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人教版初中數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)題集錦引言初中數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)是對(duì)一學(xué)期知識(shí)的系統(tǒng)梳理與鞏固,核心目標(biāo)是強(qiáng)化高頻考點(diǎn)、突破易錯(cuò)難點(diǎn)、提升解題能力。本集錦以人教版教材為依托,按年級(jí)劃分,覆蓋各章節(jié)核心題型,每道題附詳細(xì)解析與方法總結(jié),旨在幫助學(xué)生高效復(fù)習(xí),針對(duì)性解決“不會(huì)做、做不對(duì)、做不快”的問題。七年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)題集錦一、有理數(shù)(一)數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)問題(高頻考點(diǎn))例題1:數(shù)軸上A點(diǎn)表示-2,B點(diǎn)表示4,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以2個(gè)單位/秒向正方向運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā),以1個(gè)單位/秒向負(fù)方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒。(1)\(t=1\)時(shí),求P、Q兩點(diǎn)距離;(2)\(t\)為何值時(shí),P、Q相遇?(3)\(t\)為何值時(shí),P、Q距離為2?解析:(1)\(t=1\)時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo):\(-2+2×1=0\);Q點(diǎn)坐標(biāo):\(4-1×1=3\),距離為\(|0-3|=3\)。(2)相遇時(shí)坐標(biāo)相等:\(-2+2t=4-t\),解得\(t=2\)。(3)距離公式:\(|(-2+2t)-(4-t)|=2\),即\(|3t-6|=2\),解得\(t=\frac{8}{3}\)或\(t=\frac{4}{3}\)(相遇前、后兩種情況)。方法總結(jié):動(dòng)點(diǎn)問題關(guān)鍵:用\(t\)表示各點(diǎn)坐標(biāo)(起點(diǎn)±速度×?xí)r間);距離用絕對(duì)值表示,相遇時(shí)坐標(biāo)相等;距離為定值時(shí)需分類討論(相遇前、后)。(二)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)(易錯(cuò)點(diǎn))例題2:化簡(jiǎn)\(|x-3|+|x+2|\)(\(x\)為有理數(shù))。解析:零點(diǎn)分段法:令\(x-3=0\)得\(x=3\),令\(x+2=0\)得\(x=-2\),分三段討論:1.\(x<-2\):原式\(=-(x-3)-(x+2)=-2x+1\);2.\(-2≤x≤3\):原式\(=-(x-3)+(x+2)=5\);3.\(x>3\):原式\(=(x-3)+(x+2)=2x-1\)。方法總結(jié):絕對(duì)值化簡(jiǎn)的核心是去掉絕對(duì)值符號(hào),需找到“零點(diǎn)”(使絕對(duì)值內(nèi)為0的x值),將數(shù)軸分段;每段內(nèi)根據(jù)符號(hào)法則去掉絕對(duì)值,再合并同類項(xiàng)。二、一元一次方程(一)實(shí)際應(yīng)用(工程問題)例題3:一項(xiàng)工程,甲單獨(dú)做需10天完成,乙單獨(dú)做需15天完成,兩人合作3天后,甲因事離開,剩余工程由乙單獨(dú)完成,乙還需多少天?解析:設(shè)總工作量為1,甲效率\(\frac{1}{10}\),乙效率\(\frac{1}{15}\)。合作3天完成:\(3×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=3×\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\),剩余\(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。乙單獨(dú)完成需:\(\frac{1}{2}÷\frac{1}{15}=7.5\)(天)。方法總結(jié):工程問題基本公式:工作量=效率×?xí)r間;總工作量通常設(shè)為1,效率=1/單獨(dú)完成時(shí)間;合作效率=各部分效率之和。三、幾何初步(一)線段與角的計(jì)算(基礎(chǔ)考點(diǎn))例題4:已知線段AB=8cm,點(diǎn)C在線段AB上,AC=3cm,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),求AD的長(zhǎng)度。解析:BC=AB-AC=8-3=5cm,D是BC中點(diǎn),故CD=2.5cm,AD=AC+CD=3+2.5=5.5cm。方法總結(jié):線段計(jì)算需明確點(diǎn)的位置關(guān)系(在線段上、延長(zhǎng)線上);中點(diǎn)性質(zhì):中點(diǎn)分線段為相等的兩部分。七年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)題集錦一、相交線與平行線(一)平行線的判定與性質(zhì)(核心考點(diǎn))例題1:如圖,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AB∥CD。解析:∠1=∠2→AE∥BF(同位角相等,兩直線平行),故∠A=∠3(兩直線平行,同位角相等);又∠3=∠4→∠A=∠4→AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)。方法總結(jié):判定:由角相等/互補(bǔ)推直線平行(同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角);性質(zhì):由直線平行推角相等/互補(bǔ);常需中間直線(如BF)過渡。