專題9.31、概率與統(tǒng)計是高考的重點、概率統(tǒng)計專題的知識點在高考中通常涉及多個知識點的綜合考查，題量一般為“兩小一大”，包括選擇題等。填空題覆蓋面廣，解答題側重概率統(tǒng)計核心內容，主要涵蓋古典概型等知識點。離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望、回歸分析、【知識點1(1)枚舉法：(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題，注意在確定樣本點時(x,(3)排列組合法：【知識點2(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(含的基本事件數(shù)，即n((1)按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…【知識點3(1)明取值：(2)求概率：(3)畫表格：(4)做檢驗：【知識點4二項分布與超幾何分布、1．判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點：2．超幾何分布的關鍵點：超幾何分布適用于不放回抽樣情境，隨機變量表示特定類型個體的數(shù)量。其特征包括：(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、2．解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點：(3)分布區(qū)間：【知識點51．眾數(shù)、中位數(shù)、中位數(shù)、(1)眾數(shù)：(2)中位數(shù)：(3)平均數(shù)：【知識點6【知識點7在處理獨立性檢驗的應用問題時，務必遵循獨立性檢驗的步驟得出結論。獨立性檢驗的一般步驟包括：【題型1條件概率、【例1】（2025·云南紅河·三模）廣東省第十二屆大學生運動會將于2025年5月5日至6月5日在廣州市舉行．某電視臺為了報道此次運動會，計劃從甲、乙、丙、丁、故選：故選:故選：故選：【題型2【例2】（2025·山東濟寧·模擬預測）奧運會中足球比賽的小組賽階段的規(guī)則如下：共有國家隊被分成若干小組，每組進行循環(huán)賽，共打比賽場次。每場比賽中，勝、平、負分別計分。每個小組積分前兩名晉級下一輪淘汰賽。若積分相同，則通過凈勝球等規(guī)則決出名次。假定積分相同的球隊，通過這些規(guī)則出線的概率相同。（例：）(2)假設該小組的前三場比賽結果如下：【解答過程】（1）在剩下的三場比賽中：X89101112P11212【變式2-1】（2025·河南·三模）2024年10月30日，我國神舟十九號載人飛船順利升空，并與中國空間站成功對接．為弘揚航天精神，某大學舉辦了一次“逐夢星辰大海——航天杯”知識競賽．競賽分為初賽和決賽，初賽規(guī)則為：X2345P11353【變式2-2】（2025·湖南郴州·三模）已知編號為甲、乙、(2)現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：【解答過程】（1）由題意可知：隨機變量的可能取值為0，1，2，則有：X012P121（2）記第一次從甲袋中隨機摸出1個球，摸出的是1、2、【變式2-3】（2025·山東·模擬預測）某企業(yè)在2024年的年終慶典中，有一個根據(jù)“歌曲旋律猜歌名”的游戲，該游戲環(huán)節(jié)的規(guī)則如下：(2)已知．甲考慮了兩種方案，方案一：按照的順序猜；方案二：請根據(jù)順序進行猜測。從數(shù)學期望的角度分析，甲應選擇哪種方案以獲得最大獎勵？（2）方案一：設獲得獎勵的金額為，則的值可以為：所以方案二：設獲得獎勵的金額為，則的值可以為：所以【題型3故選：故選：【解答過程】（1）由題意得的可能取值為：所以的分布列為：X012P343由題意，最后得分為8分有兩種情況：【變式3-3】（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、X所有可能的取值為：所以X的分布列為：X0123P1311理由如下：【題型4故選：故選：故選：【變式4-3】（2025·湖北武漢·一模）已知某機械在生產(chǎn)正常的情況下，生產(chǎn)出的產(chǎn)品的指標參數(shù)符合正態(tài)分布.現(xiàn)從該機械生產(chǎn)出的所有產(chǎn)品中隨機抽取2件，則這2件產(chǎn)品的質量指標分別在）和的概率為（

