專題20解三角形【考點預測】知識點一：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；.常見變形(1)，，；(2)，，；；；.（2）面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r.）知識點二：相關應用（1）正弦定理的應用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：（2）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列.知識點三：實際應用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．（2）方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．(3)南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．【方法技巧與總結】1.方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解2.在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.【題型歸納目錄】題型一：正弦定理的應用題型二：余弦定理的應用題型三：判斷三角形的形狀題型四：正、余弦定理與的綜合題型五：解三角形的實際應用題型六：倍角關系題型七：三角形解的個數(shù)題型八：三角形中的面積與周長問題【典例例題】題型一：正弦定理的應用例1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高三開學考試）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．3例2．（2022·青海玉樹·高三階段練習（文））在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且的面積．(1)求角B的大小；(2)若，求．例3．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．例4．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若，角C為鈍角，.(1)求的值；(2)求邊c的長.例5．（2022·湖北·黃石市有色第一中學模擬預測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，求的值；(2)若，的面積為，求邊，的值．例6．（2022·青海西寧·二模（理））在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，面積為S，且，，________？【方法技巧與總結】（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對角；.（3）兩邊一對角，求第三邊.題型二：余弦定理的應用例7．（2022·全國·高三專題練習）設的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若的面積為S，且，則（

）A．1 B． C． D．例8．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例9．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學研究室三模（理））在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且，則A的大小是（

）A． B． C． D．例10．（2022·河南安陽·模擬預測（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則___________．【方法技巧與總結】(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值題型三：判斷三角形的形狀例11．（2022·吉林·三模（理））在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，則是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形例12．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））設的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若，則的形狀是（

）A．等邊三角形B．C為直角的直角三角形C．C為頂角的等腰三角形D．A為頂角的等腰三角形或B為頂角的等腰三角形例13．（2022·青海·海東市教育研究室一模（理））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則為（

）A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形例14．（2022·全國·高三專題練習）已知中，三內(nèi)角滿足，三邊滿足，則是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形例15．（2022·全國·高三專題練習）設的三個內(nèi)角滿足，又，則這個三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形例16．（2022·全國·高三專題練習）在中，，，的對邊分別為，，，，則的形狀一定是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【方法技巧與總結】（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.題型四：正、余弦定理與的綜合例17．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在中，D是AC邊上一點，為鈍角，．(1)證明：；(2)若，，再從下面①②中選取一個作為條件，求的面積．①；②．注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．例18．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.例19．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角所對的邊分別為，且，，_____?例20．（2022·全國·高三專題練習）△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△的面積為.(1)證明：；(2)若，求.例21．（2022·江蘇泰州·模擬預測）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知邊上的高等于a．(1)求證：；(2)若，求的值．例22．（2022·山東濰坊·模擬預測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，．(1)求角；(2)是邊上的點，若，，求的值．【方法技巧與總結】先利用平面向量的有關知識如向量數(shù)量積將向量問題轉化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉化求解.題型五：解三角形的實際應用例23．（2022·陜西·西安中學一模（理））為了測量隧道口、間的距離，開車從點出發(fā)，沿正西方向行駛米到達點，然后從點出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達點，再從點出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達隧道口點處，測得間的距離為1000米.(1)若隧道口在點的北偏東度的方向上，求的值；(2)求隧道口間的距離.例24．（2022·上海市建平中學高三期中）如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設一條電纜聯(lián)通A、B兩地，A處位于東西方向的直線MN上的陸地處，B處位于海上一個燈塔處，在A處用測角器測得，在A處正西方向1km的點C處，用測角器測得.現(xiàn)有兩種鋪設方案:①沿線段AB在水下鋪設；②在岸MN上選一點P，設，，先沿線段AP在地下鋪設，再沿線段PB在水下鋪設，預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為2萬元/km、4萬元/km.(1)求A、B兩點間的距離；(2)請選擇一種鋪設費用較低的方案，并說明理由.例25．（2022·廣東湛江·二模）如圖，一架飛機從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達終點.(1)求、兩地之間的距離；(2)求.例26．（2022·山東泰安·高三期末）在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點為坐標原點，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標系）方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時后，可疑船只所在位置的橫坐標為.若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，則恰好1小時與可疑船只相遇.(1)求的值；(2)若巡邏船以海里/小時的速度進行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時間，若不能，請說明理由.例27．（2022·遼寧·大連市一0三中學模擬預測）如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個小島，小島B位于小島A北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.例28．（2022·黑龍江大慶·高三階段練習（理））如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與.現(xiàn)測得，，.在點測得塔頂?shù)难鼋菫?0.5°.(1)求與兩點間的距離（結果精確到）；(2)求塔高（結果精確到）.參考數(shù)據(jù)：取，，.【方法技巧與總結】根據(jù)題意畫出圖形，將題設已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關系，利用三角知識求解.題型六：倍角關系例29．（2022·北京豐臺·二模）在中，，，，則______．例30．（2022·全國·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：例31．（2022·江蘇·華羅庚中學高三階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，，求的面積；(2)若，且的邊長均為正整數(shù)，求．例32．（2022·上海市奉賢中學高三階段練習）已知中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c.(1)若，，的外接圓半徑為，，求的大?。?2)若，，，求邊的長.例33．（2022·山東·高三開學考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，邊長均為正整數(shù)，且．(1)若角B為鈍角，求△ABC的面積；(2)若，求a．例34．（2022·天津市新華中學高三階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求的值；(2)求的值.題型七：三角形解的個數(shù)例35．（2022·江西·二模（文））設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．例36．（2022·全國·模擬預測（理））在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（

