2025年貴州省清鎮(zhèn)市中考數(shù)學真題分類(勾股定理)匯編專項測評試題(含解析)_第1頁
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貴州省清鎮(zhèn)市中考數(shù)學真題分類(勾股定理)匯編專項測評考試時間:90分鐘;命題人:教研組考生注意:1、本卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿分100分,考試時間90分鐘2、答卷前,考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置,如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶,不按以上要求作答的答案無效。第I卷(選擇題14分)一、單選題(7小題,每小題2分,共計14分)1、在△ABC中,AB=10,AC=2,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于(

)A.10 B.8 C.6或10 D.8或102、如圖,點,在直線的同側(cè),到的距離,到的距離,已知,是直線上的一個動點,記的最小值為,的最大值為,則的值為(

)A.160 B.150 C.140 D.1303、如圖,在△ABC中,AD,BE分別是BC,AC邊上的中線,且AD⊥BE,垂足為點F,設BC=a,AC=b,AB=c,則下列關(guān)系式中成立的是(

)A.a(chǎn)2+b2=5c2 B.a(chǎn)2+b2=4c2 C.a(chǎn)2+b2=3c2 D.a(chǎn)2+b2=2c24、如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點E,交CB于點F,若AC=3,AB=5,則CE的長為()A. B. C. D.5、已知點是平分線上的一點,且,作于點,點是射線上的一個動點,若,則的最小值為(

)A.2 B.3 C.4 D.56、如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2米,那么小巷的寬度為(

)A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米7、如圖是一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm,A和B是這個臺階上兩個相對的端點,點A處有一只螞蟻,想到點B處去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為(