二、二元一次方程組(一)代入消元法(基礎(chǔ)方法)例題2:解方程組\(\begin{cases}x+2y=5\\3x-2y=1\end{cases}\)。解析:由第一個(gè)方程得\(x=5-2y\),代入第二個(gè)方程:\(3(5-2y)-2y=1\)→15-6y-2y=1→-8y=-14→y=1.75;代入\(x=5-2y\)得\(x=5-3.5=1.5\)。方法總結(jié):代入消元法步驟:選一個(gè)系數(shù)簡(jiǎn)單的方程解出一個(gè)變量,代入另一個(gè)方程,解一元一次方程,回代求另一個(gè)變量。三、不等式與不等式組(一)解不等式組(高頻考點(diǎn))例題3:解不等式組\(\begin{cases}2x-1<5\\\frac{x+1}{2}≥1\end{cases}\),并求整數(shù)解。解析:解第一個(gè)不等式:2x<6→x<3;解第二個(gè)不等式:x+1≥2→x≥1;故解集為1≤x<3,整數(shù)解為1、2。方法總結(jié):解不等式組需分別解每個(gè)不等式,再取解集的交集(借助數(shù)軸更直觀);整數(shù)解需在解集范圍內(nèi)找整數(shù)。八年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)題集錦一、三角形(一)三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)(基礎(chǔ)考點(diǎn))例題1:在△ABC中,∠A=50°,∠B=60°,求∠C的外角。解析:∠C=180°-∠A-∠B=70°,故∠C的外角=180°-70°=110°(或直接用外角性質(zhì):∠C的外角=∠A+∠B=110°)。方法總結(jié):三角形內(nèi)角和=180°;外角性質(zhì):外角=不相鄰兩內(nèi)角之和(比內(nèi)角和更快捷)。二、全等三角形(一)倍長(zhǎng)中線法(難點(diǎn)突破)例題2:已知△ABC中,AD是BC中線,E是AD上一點(diǎn),BE延長(zhǎng)交AC于F,且AF=EF,求證:AC=BE。解析:延長(zhǎng)AD到G,使DG=AD,連接BG(倍長(zhǎng)中線)?!逜D是中線→BD=CD,∠ADC=∠GDB(對(duì)頂角),AD=DG→△ADC≌△GDB(SAS)→AC=BG,∠CAD=∠G?!逜F=EF→∠CAD=∠AEF(等邊對(duì)等角),又∠AEF=∠BEG(對(duì)頂角)→∠G=∠BEG→BE=BG→AC=BE。方法總結(jié):倍長(zhǎng)中線法適用于中線相關(guān)的全等證明,通過延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形,將分散的線段集中;關(guān)鍵:利用中線性質(zhì)(BD=CD)和對(duì)頂角相等構(gòu)造SAS全等。三、軸對(duì)稱(一)最短路徑問題(將軍飲馬)例題3:如圖,直線l是一條河,P、Q是河同側(cè)的兩個(gè)村莊,求在l上找一點(diǎn)M,使PM+QM最短。解析:作P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P',連接P'Q交l于M,M即為所求。理由:PM=P'M(對(duì)稱性質(zhì)),故PM+QM=P'M+QM=P'Q(兩點(diǎn)之間線段最短)。方法總結(jié):將軍飲馬問題的核心是對(duì)稱轉(zhuǎn)化,將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn),利用線段最短解決;常見類型:一線兩點(diǎn)、兩線一點(diǎn)(如角平分線最短路徑)。八年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)題集錦一、二次根式(一)二次根式的化簡(jiǎn)(易錯(cuò)點(diǎn))例題1:化簡(jiǎn)\(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27}\)。解析:\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\),\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\),\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\),故原式=2√3-√3/3+3√3=(2+3)√3-√3/3=5√3-√3/3=14√3/3。方法總結(jié):二次根式化簡(jiǎn)需將被開方數(shù)分解為平方數(shù)與非平方數(shù)的乘積,如√(a2b)=a√b(a≥0);分母有理化:√(1/a)=√a/a(a>0);合并同類二次根式(被開方數(shù)相同)。二、平行四邊形(一)平行四邊形的性質(zhì)(核心考點(diǎn))例題2:在?ABCD中,∠A=60°,AB=4,AD=6,求BC邊上的高。解析:過A作AE⊥BC于E,?ABCD中AD=BC=6,∠B=180°-∠A=120°(平行四邊形鄰角互補(bǔ))。在Rt△ABE中,∠BAE=30°(∠B=120°,直角三角形兩銳角互余),故BE=AB/2=2(30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半),AE=√(AB2-BE2)=√(16-4)=√12=2√3。方法總結(jié):平行四邊形性質(zhì):對(duì)邊相等、對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)、對(duì)角線互相平分;求高時(shí)常用勾股定理或三角函數(shù)(如sin60°=AE/AB→AE=AB×sin60°=4×√3/2=2√3)。三、一次函數(shù)(一)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(高頻考點(diǎn))例題3:已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像過點(diǎn)(1,2)和(3,4),求k和b的值。解析:將兩點(diǎn)代入得方程組:\(\begin{cases}k+b=2\\3k+b=4\end{cases}\),用減法消元:3k+b-(k+b)=4-2→2k=2→k=1,代入k+b=2得b=1。