第3章線天線的矩量法計算3.1感應(yīng)電動勢法求阻抗3.2矩量法3.3激勵源數(shù)學(xué)模型3.4對稱振子計算實例3.5V形對稱振子計算實例3.6菱形天線計算實例3.7引向天線計算實例3.8對數(shù)周期天線計算實例3.9折合振子計算實例

3.1感應(yīng)電動勢法求阻抗

3.1.1對稱振子的輻射阻抗

1.圓柱形對稱振子的近區(qū)場

建立圓柱坐標(biāo)系如圖3-1-1所示。圖3-1-1圓柱對稱振子近區(qū)場的計算設(shè)觀測點P的坐標(biāo)為(ρ,j,z)，在距對稱振子中心z′處取電流元段dz′，假設(shè)：(1)對稱振子的電流集中在軸線上且為正弦分布；(2)因饋電間隙d<<λ，故其影響可忽略。

電流元dz′到P點的距離為(3-1-1)天線中心和上、下兩端到P點的距離分別為(3-1-2)P點的矢量磁位為(3-1-3)其中(3-1-4)由，并考慮到(3-1-5)可求得(3-1-6)(3-1-7)

(3-1-8)出乎意料的是，近區(qū)場表達(dá)式很簡單。事實上,由于r、r1和r2分別是對稱振子中心和兩端到場點P的距離，因此近區(qū)場幾乎可看作是上述三處點源作用的結(jié)果。當(dāng)ρ=a時，上式便給出對稱振子表面的場強(qiáng)。然而計算結(jié)果卻表明，此時Ez|ρ=a≠0，這與理想導(dǎo)體表面電場切向分量為零的邊界條件相矛盾，說明電流正弦分布的假設(shè)是有誤差的。但是，當(dāng)ρ→0且z≠±l時，Ez值有限，Eρ→∞，因此電力線與對稱振子表面垂直。所以，當(dāng)a→0時，正弦律是真實電流分布的良好近似。

2.對稱振子的輻射阻抗

對稱振子歸于波腹電流的輻射阻抗為(3-1-9)式中，對稱振子的輻射總功率Pr(復(fù)功率)可由坡印廷矢量積分法來計算(3-1-10)其中，封閉曲面取為貼近振子表面的封閉圓柱面;Sav為坡印廷矢量平均值的復(fù)數(shù)形式。在圓柱坐標(biāo)系中，坡印廷矢量平均值的復(fù)數(shù)形式Sav=

1/2(E×H*)的外法線分量分別為(3-1-11)忽略上、下底面的輻射(細(xì)導(dǎo)線)，并計及兩臂的對稱性，對稱振子的全輻射功率為(3-1-12)把式(3-1-11)代入式(3-1-12)，并考慮到場量Ez和Hj均與坐標(biāo)變量j無關(guān)，可得(3-1-13)式中,－Ez(a)dz表示驅(qū)動對稱振子di段表面電流Iz流動的感應(yīng)電動勢，此即感應(yīng)電動勢法(或全坡印廷矢量法)命名的由來。至此，對稱振子歸于波腹電流的輻射阻抗為(3-1-14)把式(3-1-7)和電流表達(dá)式I(z)=Imsink(l－|z|)代入式(3-1-14)，并考慮到j(luò)e－jkr=sinkr+jcoskr，可得

(3-1-15)式(3-1-15)的積分結(jié)果給出:輻射電阻(3-1-16)輻射電抗

(3-1-17)圖3-1-2給出了余弦積分函數(shù)與正弦積分函數(shù)的曲線。Matlab腳本程序見附錄：正(余)弦積分函數(shù)。圖3-1-2正弦積分函數(shù)和余弦積分函數(shù)圖3-1-3給出了由式(3-1-16)計算的輻射電阻Rr與2l/λ的關(guān)系曲線。Matlab腳本程序見附錄：輻射電阻。圖3-1-4給出了由式(3-1-17)計算的以半徑a/λ為參量的輻射電抗Xr與2l/λ的關(guān)系曲線。Matlab腳本程序見附錄：輻射電抗。圖3-1-3對稱振子的輻射電阻與2l/λ的關(guān)系曲線圖3-1-4對稱振子的輻射電抗與2l/λ的關(guān)系曲線3.1.2兩平行對稱振子的互阻抗

1.邊靠邊平行對稱振子的互阻抗

邊靠邊平行對稱振子如圖3-1-5(a)所示，由感應(yīng)電動勢法求得互阻抗為

Z21=R21+jX21

其中，互電阻(3-1-18)互電抗(3-1-19)圖3-1-6給出了由式(3-1-18)和式(3-1-19)計算的半波振子的互電阻R21與互電抗X21隨d/λ的變化曲線。Matlab腳本程序見附錄：邊靠邊平行對稱振子的互阻抗，讀者可自行驗證感應(yīng)電動勢法求互阻抗的原始積分式的直接數(shù)值實現(xiàn)，與式(3-1-18)和式(3-1-19)計算結(jié)果的一致性。由于Matlab計算正(余)弦積分耗時較多，程序執(zhí)行速度后者明顯優(yōu)于前者。圖3-1-5兩平行對稱振子的三種構(gòu)型圖3-1-6兩邊靠邊平行半波振子的互阻抗與d/λ的變化曲線

2.共線平行對稱振子的互阻抗

共線平行對稱振子如圖3-1-5(b)所示，h>L，由感應(yīng)電動勢法求得互阻抗為

Z21=R21+jX21

其中，互電阻(3-1-20)互電抗(3-1-21)圖3-1-7給出了由式(3-1-20)和式(3-1-21)計算的半波振子的互電阻R21與互電抗X21隨s/λ的變化曲線，其中s=h－L。Matlab腳本程序見附錄：共線平行對稱振子的互阻抗。圖3-1-7兩共線平行半波振子的互阻抗與s/λ的變化曲線

3.梯式平行對稱振子的互阻抗

梯式平行對稱振子如圖3-1-5(c)所示，由感應(yīng)電動勢法求得互阻抗為

Z21=R21+jX21

其中，互電阻

R21=－15cos(kh)[－2Ci(A)－2Ci(A′)+2Ci(B)+2Ci(B′)

