3.1.3兩角和與差的正切[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明.3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．[知識(shí)鏈接]1．如何化簡(jiǎn)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))呢？答因?yàn)閠aneq\f(π,2)的值不存在，不能利用公式Tα－β，所以改用誘導(dǎo)公式來解．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)))＝eq\f(cosβ,sinβ).2．你能根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，從兩角和的正弦、余弦公式出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)的公式嗎？答當(dāng)cos(α＋β)≠0時(shí)，tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).當(dāng)cosαcosβ≠0時(shí)，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．兩角和與差的正切公式(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).(2)Tα－β：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).2．兩角和與差的正切公式的變形(1)Tα＋β的變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).(2)Tα－β的變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．要點(diǎn)一利用和(差)角的正切公式求值例1求下列各式的值：(1)eq\f(\r(3)＋tan15°,1－\r(3)tan15°)；(2)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.解(1)原式＝eq\f(tan60°＋tan15°,1－tan60°tan15°)＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝eq\f(tan30°＋tan45°,1－tan30°tan45°)＝eq\f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3).(2)∵tan45°＝eq\f(tan15°＋tan30°,1－tan15°tan30°)＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°，∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.規(guī)律方法公式Tα＋β，Tα－β是變形較多的兩個(gè)公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三個(gè)．跟蹤演練1求下列各式的值：(1)eq\f(cos75°－sin75°,cos75°＋sin75°)；(2)tan36°＋tan84°－eq\r(3)tan36°tan84°.解(1)原式＝eq\f(1－tan75°,1＋tan75°)＝eq\f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－eq\r(3)tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－eq\r(3)tan36°tan84°＝tan120°＝－eq\r(3).要點(diǎn)二利用和(差)角的正切公式求角例2若α，β均為鈍角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.解∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝eq\f(7π,4).規(guī)律方法此類題是給值求角題，解題步驟如下：(1)求所求角的某一個(gè)三角函數(shù)值，(2)確定所求角的范圍．此類題常犯的錯(cuò)誤是對(duì)角的范圍不加討論，范圍討論的程度過大或過小，會(huì)使求出的角不合題意或者漏解．跟蹤演練2已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根，且－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，求角α＋β.解由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－3\r(3)，,tanα·tanβ＝4，))∴tanα、tanβ均為負(fù)，∴－eq\f(π,2)<α<0，－eq\f(π,2)<β<0.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3).∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq\f(2π,3).要點(diǎn)三和(差)角的正切公式的綜合應(yīng)用例3已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，試判斷△ABC的形狀．解∵eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，∴eq\r(3)(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3).又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝eq\f(5π,6)，∴C＝eq\f(π,6)，∵tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，tanC＝eq\f(\r(3),3)，∴tanB＋eq\f(\r(3),3)＋tanB＝eq\r(3)，tanB＝eq\f(\r(3),3)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(2π,3)，∴△ABC為等腰鈍角三角形．規(guī)律方法三角形中的問題，A＋B＋C＝π肯定要用，有時(shí)與誘導(dǎo)公式結(jié)合，有時(shí)利用它尋找角之間的關(guān)系減少角．跟蹤演練3已知A、B、C為銳角三角形ABC的內(nèi)角，求證：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.證明∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－tanC.∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC.1．若tan(eq\f(π,4)－α)＝3，則tanα的值為()A．－2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．2答案B解析tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝eq\f(1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2).2．已知A＋B＝45°，則(1＋tanA)(1＋tanB)的值為()A．1B．2C．－2D．不確定答案B解析(1＋tanA)·(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.3．已知A，B都是銳角，且tanA＝eq\f(1,3)，sinB＝eq\f(\r(5),5)，則A＋B＝________.答案eq\f(π,4)解析∵B為銳角，sinB＝eq\f(\r(5),5)，∴cosB＝eq\f(2\r(5),5)，∴tanB＝eq\f(1,2)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝eq\f(π,4).4．已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α、β∈(0，π)．(1)求tanα的值；(2)求2α－β的值．解(1)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,14))＝eq\f(1,3).(2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq\f(tanα－β＋tanα,1－tanα－βtanα)＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π.又∵tanα＝eq\f(1,3)>0，∴0<α<eq\f(π,2).∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝eq\f(1,2)>0，∴－π<α－β<－eq\f(π,2).∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝－eq\f(3π,4).1．公式Tα±β的適用范圍、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和符號(hào)規(guī)律(1)由正切函數(shù)的定義可知α、β、α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)公式Tα±β的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(3)符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”．2．公式Tα±β的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換．如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r