)A.20dm B.25dm C.30dm D.35dm第Ⅱ卷(非選擇題86分)二、填空題(8小題,每小題2分,共計16分)1、我國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木,系索其末,委地三尺.引索卻行,去本八尺而索盡.問索長幾何?”譯文為“今有一豎立著的木柱,在木柱的上端系有繩索,繩索從木柱上端順木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牽索沿地面退行,在離木柱根部8尺處時,繩索用盡問繩索長是多少?”示意圖如下圖所示,設繩索的長為尺,根據(jù)題意,可列方程為__________.2、把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點,且另外三個銳角頂點在同一直線上.若,則____.3、如圖,一個高,底面周長的圓柱形水塔,現(xiàn)制造一個螺旋形登梯,為了減小坡度,要求登梯繞塔環(huán)繞一周半到達頂端,問登梯至少為___________長.4、如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,點E在BC上,將△ABC沿AE折疊,使點B落在AC邊上的點B′處,則BE的長為________________.5、《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著,書中有下列問題:“今有垣高一丈,倚木于垣,上與垣齊.引木卻行一尺,其木至地,問木長幾何?”其意思為:今有墻高1丈,倚木桿于墻,使木之上端與墻平齊,牽引木桿下端退行1尺,則木桿(從墻上)滑落至地上.問木桿是多長?(1丈=10尺)設木桿長為x尺根據(jù)題意,可列方程為______.6、如圖,在一次綜合實踐活動中,小明將一張邊長為的正方形紙片,沿著邊上一點與點的連線折疊,點是點的對應點,延長交于點,經(jīng)測量,,則的面積為______.7、無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示.將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內(nèi),木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm.8、如圖,臺風過后,某希望小學的旗桿在離地某處斷裂,且旗桿頂部落在離旗桿底部8m處,已知旗桿原長16m,你能求出旗桿在離底部________m位置斷裂.三、解答題(7小題,每小題10分,共計70分)1、閱讀與思考:請閱讀下列材料,并完成相應的任務.若直角三角形的三邊的長都是正整數(shù),則三邊的長為“勾股數(shù)”.構(gòu)造勾股數(shù),就是要尋找3個正整數(shù),使它們滿足“其中兩個數(shù)的平方和(或平方差)等于第三個數(shù)的平方”.通過觀察常見勾股數(shù)“3,4,5”;“5,12,13”;“7,24,25”……猜想當一組勾股數(shù)中(),最小數(shù)為奇數(shù)時,另兩個正整數(shù)和滿足比且,解得,.任務:(1)請證明猜想成立,即證明,,構(gòu)成勾股數(shù).(2)若一組勾股數(shù)中,最小數(shù)為9,則另兩個數(shù)分別是________和________.2、如圖,有一架秋千,當他靜止時,踏板離地的垂直高度,將他往前推送(水平距離)時,秋千的踏板離地的垂直高度,秋千的繩索始終拉得很直,求繩索的長度.3、如圖,將RtABC紙片沿AD折疊,使直角頂點C與AB邊上的點E重合,若AB=10cm,AC=6cm,求線段BD的長.4、如圖,在一次地震中,一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷,樹的頂部落在離樹根8米處,即,求這棵樹在離地面多高處被折斷(即求AC的長度)?5、如圖,是一塊草坪,已知AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求這塊草坪的面積.6、閱讀理解:課堂上學習了勾股定理后,知道“勾三、股四、弦五”.王老師給出一組數(shù)讓學生觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……學生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,于是王老師提出以下問題讓學生解決.(1)請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù):11,_________,_________;(2)若第一個數(shù)用字母(為奇數(shù),且)表示,則后兩個數(shù)用含的代數(shù)式分別怎么表示?聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個數(shù)有這樣的規(guī)律:,,,……于是他很快表示出了第二個數(shù)為,則用含的代數(shù)式表示第三個數(shù)為_________.(3)用所學知識說明(2)中用表示的三個數(shù)是勾股數(shù).7、設直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a,b及h,求證:.-參考答案-一、單選題1、C【解析】【詳解】分兩種情況:在圖①中,由勾股定理,得;;∴BC=BD+CD=8+2=10.在圖②中,由勾股定理,得;;∴BC=BD―CD=8―2=6.故選C.2、A【解析】【分析】作點A關(guān)于直線MN的對稱點,連接交直線MN于點P,則點P即為所求點,過點作直線,在根據(jù)勾股定理求出線段的長,即為PA+PB的最小值,延長AB交MN于點,此時,由三角形三邊關(guān)系可知,故當點P運動到時最大,過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值,代入計算即可得.【詳解】解:如圖所示,作點A關(guān)于直線MN的對稱點,連接交直線MN于點P,則點P即為所求點,過點作直線,∵,,,∴,,,在中,根據(jù)勾股定理得,∴,即PA+PB的最小值是;如圖所示,延長AB交MN于點,∵,,∴當點P運動到點時,最大,過點B作,則,∴,在中,根據(jù)勾股定理得,,∴,即,∴,故選A.【考點】本題考查了最短線路問題和勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系.3、A【解析】【詳解】設EF=x,DF=y(tǒng),根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股定理得到4x2+4y2=c2,4x2+y2=b2,x2+4y2=a2,然后利用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關(guān)系.【解答】解:設EF=x,DF=y(tǒng),∵AD,BE分別是BC,AC邊上的中線,∴點F為△ABC的重心,AF=AC=b,BD=a,∴AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,∵AD⊥BE,∴∠AFB=∠AFE=∠BFD=90°,在Rt△AFB中,4x2+4y2=c2,①在Rt△AEF中,4x2+y2=b2,②在Rt△BFD中,x2+4y2=a2,③②+③得5x2+5y2=(a2+b2),∴4x2+4y2=(a2+b2),④①﹣④得c2﹣(a2+b2)=0,即a2+b2=5c2.故選:A.【點評】本題考查了三角形的重心:重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.也考查了勾股定理.4、A【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,根據(jù)角平分線和對頂角相等得出∠CEF=∠CFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案.【詳解】過點F作FG⊥AB于點G,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠FAD,∴∠CFA=∠AED=∠CEF,∴CE=CF,∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°,∴FC=FG,∵∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90°,∴△BFG∽△BAC,∴,∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°,∴BC=4,∴,∵FC=FG,∴,解得:FC=,即CE的長為.故選A.【考點】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定,三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,關(guān)鍵是推出∠CEF=∠CFE.5、B【解析】【分析】根據(jù)垂線段最短可得PN⊥OA時,PN最短,再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN,再結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】解:當PN⊥OA時,PN的值最小,∵OC平分∠AOB,PM⊥OB,∴PM=PN,∵,,,∴由勾股定理可知:PM=3,∴PN的最小值為3.故選B.【考點】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),垂線段最短的性質(zhì)及勾股定理,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理計算出直角邊,即可求出小巷寬度.【詳解】在Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°,A′D=2米,BD2+A′D2=A′B′2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25,∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故選:C.【考點】本題考查勾股定理的運用,利用梯子長度不變找到斜邊是關(guān)鍵.7、B【解析】【分析】先將圖形平面展開,再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答.【詳解】三級臺階平面展開圖為長方形,長為20dm,寬為(2+3)×3dm,則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長.可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm,由勾股定理得:x2=202+[(2+3)×3]2=252,解得x=25.故選B.【考點】本題考查了平面展開——最短路徑問題,用到臺階的平面展開圖,只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答.二、填空題1、x2?(x?3)2=82【解析】【分析】設繩索長為x尺,根據(jù)勾股定理列出方程解答即可.【詳解】解:設繩索長為x尺,根據(jù)題意得:x2?(x?3)2=82,故答案為:x2?(x?3)2=82.【考點】本題考查了勾股定理的應用,找準等量關(guān)系,正確列出相應方程是解題的關(guān)鍵.2、.【解析】【分析】如圖,先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出,,再利用勾股定理求出DF,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖,過點作于,在中,,,,兩個同樣大小的含角的三角尺,,在中,根據(jù)勾股定理得,,,故答案為.【考點】此題主要考查了勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.3、20m.【解析】【分析】試題分析:要求登梯的長,需將圓柱的側(cè)面展開,進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果,在求線段長時,借助于勾股定理.【詳解】將圓柱表面按一周半開展開呈長方形,