+2Ci(C)+2Ci(C′)]

+15sin(kh)[2Si(A)－2Si(A′)－Si(B)+Si(B′)

－Si(C)+Si(C′)]Ω

(3-1-22)互電抗

X21=－15cos(kh)[2Si(A)+2Si(A′)－Si(B)－Si(B′)

－Si(C)－Si(C′)]

+15sin(kh)[2Ci(A)－2Ci(A′)－Ci(B)+Ci(B′)

－Ci(C)+Ci(C′)]Ω

(3-1-23)

其中，

圖3-1-8給出了d/λ=0.25，由式(3-1-22)和式(3-1-23)計算的半波振子的互電阻R21與互電抗X21隨h/λ的變化曲線。Matlab腳本程序見附錄：梯式平行對稱振子的互阻抗。圖3-1-8兩梯式平行半波振子的互阻抗與h/λ的變化曲線3.1.3任意布置的兩圓柱導(dǎo)線振子間的互阻抗

如圖3-1-9所示，本節(jié)我們考察任意相對位置、任意空間取向、長度不等的兩非對稱細(xì)圓柱導(dǎo)線振子間的互阻抗。對這種最一般情形的研究，為矩量法(MethodofMoment)的廣泛應(yīng)用奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。圖3-1-9任意布置的兩圓柱導(dǎo)線振子

1.基本情形

如圖3-1-10所示，設(shè)振子‘1’的上、下臂長分別為c2、c1，以其饋電點為坐標(biāo)原點O，軸線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Σ(x,y,z)，若輸入電流為I1(0)，則振子上的ez向電流分布表示式為(3-1-24a)(3-1-24b)圖3-1-10基本情形設(shè)振子‘2’的上、下臂長分別為d2、d1，以其饋電點(Σ(x0,y0,z0))為坐標(biāo)原點O′，建立空間直角坐標(biāo)系Σ(x′,y′,z′)∥Σ(x,y,z)，其軸線與+z′軸的夾角為θ，軸線在x′O′y′平面上的投影與+x′軸成j角，若輸入電流為

I2(0)，則振子上的es向電流分布表示式為(3-1-25a)(3-1-25b)其中s(Σ(xs,ys,zs))為振子‘2’上的任意一點，

es=exsinθcosj+eysinθsinj+ezcosθ(3-1-26)根據(jù)感應(yīng)電動勢法，歸算于I2(0)、I1(0)的振子‘1’對振子‘2’的互阻抗為(3-1-27)圖3-1-11振子‘1’的圓柱坐標(biāo)系參看圖3-1-11，在圓柱坐標(biāo)系中(3-1-28)其中(3-1-29)(3-1-30)

2.任意情形

如圖3-1-12所示，給定空間直角坐標(biāo)系Σ(x,y,z)，設(shè)振子‘1’的上、下臂長分別為c2、c1，以其饋電點(Σ(x1,y1,z1))為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系Σ′(x′,y′,z′)∥Σ(x,y,z)，其軸線與+z′軸的夾角為θ1，軸線在x′O′y′平面上的投影與+x′軸成j1角，若輸入電流為I1(0)，則振子上的電流流向為

e1=exsinθ1cosj1+eysinθ1sinj1+ezcosθ1

(3-1-40)圖3-1-12任意情形設(shè)振子‘2’的上、下臂長分別為d2、d1，以其饋電點(Σ(x2,y2,z2))為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系Σ″(x″,y″,z″)∥Σ(x,y,z)，其軸線與+z″軸的夾角為θ2，軸線在x″O″y″平面上的投影與+x″軸成j2角，若輸入電流為I2(0)，則振子上的電流流向為

es=exsinθ2cosj2+eysinθ2sinj2+ezcosθ2(3-1-41)

我們可以通過坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)將圖3-1-12任意情形互阻抗Z21的求解轉(zhuǎn)換為圖3-1-10的基本情形處理，具體過程如下：

(1)將Σ(x,y,z)系平移到Σ′(x′,y′,z′)系，獲得

Σ1′(x1′,y1′,z1′)系，Σ系到Σ1′系的坐標(biāo)變換關(guān)系為(3-1-42)

(2)將Σ1′(x1′,y1′,z1′)系繞z1′軸逆時針旋轉(zhuǎn)j1，獲得Σ2′(x2′,y2′,z2′)系，振子‘1’位于坐標(biāo)面x2′O2′z2′，Σ1′系到Σ2′系的坐標(biāo)變換關(guān)系為(3-1-43)

(3)將Σ2′(x2′,y2′,z2′)系繞y2′軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ1角，獲得Σ3′(x3′,y3′,z3′)系，振子‘1’位于坐標(biāo)軸

z3′，Σ2′系到Σ3′系的坐標(biāo)變換關(guān)系為(3-1-44)

(4)利用前面獲得的坐標(biāo)變換關(guān)系，求解振子‘2’的軸線與Σ3′系的+z3′軸的夾角θ2′，軸線在x3′O3′y3′平面上的投影與+x3′軸成的角j2′。

3.數(shù)值計算結(jié)果示例

例3-1-1

圖3-1-14給出了如圖3-1-13所示的長度不等(2l1/λ=0.475，2l2/λ=0.45)的邊靠邊平行對稱振子的互電阻R21與互電抗X21隨d/λ的變化曲線。依據(jù)任意情形的理論編制的Matlab腳本程序見附錄：不等長平行對稱振子的互阻抗。圖3-1-13長度不等的邊靠邊平行對稱振子圖3-1-14兩邊靠邊長度不等的平行對稱振子的互阻抗隨d/λ的變化曲線例3-1-2

圖3-1-16給出了如圖3-1-15所示的長度相等(2l/λ=0.5)的共面斜對稱振子的互電阻R21與互電抗X21隨θ的變化曲線。依據(jù)任意情形的理論編制的Matlab腳本程序見附錄：共面斜對稱振子的互阻抗。圖3-1-15兩長度相等的共面斜對稱振子圖3-1-16兩長度相等的共面斜對稱振子的互阻抗隨θ的變化曲線例3-1-3