）A．4 B． C． D．例37．（2022·河南·許昌高中高三開學考試（文））在三角形ABC中（A點在BC上方），若，，BC邊上的高為h，三角形ABC的解的個數(shù)為n，則以下錯誤的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，例38．（2022·全國·高三專題練習（文））已知在中，、、分別為角、、的對邊，則根據(jù)條件解三角形時恰有一解的一組條件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例39．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（文））中，已知下列條件：①；②；③；④，其中滿足上述條件的三角形有兩解的是（

）A．①④ B．①② C．①②③ D．③④題型八：三角形中的面積與周長問題例40．（2022·湖南·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求證：；(2)若，，，且，求的面積．例41．（2022·全國·模擬預測）從①，②這兩個條件中選一個，補充到下面問題中，并完成解答．已知銳角中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，且．(1)求角B；(2)已知，且______，求的值及的面積．例42．（2022·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．例43．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．．(1)求的值；(2)若，，，求c和面積S的值．例44．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．，．請再從條件①：，；條件②：，．這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)的值；(2)c和面積S的值．例45．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．例46．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學研究室三模（文））在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角的大??；(2)若，且的面積為，求的周長.例47．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長.例48．（2022·廣東深圳·高三階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，，(1)求；(2)若為銳角，求的面積．例49．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【過關測試】一、單選題1．（2022·江西師大附中三模（理））滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，小明同學為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為（

）（精確到）A． B． C． D．2．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（文））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，,，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·江西·模擬預測（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（理））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．則的值為（

）A． B．C． D．5．（2022·江西宜春·模擬預測（文））的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高三專題練習）在中，已知，，，則（

）A．16 B．9 C．－9 D．－167．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一個條件，即可使△存在且唯一.條件：①；②；③中，所有可以選擇的條件的序號為（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③8．（2022·全國·高三專題練習）在中，三邊長滿足，則的值為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習）內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C．的周長為 D．的面積為10．（2022·河北·石家莊二中模擬預測）已知中，為外接圓的圓心，為內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正確的是（

）A．外接圓半徑為 B．內(nèi)切圓半徑為C． D．11．（2022·全國·高三專題練習）在中各角所對得邊分別為a，b，c，下列結論正確的有（

）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解．12．（2022·全國·高三專題練習）在中，角、、的對邊分別為、、，且滿足，則下列結論可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學家阿基米德得出．若的周長為15，，則的面積為___________________．14．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則的面積為______．15．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成了一個