專題三概率及期望與方差建知識網(wǎng)絡明內(nèi)在聯(lián)系[高考點撥]本專題涉及面廣，往往以生活中的熱點問題為依托，在浙江新高考中的考查方式十分靈活，背景容易創(chuàng)新．基于上述分析，本專題按照“古典概型”“隨機變量及其分布”兩個方面分類進行引導，強化突破．突破點6古典概型(對應學生用書第24頁)[核心知識提煉]提煉1古典概型問題的求解技巧 (1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來，然后進行求解． (2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結(jié)果不重、不漏． (3)逆向思維：對于較復雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進而可得所求事件的概率． (4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來處理反而比較復雜，利用對稱思維，可以快速解決.提煉2求概率的兩種常用方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若一個較復雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率．[高考真題回訪]回訪古典概型1．(2011·浙江高考)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是() A.eq\f(1,10)B.eq B.eq\f(3,10) C.eq\f(3,5)D.eqD.eq\f(9,10) D[“所取的3個球中至少有1個白球”的對立事件是“所取的3個球都不是白球”，因而所求的概率P＝1－eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).]2．(2014·浙江高考)在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________． eq\f(1,3)[記“兩人都中獎”為事件A， 設中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種． 其中甲、乙都中獎有(1,2)，(2,1)，2種，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]3．(2013·浙江高考)從3男3女共6名同學中任選2名(每名同學被選中的機會均等)，這2名都是女同學的概率等于__________． eq\f(1,5)[用A，B，C表示三名男同學，用a，b，c表示三名女同學，則從6名同學中選出2人的所有選法為：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15種選法，其中都是女同學的選法有3種，即ab，ac，bc，故所求概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).](對應學生用書第25頁)熱點題型1古典概型題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關鍵是準確列舉基本事件，難度較小.【例1】(1)(2017·浙東北教學聯(lián)盟高三一?？荚?)袋子里有大小、形狀相同的紅球m個，黑球n個(m＞n＞2)．從中任取1個球是紅球的概率記為p1.若將紅球、黑球個數(shù)各增加1個，此時從中任取1個球是紅球的概率記為p2；若將紅球、黑球個數(shù)各減少1個，此時從中任取1個球是紅球的概率記為p3，則() A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p3＞p2＞p1 D．p3＞p1＞p2 (2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是()【導學號：】 A.eq\f(9,16) B.eq\f(7,16) C.eq\f(4,16) D.eq\f(3,16) (1)B(2)A[(1)由題意得p1＝eq\f(m,m＋n)，p2＝eq\f(m＋1,m＋n＋2)，p3＝eq\f(m－1,m＋n－2)，則eq\f(1,p1)＝eq\f(m＋n,m)＝1＋eq\f(n,m)，eq\f(1,p2)＝eq\f(m＋n＋2,m＋1)＝1＋eq\f(n＋1,m＋1)，eq\f(1,p3)＝eq\f(m＋n－2,m－1)＝1＋eq\f(n－1,m－1)，則eq\f(1,p1)－eq\f(1,p2)＝eq\f(n,m)－eq\f(n＋1,m＋1)＝eq\f(n－m,mm＋1)＜0，eq\f(1,p1)－eq\f(1,p3)＝eq\f(n,m)－eq\f(n－1,m－1)＝eq\f(m－n,mm－1)＞0，所以eq\f(1,p2)＞eq\f(1,p1)＞eq\f(1,p3)，所以p3＞p1＞p2，故選D. (2)記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”． 因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1. 因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥eq\f(b2,3). 所以當b＝1時，有a≥eq\f(1,3)，故a可取1,2,3,4，共4個數(shù)； 當b＝2時，有a≥eq\f(4,3)，故a可取2,3,4，共3個數(shù)； 當b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數(shù)； 當b＝4時，有a≥eq\f(16,3)，故a無可取值． 綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(種)． 故所求事件A的概率為P(A)＝eq\f(9,16).故選A.][方法指津]利用古典概型求事件概率的關鍵及注意點1．關鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)．2．注意點：(1)對于較復雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應不重不漏．(2)當直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率．[變式訓練1](2016·溫州調(diào)研)若將甲、乙兩個球隨機放入編號為1,2,3的三個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則在1,2號盒子中各有一個球的概率是________． eq\f(2,9)[將甲、乙兩個球隨機放入編號為1,2,3的三個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則有3×3＝9種不同放法，其中在1,2號盒子中各有一個球的結(jié)果有2種，故所求概率是eq\f(2,9).]熱點題型2互斥事件與對立事件的概率題型分析：互斥事件與對立事件的概率常與古典概型等交匯命題，主要考查學生的分析轉(zhuǎn)化能力，難度中等.【例2】現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團的活動，且參加每個社團是等可能的． (1)求文學社和街舞社都至少有1人參加的概率； (2)求甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的概率． [解]甲、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學社與街舞社的情況如下：文學社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8乙丙甲丁9甲丁乙丙10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲乙丙丁 共有16種情形，即有16個基本事件. 6分 (1)文學社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個， 故所求概率為eq\f(14,16)＝eq\f(7,8). 9分 (2)甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的基本事件有4個，故所求概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4). 12分[方法指津]1．直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算．2．間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法會較簡便．提醒：應用互斥事件概率的加法公式的前提是確定各個事件是否彼此互斥．[變式訓練2](名師押題)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3. (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率； (2)求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．【導學號：】 [解]記事件A為“該車主購買甲種保險”，事件B為