖形中已有的向量關(guān)系，通過向量的加減運算求出目標(biāo)向量.除了上述方法，同學(xué)們還有其他思路，求解未知點或者未知向量的坐標(biāo)嗎？我們還可以，利用前面練習(xí)中，在求解向量坐標(biāo)問題中使用過的設(shè)未知量求解的方法除了上述方法，同學(xué)們還有其他思路求解未知點或者未知向量的坐標(biāo)嗎？我們還可以，利用前面在求解向量坐標(biāo)問題中使用過的設(shè)未知量求解的方法.先來分析一下設(shè)未知量求解目標(biāo)對象的過程，我們不妨先設(shè)點設(shè)點D坐標(biāo)中有兩個未知量和需要求解，求解的過程需要建立方程組；如何建立方程，需要我們仔細觀察幾何圖形中的關(guān)系；在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究過平面幾何中的特殊位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系因為題目中明確指出了該四邊形為平行四邊形，所以我們應(yīng)用平行四邊形中的不同性質(zhì)，應(yīng)該能構(gòu)造不同的方程組求解點坐標(biāo).根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，我們得到線段和線段平行且相等，即向量，根據(jù)兩個向量相等，則它們的坐標(biāo)相等，向量坐標(biāo)已知，向量坐標(biāo)未知，聯(lián)系方程思想，構(gòu)建兩向量坐標(biāo)間的關(guān)系，從而求解問題.解法2：因為向量，向量，又因為，所以，解得.所以頂點的坐標(biāo)為.方法小結(jié)，解法2在求解過程中主要的方法是尋找與D有關(guān)的相等向量，例如：向量AB和向量DC，再比如：向量AD和向量BC等等.至此，我們探究了求解此題的兩種方法.解法1：利用向量加法的三角形法則求解，解法2：設(shè)未知量求解.我們來比較一下兩種解法在思想方法上的異同點.解法1利用平面向量加法的平三角形法則，通過求解向量OD的坐標(biāo)，進而得到點D的坐標(biāo)，解題過程中應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法.解法2找尋題目中的等量關(guān)系，直接設(shè)未知量求解，解題過程中應(yīng)用了方程思想.但兩種方法的解題核心是不變的，都是通過找尋一組相等的向量，其中一個向量已知，另一個未知，利用坐標(biāo)的相等，建立方程組求解.通過例題的講解，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法刻畫幾何對象，進而用代數(shù)方法論證幾何關(guān)系.體會向量的工具性.通過對圖形的分析，找尋向量間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在研究平面向量問題的過程中，充分挖掘題目中已有圖形的特征.培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識.比較三條路徑在計算中的不同之處，引導(dǎo)學(xué)生思考對于解題策略的選擇.繼續(xù)挖掘題目中幾何圖形的特征，構(gòu)造輔助線，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.復(fù)習(xí)回顧設(shè)未知量求解向量的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模和方程思想在用向量法研究幾何問題中的應(yīng)用.方法類比，引導(dǎo)學(xué)生思考了，挖掘題目中已知圖形的特征，利用圖形中元素的基本關(guān)系列出向量等式，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，使計算與圖形融為一體.總結(jié)今天我們學(xué)習(xí)了平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示，得到了以下結(jié)論：1.若則；.2.若則.3.數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇適當(dāng)?shù)倪\算路徑，求得運算結(jié)果等。在這一節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們需要明確運算對象為向量，掌握其運算法則，明確向量坐標(biāo)運算的步驟和順序，將向量坐標(biāo)形式的運算與學(xué)習(xí)過的向量符號形式、幾何圖形形式的運算聯(lián)系起來.4.在向量坐標(biāo)運算問題的求解中，常常需