）（運算結果保留小數(shù)點后兩位）參考數(shù)據(jù)：故選：【題型5【例5】（2025·四川達州·模擬預測）年末促銷是商場常用清理庫存和資金回籠的一種措施.某商場對消費超過500元的消費者提供一次抽獎活動，抽獎箱中裝有10個同種材質且大小相同的紅球、【解題思路】（1）根據(jù)題設確定10個小球中黃球、記事件：的分布列為：ξ012P252【變式5-1】（2025·江西南昌·二模）為宣揚中國文化，某校組織古詩詞知識比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎知識問答，每位選手都需要回答3個問題，答對其中至少2個問題，進入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組、（2）選手甲在該次比賽得分數(shù)為40分有兩種情況：【解答過程】（1）選手甲在第一階段不被淘汰的概率為回答三個問題中答對2個或3個，其概率為：（2）選手甲在該次比賽得分數(shù)為40分有兩種情況：進入高分組，答對2個問題；進入低分組，答對4個問題.故概率為：所以分布列為：X020406080P8110854121【變式5-2】（2025·江西·二模）某校利用數(shù)字化軟件記錄500位學生每日課后作業(yè)完成的時長，某次考試之后統(tǒng)計得到了如下平均作業(yè)時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)表：平均作業(yè)時長n（單位：小時）1,1.51.5,22,2.52.5,33,3.5學業(yè)成績優(yōu)秀：90≤m≤10011437435學業(yè)成績不優(yōu)秀：0≤m≤90136137102187(1)填寫如下列聯(lián)表，試判斷：能否確定學業(yè)成績優(yōu)秀與日均作業(yè)時長在2至3小時之間有顯著關聯(lián)？時長n2≤n<3其他總計優(yōu)秀不優(yōu)秀總計附：【解答過程】（1）列聯(lián)表數(shù)據(jù)如下：時長n2≤n<3其他總計優(yōu)秀8020100不優(yōu)秀120280400總計200300500賠償次數(shù)01234單數(shù)90060201010上一個保險期的賠償次數(shù)01234下一個保險期的保費0.95a1.1a1.2a1.3a1.4a包括甲于2026年參保時保費超過2000元，而2027年參保時保費低于2400元的情況?！绢}型6X02040Pm2mm【解答過程】由題可知：故選：【變式6-1】（2025·貴州黔東南·一模）在規(guī)定時間內，甲、乙、甲、乙、丙三人完成某項學習任務的概率分別為0.5、0.6、0.5，且三人的任務完成情況相互獨立。乙、故選：【變式6-2】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）為研究某籃球運動員對球隊的貢獻情況，現(xiàn)統(tǒng)計某賽季該球員出場情況與比賽結果的數(shù)據(jù)如下表：球隊贏球球隊輸球總計參加301242未參加202040總計503282(1)通過獨立性檢驗的小概率值分析，能否確定該球員參賽與球隊贏球存在關聯(lián)？參考公式：P0.100.050.0250.010x2.7063.8415.0246.635所以，隨機變量的分布列為：X012P771【解題思路】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：【解答過程】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：【題型7故選：學習時間／分鐘60708090100110120人數(shù)9101412852故選：【變式7-2】（2025·遼寧·二模）某同學測得連續(xù)天的最低氣溫（均為整數(shù)）分別為，，，，，，（單位：故選：故選：【題型8【例8】（2025·河南·三模）人工智能技術（簡稱AI技術）已成為引領世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)改革的戰(zhàn)略性技術，AI技術加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為市統(tǒng)計的2024年11月至2025年3月這5個月該市AI電腦的月銷量，其中為月份代號，（單位：月份2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月月份代號x12345月銷量y0.50.911.21.4故選：【變式8-1】（2025·江西九江·二模）植物的根是吸收水分和礦物養(yǎng)分的主要器官.已知在一定范圍內，小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有線性相關關系.某盆栽小麥實驗中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對穩(wěn)定的情況下，統(tǒng)計了根長度（單位：）與氮元素吸收量（單位：天）的相關數(shù)據(jù)，如下表所示：x9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1y0.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86故選：【變式8-2】（2025·河北秦皇島·一模）近幾年我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，據(jù)行業(yè)數(shù)據(jù)顯示，新能源汽車的數(shù)量在不斷增加.下表為某城市統(tǒng)計的近5年新能源汽車的新增數(shù)量，其中為年份代號，（單位：年份20202021202220232024年份代號x12345新增新能源汽車y/萬輛1.21.82.53.23.8參考數(shù)據(jù)：.