表3-1-1給出了如圖3-1-9所示的長度相等的非共面斜對稱振子的互阻抗Z21隨振子臂長l/λ和夾角θ變化的取值(h=λ)。依據(jù)任意情形的理論編制的Matlab腳本程序見附錄：長度相等的非共面斜振子的互阻抗。

例3-1-4

如圖3-1-17所示任意角模間的互阻抗為

Z21=Zac+Zad+Zbc+Zbd

(3-1-46)

表3-1-2給出了如圖3-1-18所示的臂長相等(l1/λ=l2/λ=0.25)角模的自阻抗Z11隨夾角θ變化的取值。依據(jù)任意情形的理論編制的Matlab腳本程序見附錄：臂長相等角模的自阻抗。圖3-1-17任意角模圖3-1-18單個角模例3-1-5

表3-1-3給出了如圖3-1-19所示的任意布置的兩臂長相等(l1/λ=l2/λ=0.25)角模間的互阻抗Z21的取值，其中θ=135°。依據(jù)任意情形的理論編制的Matlab腳本程序見附錄：任意布置臂長相等角模的互阻抗。表3-1-3兩臂長相等角模間的互阻抗

3.2矩量法

3.2.1積分方程

求解天線電流分布最常用的兩個積分方程是坡克林頓(Pocklington)積分方程和海倫(Hallen)積分方程，海倫方程把激勵源限制為δ函數(shù)，簡化了求解計算，然而也給計算輸入阻抗的虛部的精度帶來了不利影響，而坡克林頓方程更具普遍性。

1.坡克林頓積分方程

假設(shè)長度為L的天線導(dǎo)線半徑a遠(yuǎn)小于波長，參考圖3-2-1，在此條件下，天線表面電流僅有軸向分量即z分量Jz，且圓周對稱，可以用位于軸線上的電流I(z)=2πaJz來代替圓柱表面的電流。洛侖茲條件變成

由方程

,可得(3-2-1)式中,k2=ω2μ0ε0。將I(z)的輻射場記為Esz，而I(z)是由外加的入射場Eiz激勵的，空間的總場為Eiz+Esz。根據(jù)理想導(dǎo)體表面總切向電場為零的邊界條件有(Eiz+Esz)導(dǎo)體表面=0。當(dāng)源I(z)位于軸線而場點在天線表面時，源點和場點之間的距離，對應(yīng)的矢位圖3-2-1天線坐標(biāo)示意圖(3-2-2)代入式(3-2-1)，可得(3-2-3)其中(3-2-4)

2.海倫積分方程

假設(shè)天線被一個極薄的片電壓激勵，即設(shè)Eiz=Vδ(z)。由方程(3-2-1)，對于細(xì)直線天線，偏微分可以用全微分代替，在導(dǎo)體表面有(3-2-5)該方程的右端是已知的，因此可以先求出Az。方程的解應(yīng)為齊次方程的通解加非齊次方程的特解。對于對稱振子，齊次方程的通解是Az(z)=Bcos(kz)，由于對稱性,不考慮正弦項。非齊次方程的特解可寫成(3-2-6)式中,A1、A2為待求常數(shù)。因為Az在z=0處連續(xù)，故有A1=A2。在z=0的Δ鄰域內(nèi)對方程(3-2-5)兩邊積分并讓Δ趨于零，可得(3-2-7)將式(3-2-6)代入上式，即可求出常數(shù)因此，通解與特解之和為(3-2-8)另一方面，在導(dǎo)體表面上動態(tài)矢位的計算公式是(3-2-9)式中,

。由上兩式相等即得天線電流I(z)的積分方程(3-2-10)方程(3-2-10)稱為海倫積分方程，是海倫在1938年提出的。將右邊第一項寫成正弦項和余弦項之和，并將余弦項與第二項合并，得海倫方程的另一種形式(3-2-11)

3.反應(yīng)積分方程

1)反應(yīng)(Reaction)與互易定理(ReciprocityTheorem)

考察簡單媒質(zhì)中兩組(頻率相同電磁流)源(產(chǎn)生)場(Ja,

Ma,Ea,Ha)與(Jb,Mb,Eb,Hb)間相互作用，引入(Rumsey，1954)源a對場b的電磁反應(yīng)

〈a,b〉=∫V(Ja·Eb－Ma·Hb)dτ(3-2-12)

源b對場a的電磁反應(yīng)(3-2-13)據(jù)此，互易定理為〈a,b〉=〈b,a〉(3-2-14)事實上，時諧電磁場麥克斯韋旋度方程為(3-2-16)(3-2-15)式中，yE與zH為感應(yīng)電磁流，Ji與Mi為外加電磁流(場源)。故(3-2-17)(3-2-18)(3-2-19)(3-2-20)Eb乘以式(3-2-17)加Ha乘以式(3-2-20)，并應(yīng)用矢量恒等式：得(3-2-21)對式(3-2-21)進(jìn)行a

b,得(3-2-22)式(3-2-21)減去式(3-2-22)，并取積分,應(yīng)用高斯散度定理，得(3-2-23)對于理想導(dǎo)體邊界，

×E=0，應(yīng)用矢量恒等式(A×B)·C=B·(C×A)，對于開(無限)域，應(yīng)用的索末菲(Sommfeld)輻射條件(3-2-24)均有式(3-2-23)右邊面積分為零，從而式(3-2-14)成立。

2)反應(yīng)積分方程(任意情形)

考察如圖3-2-2所示場源(Ji,Mi)照射(簡單媒質(zhì)背景中)目標(biāo)(邊界面S)產(chǎn)生散射場(Es,Hs)的計算問題。依據(jù)等效原理第一種表述形式，待求問題等效為僅在S面有等效源(Js,Ms)的規(guī)則問題。

由互易定理(3-2-25)令得(3-2-26)式中，(Jm,Mm,Em,Hm)為檢驗源(產(chǎn)生)場。圖3-2-2反應(yīng)積分方程的推導(dǎo)若(Jm,Mm)∈V，考慮到(E=Ei+Es=0,H=Hi+Hs=0)∈V，由式(3-2-26),可得(3-2-27)互易定理應(yīng)用于式(3-2-27)右邊，獲得反應(yīng)積分方程(3-2-28)