方法總結(jié):一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像是直線,過兩點(diǎn)即可確定;求k、b需用待定系數(shù)法(代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程組);k的符號(hào)決定增減性(k>0遞增,k<0遞減),b是y軸截距。九年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)題集錦一、一元二次方程(一)根的判別式(基礎(chǔ)考點(diǎn))例題1:判斷方程2x2-3x+1=0的根的情況。解析:判別式Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=9-8=1>0,故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。方法總結(jié):一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況:Δ>0→兩個(gè)不相等實(shí)根;Δ=0→兩個(gè)相等實(shí)根;Δ<0→無實(shí)根。(二)因式分解法(快捷方法)例題2:解方程x2-5x+6=0。解析:因式分解得(x-2)(x-3)=0→x-2=0或x-3=0→x=2或x=3。方法總結(jié):因式分解法適用于右邊為0且左邊能分解為兩個(gè)一次因式乘積的方程;常見分解方法:提公因式、十字相乘法(如x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b))。二、二次函數(shù)(一)二次函數(shù)的最值(核心考點(diǎn))例題3:求二次函數(shù)y=-x2+2x+3的最大值及頂點(diǎn)坐標(biāo)。解析:配方法:y=-(x2-2x)+3=-(x2-2x+1-1)+3=-(x-1)2+4,故頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,4),最大值為4(開口向下,頂點(diǎn)為最高點(diǎn))。方法總結(jié):二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值:a>0→最小值,a<0→最大值,最值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo);頂點(diǎn)坐標(biāo):(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a)),或用配方法求。(二)二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用(利潤(rùn)問題)例題4:某商品成本50元,售價(jià)60元時(shí)每月賣100件,售價(jià)每漲1元,銷量減5件,求售價(jià)x(x≥60)時(shí)的月利潤(rùn)y的最大值。解析:銷量=100-5(x-60)=400-5x,利潤(rùn)y=(x-50)(400-5x)=-5x2+650x-____;配方得y=-5(x-65)2+1125,故x=65時(shí),y最大值1125元。方法總結(jié):利潤(rùn)問題步驟:設(shè)售價(jià)x→表示銷量(銷量=基礎(chǔ)銷量-減少量)→利潤(rùn)=(x-成本)×銷量→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)→求最值;注意自變量取值范圍(x≥成本,銷量≥0)。三、圓(一)切線的性質(zhì)(高頻考點(diǎn))例題5:如圖,AB是⊙O的直徑,BC切⊙O于B,AC交⊙O于D,若∠C=30°,AB=2,求CD的長(zhǎng)度。解析:BC切⊙O于B→AB⊥BC(切線垂直于半徑),故△ABC是直角三角形,∠C=30°→AC=2AB=4(30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半);AB是直徑→∠ADB=90°(直徑所對(duì)圓周角是直角),故△ABD是直角三角形,∠A=60°→AD=AB×cos60°=2×0.5=1;故CD=AC-AD=4-1=3。方法總結(jié):切線性質(zhì):切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(常作輔助線:連接圓心與切點(diǎn));直徑性質(zhì):直徑所對(duì)圓周角是直角(常作輔助線:連接直徑端點(diǎn)與圓周上點(diǎn))。九年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)題集錦(節(jié)選)一、相似三角形(一)相似三角形的判定(核心考點(diǎn))例題1:如圖,DE∥BC,AD=2,DB=3,AE=1.5,求EC的長(zhǎng)度。解析:DE∥BC→△ADE∽△ABC(平行線分三角形相似),故AD/AB=AE/AC→2/(2+3)=1.5/(1.5+EC)→2/5=1.5/(1.5+EC)→2(1.5+EC)=7.5→3+2EC=7.5→EC=2.25。方法總結(jié):相似三角形判定:平行線法(DE∥BC→△ADE∽△ABC)、SSS、SAS、AA;相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例(注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)順序)。二、銳角三角函數(shù)(一)三角函數(shù)的計(jì)算(基礎(chǔ)考點(diǎn))例題2:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,求sinA、cosA、tanA的值。解析:AB=√(AC2+BC2)=√(16+9)=5(勾股定理);sinA=BC/AB=3/5(對(duì)邊/斜邊);cosA=AC/AB=4/5(鄰邊/斜邊);tanA=BC/AC=3/4(對(duì)邊/鄰邊)。方法總結(jié):三角函數(shù)定義:sinθ=對(duì)邊/斜邊,cosθ=鄰邊/斜邊,tanθ=對(duì)邊/鄰邊;需先確定直角三角形的直角邊與斜邊(∠C=90°→AB為斜邊)。期末復(fù)習(xí)建議1.
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