專題7.51、空間向量與立體幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)話題之一是空間向量的概念及其運(yùn)算，這是立體幾何的基礎(chǔ)。從近年來(lái)的高考來(lái)看，這類內(nèi)容考查較少，通常以選擇題形式出現(xiàn)。采用填空題形式進(jìn)行考查，主要內(nèi)容涵蓋空間向量的線性運(yùn)算?！局R(shí)點(diǎn)1(1)定義：(2)長(zhǎng)度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：②字母表示法：用字母a，b，c，…名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)共線向量定理的用途：【知識(shí)點(diǎn)3求兩個(gè)向量的夾角：求空間向量數(shù)量積的步驟：【知識(shí)點(diǎn)42．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：(2)找目標(biāo)：相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、(3)下結(jié)論：3．證明平行、共線、4．求夾角、(1)θ為a，b的夾角，則cos＝(＝6．運(yùn)用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路：(2)幾何中的求夾角、【知識(shí)點(diǎn)5向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b31．三點(diǎn)共線：2．四點(diǎn)共面：【題型1故選：【變式1-1】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)A、B、C、若D為四點(diǎn)空間中的集合，則“A”表示“由D中四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合”。B、C、【解題思路】基于共面的特性，結(jié)合空間向量加減法的幾何解釋。充分性、【解答過(guò)程】由當(dāng)“A、B、C、D四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，

A,B,C,若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)ABCD當(dāng)圖形為矩形時(shí)，AC和BD作為圓的直徑滿足條件；而當(dāng)ABCD構(gòu)成其他形狀時(shí)，上述條件不成立。故選：故選：【解答過(guò)程】∵點(diǎn)為中點(diǎn)，故選：【題型2空間共線、故選：故選：故選：故選：【題型3故選：故選：故選：故選：【題型4故選：故選：又故選：故選：【題型5證明三點(diǎn)共線、【例5】（24-25高二上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）設(shè)，是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且、、【解題思路】通過(guò)向量的線性運(yùn)算表示，根據(jù)、、∵、、即故選：【解答過(guò)程】根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共面的條件得出：故選：(1)證明：【解答過(guò)程】（1）如圖：在中，，，由得：以原點(diǎn)為坐標(biāo)系的中心，構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則則【題型6空間向量平行、故選：【變式6-1】（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，且，則（故選：【解題思路】（1）依據(jù)題意，設(shè)參數(shù)，通過(guò)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出關(guān)