參考公式：【解答過程】（1）由題意可得：（2）由題意可得：【變式8-3】（2025·寧夏石嘴山·一模）某人工智能公司從2018至2024年的利潤情況如下表所示：年份2018201920202021202220232024年份代碼x1234567利潤y（單位：億元）2.93.33.64.44.85.25.9參考數(shù)據(jù)：參考公式：①相關系數(shù)為：因此的分布列如下：X012P241【題型9故選：【變式9-1】（2025·遼寧·二模）某實驗中學為調查本校高三學生的學習成績是否與堅持體育鍛煉有關，隨機選取了高三300名學生的某次聯(lián)考成績進行統(tǒng)計，得到如下表格：分數(shù)鍛煉合計堅持鍛煉不堅持鍛煉分數(shù)≥60010080180分數(shù)<6005070120合計150150300附：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828故選：【變式9-2】（2025·河南鄭州·二模）近年來，兒童近視問題日益嚴重，已成為影響兒童健康的重要問題之一，教育部提出了一系列措施，旨在通過學校、近視人數(shù)未近視人數(shù)合計戶外活動時間不足2小時35戶外活動時間超過2小時55合計60(2)通過頻率估計概率，從已近視的學生中隨機選取一名學生，采用“物理+藥物”治療方案進行治療。已知該治療方案的治愈數(shù)據(jù)如下：參考公式與數(shù)據(jù)：α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【解答過程】（1）列聯(lián)表如下：近視人數(shù)未近視人數(shù)合計戶外活動時間不足2小時351045戶外活動時間超過2小時253055合計6040100零假設為：性別評價合計喜歡不喜歡男性15女性合計50100(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與評價結果有關系？附：α0.0100.0050.001x6.6357.87910.828可得的列聯(lián)表，如下表所示：喜歡不喜歡合計男性153045女生352055合計5050100故分布列如下表：X150200250300P91571【題型10【例10】（2025·河南開封·二模）某物業(yè)公司為提高對某小區(qū)的服務質量，隨機調查了該小區(qū)50名男業(yè)主和50名女業(yè)主，每位業(yè)主對該物業(yè)公司的服務給出滿意或不滿意的評價，得到如下列聯(lián)表：滿意不滿意男業(yè)主4010女業(yè)主3020(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該小區(qū)男、女業(yè)主對該物業(yè)公司服務的評價有差異？附：α0.050.010.005χ3.8416.6357.879【變式10-1】（2025·浙江·二模）某校舉辦定點投籃挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：(1)在參賽的同學中，隨機調查50名的得分情況，得到如下列聯(lián)表：得分≥3分得分<3分合計先在A點投籃20525先在B點投籃101525合計302050是否有的把握認為投籃得分與第一次投籃點的選擇有關？參考公式：α0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.828【解答過程】（1）零假設為：，所以小明第一次投籃命中的概率為0.5.X02346P2173499得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男性人數(shù)101565751155020女性人數(shù)10307065353010將市民按“兩馬運動”健康知識的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）兩類，并構建列聯(lián)表。進一步分析是否能有把握認為市民對“兩馬運動”健康知識的了解程度與性別存在關聯(lián)。P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答過程】（1）解：由題意，可得列聯(lián)表如下：不太了解比較了解合計男性90260350女性110140250合計200400600（2）解：可得隨機變量的分布列為：X01234P1883216【變式10-3】（2024·山東淄博·二模）汽車尾氣排放超標是導致全球變暖、海平面上升的關鍵因素之一。近年來，我國高度重視可持續(xù)發(fā)展，加大了對新能源項目的支持力度，并積極促進新能源汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展。某汽車制造企業(yè)對該地區(qū)新能源汽車銷售情況進行了調查，取得了以下統(tǒng)計結果：年份t20152016201720182019年份代碼x（x＝t﹣2014）12345銷量y（萬輛）1012172026計算銷量y與年份代碼x之間的線性相關系數(shù)r，并評估其是否顯著（若|r|≥0.75，表明有較強的相關性）。如存在強相關性，則求解y關于x的線性回歸方程。