專題53復(fù)數(shù)【考點預(yù)測】知識點一、復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．知識點二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則1、復(fù)數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復(fù)數(shù)．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量．對應(yīng)的向量是．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離．3、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．（2）輻角的主值任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算①兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即．②復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄?，表示的?fù)數(shù)就是積．（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運算兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．【題型歸納目錄】題型一：復(fù)數(shù)的概念題型二：復(fù)數(shù)的運算題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)題型五：復(fù)數(shù)的模題型六：復(fù)數(shù)的三角形式題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題【典例例題】題型一：復(fù)數(shù)的概念例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，有以下四個命題，其中真命題的序號是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若是虛數(shù)，則都是虛數(shù).A．①④ B．② C．②③ D．①②③【答案】C【解析】為復(fù)數(shù)，①若，因為沒有大?。ㄌ摬繛?，即為實數(shù)時除外），故是錯誤的，②若，設(shè)，則，由，得，所以，正確，③若，則，正確，④若是虛數(shù)，不一定都是虛數(shù)，比如，而是虛數(shù)，故錯誤，故②③正確，故選：C.例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)①在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(1，－1)；②復(fù)數(shù)的虛部為；③復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為；④；⑤復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個根.以上5個結(jié)論中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(1，－1)，所以①正確；復(fù)數(shù)的虛部為，所以②錯誤；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以③錯誤；，所以④正確；方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為，所以復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個根，所以⑤正確；所以正確的命題個數(shù)為3個，故選：C.例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)和，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，復(fù)數(shù)和是實數(shù)，成立，當(dāng)時，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A變式1．（2022·廣西貴港·模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)，則（

）A．的虛部為 B．的實部為 C． D．【答案】B【解析】因為，所以的實部為，虛部為，所以A選項錯誤，B選項正確.與不能比較大小，C選項錯誤.，D選項錯誤.故選：B變式2．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．0或 D．【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得，解得.故選：D.變式3．（2022·陜西·二模（理））已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），若是純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是純虛數(shù)，所以且，可得．故選：A.變式4．（2022·上海交大附中高三階段練習(xí)）設(shè)是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實數(shù)_________.【答案】0【解析】由題意得，因為是純虛數(shù)，則，即，故答案為：0【方法技巧與總結(jié)】無論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運算都要認清復(fù)數(shù)包括實部和虛部兩部分，所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題時要將復(fù)數(shù)的實部和虛部都認識清楚．題型二：復(fù)數(shù)的運算例4．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（理））復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，因此，.故選：C.例5．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是方程的虛數(shù)根，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，且，而，所以原式等于.故選：C例6．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實系數(shù)方程的一根，則（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】因為是方程的根，所以，，且，故選：C變式5．（2022·重慶市清華中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的根，則實數(shù)（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因為是關(guān)于x的方程的根，則另一根為由韋達定理得，所以故選：B變式6．（2022·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）若（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選：A變式7．（2022·四川·綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校高三階段練習(xí)（理））若復(fù)數(shù)的虛部小于0，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，因為，所以.又z的虛部小于0，所以，.故選：C【方法技巧與總結(jié)】設(shè)，則（1）（2）（3）題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義例7．（2022·廣東·廣州市天河外國語學(xué)校高三階段練習(xí)（理））復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為,在第二象限.故選:B例8．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，則，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第三象限，故選：C.例9．（2022·四川·射洪中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點為，故A，C，D錯誤.故選：B.變式8．（2022·江蘇·高三開學(xué)考試）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限【答案】D【解析】，故位于第四象限，故選:D.變式9．（2022·北京師大附中高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解析】因為，由題意可得z為實數(shù)，所以，所以．故選：C.變式10．（2022·遼寧·朝陽市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【解析】由題意得，所以，在復(fù)平面中對應(yīng)的點為，在第一象限.故選：A.變式11．（2022·北京實驗學(xué)校平谷校區(qū)高三階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，∴，∴，故選：A變式12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，，解得.故選：A.變式13．（2022·河北張家口·三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二或第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題，，故，解得，故選：A.【方法技巧與總結(jié)】復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實質(zhì)是復(fù)平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點．題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)例10．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足為負實數(shù)，為純虛數(shù)，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則為負實數(shù)，不妨設(shè)，則，則，，因為，故.又為純虛數(shù)，則為純虛數(shù)，設(shè)，則，故，解得.故，結(jié)合可得，故，.故選：C例11．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（理））設(shè)i是虛數(shù)單位，，其中a為實數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由得，∴．故選：D例12．（2022·遼寧·沈陽市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，即，即，所以，所以.故選：C變式14．（2022·四川·模擬預(yù)測（文））設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．【答案】A【解析】因為，所以，故，解得，.故選：A.變式15．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，因為，所以，解得，，則.故選：A變式16．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，.所以，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.變式17．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.變式18．（2022·江蘇省泰興中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，即，因為，所以，所以或，故選：D變式19．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C．2 D．10【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C.變式20．（2022·福建·福州十八中高三開學(xué)考試）若復(fù)數(shù)滿足，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，，所以，所以.故選：A變式21．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，故，故選:C【方法技巧與總結(jié)】復(fù)數(shù)相等：共軛復(fù)數(shù)：．題型五：復(fù)數(shù)的模例13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足：，則（