3)反應(yīng)積分方程(細(xì)圓柱彎曲導(dǎo)線)

本小節(jié)給出描述細(xì)圓柱彎曲導(dǎo)線電磁(散)輻射問題的反應(yīng)積分方程及矩量法解。

事實上，對于細(xì)圓柱彎曲導(dǎo)線(長l，半徑a)，因a<<λ，a<<l，可近似認(rèn)為：

(1)電流僅沿導(dǎo)線中軸線流動，線電流；

(2)電荷僅沿導(dǎo)線中軸線分布，線電荷密度為ρl；

(3)僅需對導(dǎo)線表面實施邊界條件,故(3-2-29)若導(dǎo)線σ<∞，則表面切向電場

E=ZsJs≠0

(3-2-30)

式中，Zs為導(dǎo)線表面阻抗率。

此時(3-2-31)將式(3-2-29)與式(3-2-31)代入式(3-2-28)，并考慮到可得(3-2-32)式中(3-2-33)(3-2-34)(3-2-35)將待求函數(shù)I(l)展開為基函數(shù)簇{Fn(l),n=1,2,3,…,N}的線性組合(3-2-36)將式(3-2-36)代入式(3-2-32)，得(3-2-37)(3-2-38)Zmn實質(zhì)為基函數(shù)對檢驗函數(shù)的電磁反應(yīng)。3.2.2矩量法實施過程

坡克林頓(Pocklington)積分方程和海倫(Hallen)積分方程以及一般電磁場問題可以用算子方程

L(f)=g(3-2-39)

表示，其中L為線性算子，可以是積分、微分或微積分混合算子，g是已知的激勵源，f是待求的場量或響應(yīng)。

矩量法是將連續(xù)微積分方程離散化成代數(shù)方程組的一種數(shù)值方法，具體過程如下：

1.離散過程

將f在L的定義域中近似展開為f1，f2，f3，…,fN的組合，即(3-2-40)

2.選配過程

若用式(3-2-40)近似替代f，則方程(3-2-39)必將出現(xiàn)殘差Re=L(f)－g，令殘差Re的加權(quán)積分等于零，即(3-2-41)其中,W1，W2，W3，…,WN為權(quán)函數(shù)或檢驗函數(shù);Ω為被積函數(shù)的定義域。上式的含義是在平均意義上令余量為零來逼近而確定In的。定義內(nèi)積運算(3-2-42)式(3-2-41)可寫成〈Wm,Re〉=0，則有〈Wm,L

Infn－g〉=0,由算子L的線性性質(zhì),可得(3-2-43)這就是選配過程或檢驗過程。這一結(jié)果得到關(guān)于In的N個方程，可以寫成如下矩陣形式:(3-2-44)或者簡寫為(3-2-45)其中

Zmn=<Wm,Lfn>(3-2-46)

如果矩陣[Zmn]非奇異，則其逆矩陣存在，In可由下式求出:

[In]=[Zmn]－1[Um]

(3-2-47)

In求出后，f的解便由式(3-2-40)近似給出。

3.3激勵源數(shù)學(xué)模型

在實施矩量法的過程中，給定激勵源數(shù)學(xué)模型，(數(shù)值)求解合適方程，則可獲得沿線電流分布。然而，激勵區(qū)不均勻性突出，場分布復(fù)雜，故建立源模型頗具挑戰(zhàn)性。本節(jié)研究矩量法常用的三種激勵源數(shù)學(xué)模型，參見圖3-3-1。圖3-3-1激勵源數(shù)學(xué)模型簡介圖3-3-2示出縫隙δ激勵模型(SliceGenerator)，其中

ez·Ei(z)=VAδ(z)，僅在天線饋電處有激勵電場。此模型結(jié)構(gòu)簡單，計算方便，但計算輸入阻抗誤差較大。圖3-3-2縫隙δ激勵模型圖3-3-3示出計算輸入阻抗較精確的磁流環(huán)激勵模型(FrillSource)，天線各處均有(饋電處磁流環(huán)產(chǎn)生的)激勵電場，原型為同軸線外導(dǎo)體展開為接地面，內(nèi)導(dǎo)體延伸構(gòu)成的單極天線，磁流環(huán)由同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間電場形成，忽略高次模，有(3-3-1)式中,VA為同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間電壓。圖3-3-3磁流環(huán)激勵模型應(yīng)用鏡像法(等效原理特定表現(xiàn)形式)，等效磁流源為(3-3-2)考慮細(xì)線近似，易得天線激勵電場(3-3-3)式中，磁流環(huán)中心位于坐標(biāo)原點，。為給出平面波激勵模型，考察平面電磁波(Ei⊥Hi⊥ki)照射(簡單媒質(zhì)背景中)理想導(dǎo)體目標(biāo)的散射問題。設(shè)(3-3-4)由式(3-2-33)互易形式，得(3-3-5)考慮細(xì)線近似，易得檢驗(電流)源在遠(yuǎn)區(qū)－ki向產(chǎn)生的電場(3-3-6)由式(3-3-5)與式(3-3-6)，得(3-3-7)

3.4對稱振子計算實例

對稱振子(長2l∶0.1~2.0λ，半徑a=0.0005λ)，積分方程選式(3-2-38)，應(yīng)用分段正弦基伽遼金法求解輸入阻抗

Zin。分段正弦函數(shù)(3-4-1)式中，Δ為子段長度。圖3-4-1給出了輸入阻抗的計算結(jié)果，以及當(dāng)2l=2.0λ時，天線電流分布與方向圖。圖3-4-1對稱振子輸入阻抗、電流分布與方向圖Matlab腳本程序如下：

%應(yīng)用反應(yīng)積分方程(3-2-38)，采用分段正弦基函數(shù)伽遼金法獲

%取對稱振子的輸入阻抗，沿線電流分布與方向圖

clear;clc;

globalbetaazzmzznDeltz;

j=sqrt(－1);%虛數(shù)單位

c=3.0e8;