∵圓柱高16m,底面周長8m,設螺旋形登梯長為xm,∴x2=(1×8+4)2+162=400,∴登梯至少=20m故答案為:20m【考點】本題考查圓柱形側(cè)面展開圖新問題,涉及勾股定理,掌握按要求將圓柱側(cè)面展開圖形的方法,會利用圓周,高與對角線組成直角三角形,用勾股定理解決問題是關(guān)鍵.4、.【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理求出BC的長,根據(jù)折疊性質(zhì),可得=AB=3,=BE,∠B=∠=90°,然后設BE=,根據(jù)勾股定理,列出,求解即可.【詳解】解:∵∠ABC=90°,AB=3,AC=5,在Rt△ABC中,,將△ABC沿AE折疊,∴=AB=3,=BE,∠B=∠=90°,則,設BE=,EC=4-,,在Rt△中,由勾股定理得:,即,解得,∴BE=.故答案為.【考點】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及勾股定理的應用;解題的關(guān)鍵是準確找出圖形中隱含的相等關(guān)系.5、102+(x-1)2=x2【解析】【分析】當木桿的上端與墻頭平齊時,木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形,設木桿長為x尺,則木桿底端離墻有(x-1)尺,根據(jù)勾股定理可列出方程.【詳解】解:如圖,設木桿AB長為x尺,則木桿底端B離墻的距離即BC的長有(x-1)尺,在Rt△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴102+(x-1)2=x2,故答案為:102+(x-1)2=x2.【考點】此題考查了勾股定理的應用,解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出直角三角形,從而運用勾股定理解題.6、##【解析】【分析】根據(jù)題意,,進而求得,勾股定理求得,即可求得的面積.【詳解】解:折疊,,,,∵四邊形是正方形∴中..故答案為:【考點】本題考查了折疊的性質(zhì),勾股定理,掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.7、5【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長度,進而得出答案.【詳解】解:由題意可得:杯子內(nèi)的筷子長度為:=15,則木筷露在杯子外面的部分至少有:20?15=5(cm).故答案為5.【考點】此題主要考查了勾股定理的應用,正確得出杯子內(nèi)筷子的長是解決問題的關(guān)鍵.8、6【解析】【分析】設,則,在中,利用勾股定理列方程,即可求解.【詳解】解:如圖,由題意知,,,設,則,在中,,即,解得,因此旗桿在離底部6m位置斷裂.故答案為:6.【考點】本題考查勾股定理的實際應用,讀懂題意,根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.三、解答題1、(1)見解析(2)40;41【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理證明即可.(2)利用勾股數(shù)的公式代入求值即可.(1)證明:,∴,,構(gòu)成勾股數(shù).(2)根據(jù)最小數(shù)為奇數(shù)時,另兩個正整數(shù)為,,當a=9時,,,故答案為:40,41.【考點】本題考查了勾股定理逆定理,勾股數(shù)的探索,代入求值,熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵.2、【解析】【分析】設秋千的繩索長為,則,,利用勾股定理得,再解方程即可得出答案.【詳解】解:設秋千的繩索長為,則,,在中,,即,解得,答:繩索的長度是.【考點】此題主要考查了勾股定理的應用,關(guān)鍵是正確理解題意,表示出AC、AB的長,掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.3、5【解析】【分析】利用勾股定理先求出的值,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出,,,設,列方程求解即可.【詳解】解:由題意可知:,,則,,,設,則,∴解方程得:因此,的長為所以,【考點】本題考查的知識點是勾股定理的應用,根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵.4、這棵樹在離地面6米處被折斷【解析】【分析】設,利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】解:設,∵在中,,∴,∴.答:這棵樹在離地面6米處被折斷【考點】本題考查了勾股定理,熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.當題目中出現(xiàn)直角三角形,且該直角三角形的一邊為待求量時,常使用勾股定理進行求解.有時也可以利用勾股定理列方程求解.5、216平方米【解析】【分析

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