(2)該企業(yè)對100位購車車主進行了隨機調查，了解其性別與購車種類（新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況。男性車主中，40人購買了傳統(tǒng)燃油汽車，30人購買了新能源汽車。附：相關系數(shù)公式：【解題步驟】（1）通過公式計算相關系數(shù)，得出結論后，進一步求得線性回歸方程。【解答過程】（1）由題意得，，因此，銷量與年份代碼有較強的線性相關關系：，一位車主購得新能源汽車，這位車主是女性的概率為：1．（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前景廣闊，通過隨機抽樣收集了某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度數(shù)據(jù)（單位：）。故選：2．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、故選：故選:故選：5．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、【解題思路】解法一：解法二：【解答過程】解法一：由樹狀圖可得，甲、乙、丙、解法二：故選：【解題思路】根據(jù)題意結合平均數(shù)、中位數(shù)、【解答過程】對于選項A：例如：對于選項B：對于選項C：舉反例說明，例如：對于選項D：故選：7．（2024·廣東江蘇·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：故選：8．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為【解答過程】設甲、乙、故答案為：9．（2024·天津·高考真題）某校組織學生參加農業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、在藤架搭建活動中，每人需參與3個項目。若每個人對每個項目的參與機會均等，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為：已知乙同學參加了包含“整地做畦”的3個項目之一，他參加“田間灌溉”項目的概率是多少？【解答過程】解法一：給這5個項目分別編號為,從五個活動中選三個的情況有：其中甲選到有6種可能性：則甲參加“整地做畦”的概率為：乙選活動有6種可能性：其中再選擇有3種可能性：解法二：設甲、則甲選到的概率為；故答案為：10．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、甲、乙兩人各有四張卡片，分別標有1,3,5,7和2,4,6,8。每輪比賽中，兩人隨機選一張卡片比較大小，勝者得1分，敗者得0分，棄置該輪所選卡片。求四輪比賽后，甲得分不小于2的概率。如果甲得0分，則組合方式是唯一的：如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：故答案為：11．（2023·全國甲卷·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選取40只小白鼠，隨機分為實驗組和對照組各20只。實驗組置于高濃度臭氧環(huán)境中飼養(yǎng)，對照組則在正常環(huán)境下飼養(yǎng)。一段時間后，統(tǒng)計每只小白鼠體重增加量（單位：）。(2)實驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：（i）計算40只小鼠體重增加量的中位數(shù)m，然后分別統(tǒng)計兩樣本中小于m和不小于m的數(shù)據(jù)個數(shù)，形成如下列聯(lián)表。<m≥m對照組實驗組附：k0.1000.0500.010P2.7063.8416.635所以的分布列為：X012P192019故列聯(lián)表為：<m≥m合計對照組61420實驗組14620合計20204012．（2023·全國甲卷·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選取40只小白鼠，隨機分為試驗組和對照組各20只。試驗組置于高濃度臭氧環(huán)境中飼養(yǎng)，對照組則在正常環(huán)境下飼養(yǎng)。一段時間后，統(tǒng)計每只小白鼠體重增加量（單位：）。g）．試驗結果如下：<m≥m對照組試驗組（ⅱ）基于（i）的列聯(lián)表，能否以95%的置信度斷定小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境下的體重增加量與正常環(huán)境有顯著差異？附：P0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【解答過程】（1）試驗組樣本平均數(shù)為：故列聯(lián)表為：<m≥m合計對照組61420試驗組14620合計20204013．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則由甲繼續(xù)投籃；若未命中，則換為乙投籃。無論前次投籃結果如何，甲每次投籃的命中率為0.6，乙每次投籃的命中率為0.8。抽簽決定首次投籃者，甲為首次投