%光速c=3×108m/s

f=3.0e8;

%頻率f=3×108Hz

beta=2*pi*f/c;

%相位常數(shù)β=2πf/c

a=0.0005;

%導(dǎo)線半徑a=0.0005λ

L=［0.1:0.01:2.0］;%對稱振子電長度L=2l0.1λ~2.0λ，間隔0.01λ

len=length(L);

%待計算的輸入阻抗數(shù)目ZA=zeros(1,len);

%輸入阻抗向量初值置零

fornum=1:len

ifL(1,num)<=1.0

%如果L≤1.0λ

N=11;%振子均勻分割為12個子段，11個分段正

%弦基函數(shù)跨越這些子段,參見圖3-4-2(a)

else%否則

N=23;%振子均勻分割為24個子段，23個分段正

%弦基函數(shù)跨越這些子段,參見圖3-4-2(b)

end

Deltz=L(1,num)/(N+1);%子段長度Δz=L/N+1

zm=[(N-1)/2:－1:－(N－1)/2]*Deltz;

%振子中心位于坐標(biāo)

%原點，沿z軸放置,

%分段節(jié)點坐標(biāo)%========================================

%獲取廣義互阻抗矩陣[Zmn]

Zmn=zeros(N,N);

%[Zmn]初值置零

zzm=zm(1,1);

%不含端點，最上端分段節(jié)點坐標(biāo)

forn=1:N

%計算[Zmn]第一行元素(參見圖3-4-3)圖3-4-2分段正弦基函數(shù)跨越子段圖3-4-3第n分段正弦基函數(shù)(檢驗函數(shù))對第1分段正弦基函數(shù)的電磁反應(yīng)zzn=zm(1,n);%不含端點，從上到下，各分段節(jié)點坐標(biāo)

%

％

％

%％n=1,2,…,NZmn(1,n)=－j*30/(sin(beta*Deltz)^2)*...

(quad(′Fun_Zmn01′,zzn,zzn+Deltz)+

quad(′Fun_Zmn02′,zzn-Deltz,zzn));endZmn=toeplitz(Zmn(1,:),Zmn(1,:));％[Zmn]為Toeplitz矩陣(Zmn=Z1,|m－n|+1，m≥2,n≥1)========================================%獲取廣義電壓向量［Vm］VA=1.0;％外加激勵電壓

Vm=zeros(N,1);

%[Vm]初值置零

%縫隙δ激勵模型(slicegenerator)，參見圖3-3-2

％

Vm((N+1)/2,1)=-1/sin(beta*Deltz)*(VA/Deltz)*...

(quad(′Fun_Vm01′,0,Deltz)+quad(′Fun_Vm02′,－Deltz,0));

%========================================

%獲取廣義電流向量[In]

In=zeros(N,1);%[In]初值置零

In=Zmn＼Vm;％[In]=[Zmn]－1[Vm]

%========================================

%獲取輸入阻抗向量

ZA(1,num)=VA/In((N+1)/2,1);

end

%========================================

figure(1)

plot(L,real(ZA),′r.－′);％繪制輸入電阻隨對稱振子電長度L的變化曲線

axis([02.002500]);

holdon;

figure(2)

plot(L,imag(ZA),′b.－′);％繪制輸入電抗隨對稱振子電長度L的變化曲線axis([02.0－15001200]);

holdon;

%========================================

%電長度L=2.0時，繪制對稱振子沿線電流分布圖

%繪制構(gòu)成振子沿線電流分布的分段正弦基函數(shù)圖

pw=50;％振子均勻分割為N+1子段，各子段均勻細(xì)分為50分段

Sn=zeros((N+1)*pw,N);％為便于獲得振子沿線電流分布，特構(gòu)造

%分段正弦電流基函數(shù)矩陣，初值置零

forn=1:N％填充電流基函數(shù)矩陣

cn=zm(1,n);％第n節(jié)點坐標(biāo)zn

zp=linspace(cn－Deltz,cn+Deltz,2*pw)′;％含端點,從下到上,各

%子段細(xì)分節(jié)點坐標(biāo)向量figure(3)％繪制分段正弦電流基函數(shù)圖

forn=1:N

plot(［1:(N+1)*pw］*(Deltz/pw),abs(Sn(:,n)),′k－′);

％繪制第n分段正弦電流基函數(shù)圖

holdon;

end

I=zeros((N+1)*pw,1);％對稱振子沿線電流分布向量，初值置零

I=sum(Sn,2);％由分段正弦電流基函數(shù)矩陣，獲取對稱振

%子沿線電流分布向量，參見圖3-4-4

plot([pw:N*pw]*(Deltz/pw),abs(I(pw:N*pw)),′r.－′);

％繪制對稱振子沿線電流分布圖

set(gca,′XDir′,′reverse′);％為了與圖3-4-2的坐標(biāo)系統(tǒng)保持一

%致，橫坐標(biāo)反轉(zhuǎn)圖3-4-4電流基函數(shù)(稀疏)矩陣結(jié)構(gòu)%========================================

%電長度L=2.0時，繪制對稱振子方向圖，通過比較，說明傳輸線模型(正弦駐波電流分布)是

%對稱振子遠(yuǎn)場特性分析(方向圖)的良好近似

Theta=0:pi/180:2*pi;％為繪制E面方向圖，取子午角0≤θ≤2π

Len=length(Theta);

F=zeros(1,Len);％矩量法方向函數(shù)向量，初值置零

Fp=zeros(1,Len);％傳輸線模型方向函數(shù)向量，初值置零

％獲取矩量法方向函數(shù)向量，為此，將原對稱振子視為由分段正弦

％電流基函數(shù)短對稱振子構(gòu)成的不均勻直線陣列，其方向函數(shù)的求

％取參見教材《天線與電波傳播(第二版)》

forn=1:N％計算第n分段正弦電流基函數(shù)短對稱振子的方向函數(shù)值

cn=zm(1,n);％第n分段正弦電流基函數(shù)短對稱振子的中點(視為

%饋電點)坐標(biāo)form=1:Len％計算第n分段正弦電流基函數(shù)短對稱振子在θ處的

%方向函數(shù)值

theta=(m-1)*pi/180;

ifsin(theta)~=0％此式隱含：若sinθ=0，則F(θ)=0

％

F(1,m)=F(1,m)+j*(60/sin(beta*Deltz))*((cos(beta*Deltz*cos(theta))