）A． B． C．5 D．【答案】D【解析】故選：D.例14．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（理））若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．3 B．5 C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選：C.例15．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，所以，，故選：D.變式22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z的實部為1，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可設(shè)：,則.因為，所以，解得：.所以.故選：C變式23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，則.故選：A變式24．（2022·全國·高三開學(xué)考試）已知,則(

)A． B．1 C．2 D．0【答案】A【解析】,所以故選：A變式25．（2022·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，則（

）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【解析】因為復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，所以，所以，所以，所以，則，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】題型六：復(fù)數(shù)的三角形式例16．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由歐拉公式知：，，，的虛部為．故選：B例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因為，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第二象限，故選：B．例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式，這個公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，即著名的“歐拉公式”，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則下列選項不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為所以，故A正確，，故B正確，故C錯誤，故D正確故選：C變式26．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣茣弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由己知得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選：C．變式27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的三角形式（用輻角主值表示）為____．【答案】【解析】．故答案為：變式28．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））任意一個復(fù)數(shù)都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667—1754年）創(chuàng)立的，指的是設(shè)兩個復(fù)數(shù)（用三角函數(shù)形式表示），，則：，”已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】1【解析】由，所以，而，所以.故答案為：1【方法技巧與總結(jié)】一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題例19．（2022·上海市松江二中高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，滿足，，（其中i是虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．【答案】B【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點的軌跡為焦點分別在，的橢圓，方程為；復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點的軌跡為圓心在，半徑為2的圓，方程為，即為橢圓上的點與圓上的點的距離.的最大值即為點到圓心的距離的最大值加半徑.設(shè).所以.故選：B例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)和滿足，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．1【答案】D【解析】設(shè)，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，，因為，所以，所以，所以，則，則在軸上運動，設(shè)，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，所以，所以，則在以為圓心，為半徑為圓上運動，所以，所以，則表示圓上的點與軸上的點的距離，因為圓心到軸的距離，所以；故選：D例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)表示復(fù)平面上的點z到和的距離之和是4的軌跡是橢圓，則，的幾何意義是復(fù)平面上的點到坐標(biāo)原點的距離，所以.故選：A.變式29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．5 D．6【答案】C【解析】設(shè).則表示復(fù)平面點到點的距離為3.則的最大值為點到的距離加上3.即.故選：C.變式30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）世紀(jì)末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，對應(yīng)的點的軌跡為圓；的幾何意義為點到點的距離，.故選：C.變式31．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．2i【答案】C【解析】在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，為原點，表示點在以為圓心，1為半徑的圓上，，而，所以的最大值為1＋1＝2．故選：C．變式32．（2022·甘肅張掖·高三階段練習(xí)（理））已知復(fù)數(shù)（i表示虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，所以.故選：C變式33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)和滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則表示點到點的距離是到點距離的倍.則，化簡得：，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)得點為以為圓心，5為半徑的圓上的點.設(shè)，因為，所以點和點距離為3，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)得點為以為圓心，2為半徑的圓即以為圓心，8為半徑的圓上構(gòu)成的扇環(huán)內(nèi)（含邊界），如圖所示：表示點和原點的距離，由圖可知的最小為0，最大為.故選：A.變式34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于給定的復(fù)數(shù)z，若滿足的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是圓，圓心為，半徑為，表示點到定點的距離，，∴．故選：A．變式35．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高三階段練習(xí)）對于給定的復(fù)數(shù)，若滿足的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是橢圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是橢圓，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到的距離小于2.即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)部.表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到的距離.如圖，設(shè),則,即故選：A變式36．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的公式把自然對數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，這個公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．若復(fù)數(shù)z的模是1，純虛數(shù)（a是實數(shù)），則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為復(fù)數(shù)z的模是1，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在單位圓上，又是純虛數(shù)，所以，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是，所以的最大值是2．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)平面內(nèi)存在復(fù)數(shù)，對應(yīng)的三點，若點可與共圓，則下列復(fù)數(shù)中可以表示為的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知可得，則點均在以原點為圓心且半徑為1的單位圓上，若點可與Z1.Z2.Z3共圓，則，對于A，，所以A錯誤，對于B，，所以B錯誤，對于C，，所以C錯誤，對于D，，所以D正確，故選：D2．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，的虛部為.故選：C3．（2022·山東·日照一中高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，即的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.4．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知，且，其中，為實數(shù)，則（

）A．1 B．3 C． D．5【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以由可得，解得，所以，故選：C5．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】因為，所以，，則.故選：C.6．（2022·江蘇揚州·高三階段練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限．故選：C．7．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）．A．5 B． C．22 D．2【答案】A【解析】，，.故選：A8．（2022·福建省漳州第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，若為純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因為為純虛數(shù)，所以設(shè)，則由，得，即，所以，解得.故選：C.9．（2022·福建·三明一中高三階段練習(xí)）復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】，所以.故選：A10．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（文））若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B.11．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）歐拉公式（其中，為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的實部為 B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C． D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】C【解析】對于A，，則實部為，A錯誤；對于B，對應(yīng)的點為，，，對應(yīng)的點位于第二象限，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，則其共軛復(fù)數(shù)為，D錯誤.故選：C.二、多選題12．（2022·遼寧·朝陽市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的虛數(shù)根是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】方程可化為，解得或.故選:BD.13．（2022·河北·高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點為Z，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