－cos(beta*Deltz))/sin(theta))…

*In(n,1)*exp(j*beta*cn*cos(theta));

end

end

end

％獲取傳輸線模型方向函數(shù)向量，參見教材《天線與電波傳播(第二版)》

％式(1-4-5)，其中form=1:Len

theta=(m-1)*pi/180;

ifsin(theta)~=0

Fp(1,m)=Fp(1,m)+(cos(beta*cos(theta))-cos(beta))/sin(theta);

end

end

figure(4)

polar(Theta,abs(Fp)/max(abs(Fp)),′ko′);

％繪制傳輸線模型歸一化方向圖

holdon;

polar(Theta(1,1:3:Len),abs(F(1,1:3:Len))/max(abs(F)),′r－′);

％繪制矩量法方向圖

holdon;functiony=Fun_Zmn01(z)

globalbetaazzmzznDeltz;

j=sqrt(－1);

R0=sqrt((z－zzm).^2+a^2);

%

R1=sqrt((z－(zzm－Deltz)).^2+a^2);％

R2=sqrt((z－(zzm+Deltz)).^2+a^2);％

%

y=sin(beta*(zzn+Deltz－z)).*(exp(－j*beta*R1).

/R1－2*cos(beta*Deltz)*exp(－j*beta*R0)./R0+exp(－j*beta*R2)./R2);functiony=Fun_Zmn02(z)

globalbetaazzmzznDeltz;

j=sqrt(－1);

R0=sqrt((z－zzm).^2+a^2);

R1=sqrt((z－(zzm－Deltz)).^2+a^2);

R2=sqrt((z－(zzm+Deltz)).^2+a^2);

%

y=sin(beta*(z－(zzn－Deltz))).*(exp(－j*beta*R1).

/R1－2*cos(beta*Deltz)*exp(－j*beta*R0)./R0+exp(－j*beta*R2)./R2);functiony=Fun_Vm01(z)

globalbetaaDeltz;

j=sqrt(-1);

y=sin(beta*(Deltz-z));%y=sin[β(Δz－z)]

functiony=Fun_Vm02(z)

globalbetaaDeltz;

j=sqrt(-1);

y=sin(beta*(z-(-Deltz)));

%y=sin[β(z+Δz)]

3.5V形對稱振子計算實例

V形對稱振子結(jié)構(gòu)如圖3-5-1所示，導(dǎo)線長度為l，張角為2α。采用分段正弦基函數(shù)伽遼金的方法，將天線每臂均分為N+1=6分段，如圖3-5-2所示，每一分段長度。電流基函數(shù)取分段正弦函數(shù)Fn(z)為(3-5-1)圖3-5-1V形對稱振子圖3-5-2V形對稱振子的分段正弦基函數(shù)其中,z是沿導(dǎo)線方向的變量。天線上電流用基函數(shù)表示為(3-5-2)式中,In為待求的n模電流。在V形天線的饋電端處，上、下半模不在一條直線上，如圖3-5-2所示，這樣計算時需要分角點處和非角點處兩種情況來分別計算。在非角點處，互阻抗矩陣Z分量計算如下：(3-5-3)式中,em為第m模電流的方向矢量；En為第n段電流產(chǎn)生的電場,(3-5-4a)(3-5-4b)(3-5-4c)式中變量如圖3-5-3所示。圖3-5-3n模電流位置示意圖在V形天線的饋電端處，互阻抗需要分半模來分別計算，即(3-5-5)式中,En=Eρneρ+Eznez。對于上半模,(3-5-6a)(3-5-6b)對于下半模,(3-5-6c)(3-5-6d)求出電流后，利用下述公式可以求出輻射場，n模電流在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的矢位是(3-5-7)設(shè)非角點處n模電流方向en1=en2=(cosαn,cosβn,cosγn)，場點r的球坐標(biāo)為(r,θ,j)，則(3-5-8a)其中(3-5-8b)(3-5-8c)將式(3-5-8)代入式(3-5-7)，積分后得(3-5-9)在角點處，設(shè)上、下半模的電流方向分別為(3-5-10a)(3-5-10b)令(3-5-11a)(3-5-11b)同理,由式(3-5-7)積分,可得(3-5-12a)其中(3-5-12b)(3-5-12c)由上述各模電流產(chǎn)生的矢位，疊加得總的矢位(3-5-13)再求出A的θ分量(3-5-14)于是,得到天線在遠(yuǎn)區(qū)的輻射場(3-5-15)編程如下，程序中?。簩?dǎo)線半徑a=1/20m，導(dǎo)線長度l=0.75λ，張角2α=118.5°。closeall;clc;clear;

globalkaw1w2e1e2deta;

bc=30;%波長bc=30m

l=0.75*bc;%天線臂長l＝0.75bc

a=1/20;%導(dǎo)線半徑a=1/20m

alph=118.5/2*pi/180;%V形天線張角2α=118.5°,計算中以弧度為單位

k=2*pi/bc;%波數(shù)k=2π/bc

c=3e+8;%光速c＝3×108m/s

f=c/bc;%頻率f=c/bc

mu=pi*4e-7;%μ0=4π×10－7

N1=5;%圖3-5-2單臂上取5個整模

N=2*N1+1;%兩臂上共有2N1＋1個整模

zmn=zeros(N);%互阻抗矩陣初值賦零

v=zeros(N,1);%電壓矩陣初值賦零

v(N1+1)=1;%饋電點處激勵電壓為1deta=l/(N1+1);

%半模長度Δ=l/(N1+1)

sita=(1:360)*pi/180－0.01*pi/180;%定義求解空間的方向角θ

wz=zeros(3,N);%天線坐標(biāo)初值賦零，坐標(biāo)如圖3-5-4所示

wz(1,N1+1:2*N1+1)=(0:N1)*deta*cos(alph);%天線下臂x軸坐標(biāo)

wz(1,1:N1)=wz(1,2*N1+1:－1:N1+2);%天線上臂x軸坐標(biāo)

wz(3,N1+1:2*N1+1)=－(0:N1)*deta*sin(alph);%天線下臂z軸坐標(biāo)

wz(3,1:N1)=－wz(3,2*N1+1:－1:N1+2);%天線上臂z軸坐標(biāo)

We1=[cos(alph);0;sin(alph)];%天線上臂坐標(biāo)單位矢量

We2=[-cos(alph);0;sin(alph)];%天線下臂坐標(biāo)單位矢量

WE1(1:3,N1+1)=We1;

WE1(1:3,1:N1)=kron(ones(1,N1),We1);%計算天線上臂每一段的

%坐標(biāo)單位矢量

WE1(1:3,N1+2:2*N1+1)=kron(ones(1,N1),We2);%計算天線下臂每一

%段的坐標(biāo)單位矢量

WE2=WE1;WE2(1:3,N1+1)=We2;圖3-5-4主程序中天線坐標(biāo)form=1:N%計算阻抗矩陣Zmn

m%m表示模式

forn=m:N

w1=wz(1:3,m);%m模的坐標(biāo)

w2=wz(1:3,n);%n模的坐標(biāo)

ifm==N1+1|n==N1+1%計算V形頂點處N1＋1模的阻抗矩陣Zmn

e1=WE1(:,m);e2=WE1(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz11=－quadl(′z11′,0,deta);%求Z11的積分

e1=WE1(:,m);e2=WE2(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz12=－quadl(′z12′,－deta,0);%求Z12的積分

e1=WE2(:,m);e2=WE1(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz21=－quadl(′z21′,0,deta);%求Z21的積分

e1=WE2(:,m);e2=WE2(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz22=－quadl(′z22′,－deta,0);%求Z22的積分

zmn(m,n)=zz11+zz12+zz21+zz22;

%計算阻抗矩陣Zmn＝

%Z11＋Z12＋Z21+Z22

else

%計算上下兩臂的阻抗矩陣

e1=WE1(1:3,m);e2=WE1(1:3,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz1=－quadl(′z1′,0,deta);%對Z1求積分

zz2=-quadl(′z2′,-deta,0);%對Z2求積分

zmn(m,n)=zz1+zz2;%計算阻抗矩陣Zmn

end

zmn(n,m)=zmn(m,n);%利用對稱性計算Zmn

end

end

I=zmn＼v;

%計算電流矩陣I

rin=1/I(N1+1);

figure(1);plot(1:N,abs(I));%畫每個模的電流幅值

g1=k*(cos(sita)*cos(alph)+sin(sita)*sin(alph));%計算式(3-5-11a)jf1=2*k*(cos(g1*deta)－cos(k*deta))./(k^2－g1.^2)/sin(k*deta);

%對上臂計算式(3-5-9)中的部分算式

An1=(exp(j*g1*deta)-exp(－j*k*deta)).

/(g1+k)－(exp(j*g1*deta)-exp(j*k*deta))./(g1－k);

An1=An1/2/sin(k*deta);

%計算式(3-5-12b)

g2=k*(cos(sita)*cos(alph)－sin(sita)*sin(alph));%計算式(3-5-11b)

jf2=2*k*(cos(g2*deta)－cos(k*deta))./(k^2－g2.^2)/sin(k*deta);

%對下臂計算式(3-5-9)中的部分算式

An2=(exp(－j*g2*deta)－exp(－j*k*deta)).

/(k－g2)+(exp(－j*g2*deta)－exp(j*k*deta))./(g2+k);

An2=An2/2/sin(k*deta);%計算式(3-5-12c)

a1=0;a2=0;

forn=1:N1%針對上臂

fn=wz(1,n)*cos(sita)+wz(2,n)*0+wz(3,n)*sin(sita);%計算式(3-5-8b)

a1=a1+I(n)*exp(j*k*fn);%計算

end

forn=N1+2:2*N1+1%針對下臂

fn=wz(1,n)*cos(sita)+wz(2,n)*0+wz(3,n)*sin(sita);%計算式(3-5-8b)

a2=a2+I(n)*exp(j*k*fn);%計算

end

a1=a1.*jf1;%計算上臂矢位的模值

a2=a2.*jf2;%計算下臂矢位的模值

A=kron(We1,a1)+kron(We2,a2)+I(N1+1)*(kron(We1,An1)+kron(We2,An2));

%計算總的矢位A

Esita=A(1,:).*sin(sita)+A(3,:).*(－cos(sita));%計算Aθfyi=1:360;fyi=fyi*pi/180;s2=length(fyi);

%為計算方向系數(shù)，定義

%積分空間的j

t1=kron(A(1,:).*sin(sita),cos(fyi).′)+kron(A(3,:).*(－cos(sita)),ones(s2,1));

A1=t1.*conj(t1).*kron(sin(sita),ones(s2,1))*(pi/180)^2;

%計算方向系數(shù)公式中的被積函數(shù)

A3=sum(sum(A1));%用求和計算方向系數(shù)公式中的積分

D=Esita(1)^2/A3*4*pi;%計算方向系數(shù)

Esita=Esita*j*mu*2*pi*f/4/pi;%計算V形天線的輻射電場Eθ

lEsita=20*log10(abs(Esita/Esita(1)));%電場的分貝值

figure(2);polar(sita,40+lEsita);%天線方向圖，以分貝值顯示

V形天線的方向圖計算結(jié)果如圖3-5-5所示。圖3-5-5V形對稱振子方向圖

3.6菱形天線計算實例

菱形天線結(jié)構(gòu)如圖3-6-1所示，菱形邊長為L，張角為2α。計算過程類似于V形天線，采用分段正弦基函數(shù)伽遼金的方法，將天線每邊均分為N+1=24分段，每一分段長度Δ=L/(N+1)。電流基函數(shù)取式(3-5-1)表示的分段正弦函數(shù)，計算互阻抗的子程序z11.m、z12.m、z21.m、z22.m、z1.m、z2.m與V形天線的子程序完全相同，此處省略。主程序如下，程序中?。侯l率f=15MHz，菱形邊長L=29m，導(dǎo)線半徑a=0.0025m，張角2α=82°。圖3-6-1菱形天線結(jié)構(gòu)示意圖clc;clear;tic;

globalkaw1w2e1e2deta;

f=15;%頻率f＝15MHz

bc=300/f;%波長bc＝c/f(m/s)

k=2*pi/bc;%波數(shù)k=2π/bc

N1=23;%菱形每邊上取23個整模

N=4*N1+4;%四邊上共有4N1＋4個整模

L=29;%天線邊長L=29m

a=0.0025;%導(dǎo)線半徑a=0.0025m

deta=L/(N1+1);%半模長度Δ=L/(N1+1)

alph=41*pi/180;%菱形天線張角2α=41°,程序中以弧度為單位

sita=(1:180)*pi/180－0.01*pi/180;%定義求解空間的方向角θ

fyi=(1:360)*pi/180－0.01*pi/180;%定義求解空間的方向角j

s1=length(sita);

%θ角離散的個數(shù)s2=length(fyi);%j角離散的個數(shù)

mu=4*pi*10^(－7);%μ0=4π×10－7

ZL=120*log(2*L/a－1)+120*log(pi/2－alph);%天線的特性阻抗

YL=1/ZL;%天線的特性導(dǎo)納

wz=zeros(3,N);%天線坐標(biāo)初值賦零

wz(1,1:2*N1+3)=(0:2*N1+2)*deta*cos(alph);

%天線1、2兩條邊的x軸坐標(biāo)

wz(1,4*N1+4:-1:2*N1+4)=wz(1,2:2*N1+2);

%天線3、4兩條邊的x軸坐標(biāo)

wz(2,1:N1+2)=(0:N1+1)*deta*sin(alph);%天線第1條邊的y軸坐標(biāo)

wz(2,N1+3:2*N1+3)=wz(2,N1+1:－1:1);%天線第2條邊的y軸坐標(biāo)

wz(2,2*N1+4:3*N1+4)=-wz(2,2*N1+2:－1:N1+2);

%天線第3條邊的y軸坐標(biāo)

wz(2,3*N1+5:4*N1+4)=－wz(2,N1+1:－1:2);%天線第4條邊的y軸坐標(biāo)

We1=[cos(alph);sin(alph);0];

%天線第1條邊的坐標(biāo)單位矢量

We2=[cos(alph);－sin(alph);0];%天線第2條邊的坐標(biāo)單位矢量We3=[－cos(alph);－sin(alph);0];%天線第3條邊的坐標(biāo)單位矢量

We4=[－cos(alph);sin(alph);0];%天線第4條邊的坐標(biāo)單位矢量

WE1=zeros(3,N);WE2=zeros(3,N);%天線每小段的坐標(biāo)單位矢量初值賦零

WE1(:,1:N1+1)=kron(ones(1,N1+1),We1);

%天線第1條邊上每小段的坐標(biāo)單位矢量

WE1(:,N1+2:2*N1+2)=kron(ones(1,N1+1),We2);

%天線第2條邊上每小段的坐標(biāo)單位矢量

WE1(:,2*N1+3:3*N1+3)=kron(ones(1,N1+1),We3);

%天線第3條邊上每小段的坐標(biāo)單位矢量

WE1(:,3*N1+4:4*N1+4)=kron(ones(1,N1+1),We4);

%天線第4條邊上每小段的坐標(biāo)單位矢量

WE2=WE1;

%再定義一組坐標(biāo)單位矢量，用于互阻抗計算WE2(:,1)=We4;WE2(:,N1+2)=We1;WE2(:,2*N1+3)=We2;WE2(:,3*N1+4)=We3;

%4個頂點的坐標(biāo)單位矢量

zmn=zeros(N);%互阻抗矩陣初值賦零

v=zeros(N,1);%電壓矩陣初值賦零

c=[1,N1+2,2*N1+3,3*N1+4];%4個頂點的編號

form=1:N%計算阻抗矩陣Zmn

m

%m表示模式

forn=m:N

w1=wz(:,m);%m模的坐標(biāo)

w2=wz(:,n);

%n模的坐標(biāo)

ifall(c-m)==0|all(c-n)==0%計算菱形4個頂點處的阻抗矩陣Zmn

e1=WE1(:,m);e2=WE1(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz11=－quadl(′z11′,0,deta);%求Z11的積分

e1=WE1(:,m);e2=WE2(:,n);

%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz12=－quadl(′z12′,－deta,0);%求Z12的積分

e1=WE2(:,m);e2=WE1(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz21=－quadl(′z21′,0,deta);%求Z21的積分

e1=WE2(:,m);e2=WE2(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz22=－quadl(′z22′,－deta,0);%求Z22的積分

zmn(m,n)=zz11+zz12+zz21+zz22;%計算阻抗矩陣Zmn＝

%Z11＋Z12+Z21+Z22

else

%計算菱形4條邊的阻抗矩陣Zmn

e1=WE1(:,m);e2=WE1(:,n);%m、n模的坐標(biāo)單位矢量

zz1=－quadl(′z1′,0,deta);

%對Z1求積分

zz2=－quadl(′z2′,－deta,0);

%對Z2求積分

zmn(m,n)=zz1+zz2;

%計算阻抗矩陣Zmn

end

zmn(n,m)=zmn(m,n);

%利用對稱性計算Zmn

end

end

ymn=inv(zmn);

%計算導(dǎo)納矩陣Ymn

YA=zeros(2);YT=zeros(2);YT(2,2)=YL;%天線加匹配負(fù)載YL

Is=zeros(2,1);Is(1,1)=1;

YA(1,1)=ymn(1,1);YA(1,2)=ymn(1,2*N1+3);YA(2,1)=YA(1,2);YA(2,2)=YA(1,1);

%定義二端口導(dǎo)納矩陣

VA=(YA+YT)＼Is;

v(1)=VA(1);

%計算輸入端電壓

v(2*N1+3)=VA(2);