1.1.4投影與直觀圖[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解中心投影與平行投影.2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.3.用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖.[知識鏈接]1.三角形的面積S＝eq\f(1,2)ah(其中a為底邊長，h為底邊上的高).2.梯形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b)h(其中a、b為兩底長，h為高).[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.平行投影已知圖形F，直線l與平面α相交.過F上任意一點(diǎn)M作直線MM′平行于l，交平面α于點(diǎn)M′，則點(diǎn)M′叫做點(diǎn)M在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影(或象).如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F′，則F′叫做圖形F在α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影.2.平行投影的性質(zhì)當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影都具有下述性質(zhì)：(1)直線或線段的平行投影仍是直線或線段；(2)平行直線的平行投影是平行或重合的直線；(3)平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；(4)與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；(5)在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.3.中心投影一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)圖形照射到一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在這個(gè)平面上的中心投影.4.水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法(1)表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖.(2)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.(3)對于圖形中與x軸、y軸、z軸都不平行的線段，可通過確定端點(diǎn)的辦法來解決，即過端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線，再借助于所作的平行線確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置.要點(diǎn)一中心投影與平行投影例1下列說法：①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；③幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3答案D解析平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最后相交于一點(diǎn)；幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式.故3種說法都正確.規(guī)律方法1.考察一個(gè)幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再根據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來判斷.2.平行投影需注意圖形、投射線、投射面之間的位置關(guān)系，位置發(fā)生改變，一般情況下投影也會改變.3.中心投影與人的視覺效果一致，解題時(shí)可結(jié)合生活實(shí)際作出判斷.跟蹤演練1如圖所示，這是圓桌正上方的燈泡(看做一個(gè)點(diǎn))發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成的陰影(圓形)的示意圖.已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面1m，若燈泡距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為________(忽略桌腳).答案0.81πm2解析設(shè)地面陰影圓的半徑為x，則有eq\f(0.6,x)＝eq\f(2,3)，∴x＝0.9，∴陰影圓的面積為S＝πx2＝0.81πm2.要點(diǎn)二畫水平放置的平面圖形的直觀圖例2畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.規(guī)律方法1.本題巧借等腰梯形的對稱性建系使“定點(diǎn)”、“畫圖”簡便易行.2.在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來完成.跟蹤演練2用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖.解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸.(2)畫對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′軸上取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.要點(diǎn)三由直觀圖還原平面圖形例3如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形，則原平面圖形的面積為()A.eq\f(\r(2),4)a2 B.2eq\r(2)a2C.a2 D.2a2答案B解析由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S＝a·2eq\r(2)a＝2eq\r(2)a2.規(guī)律方法由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)平行x′軸的線段長度不變，平行y′軸線段擴(kuò)大為原來的2倍；(2)對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置.跟蹤演練3一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，則原梯形的面積為()A.2 B.eq\r(2)C.2eq\r(2) D.4答案D解析如圖，由斜二測畫法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是一樣的，不一樣的是兩個(gè)梯形的高原梯形的高OC是直觀圖中O′C′長度的2倍，O′C′的長度是直觀圖中梯形的高的eq\r(2)倍由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2eq\r(2)倍，故其面積是梯形O′A′B′C′面積的2eq\r(2)倍，梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，所以原梯形的面積是4.要點(diǎn)四空間幾何體的直觀圖例4畫一個(gè)正五棱柱的直觀圖(尺寸自定)解(1)畫軸.畫x′軸、y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如圖①所示.(2)畫底面.按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.(3)畫側(cè)棱.過點(diǎn)A、B、C、D、E分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的高.(4)成圖，順次連接A′、B′、C′、D′、E′，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示.規(guī)律方法1.畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可.2.直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“一斜、二半、三不變.”跟蹤演練4畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖.解畫法：(1)畫軸.畫x軸、y軸、z軸，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如圖(1).(2)畫底面.以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)，畫出正方形水平放置的直觀圖ABCD.(3)畫頂點(diǎn)：在z軸上截取OP，使OP的長度是原四棱錐的高.(4)成圖：順次連接PA、PB、PC、PD，并擦去輔助線，得四棱錐的直觀圖如圖(2).1.一條直線在平面上的正投影是()A.直線 B.點(diǎn)C.線段 D.直線或點(diǎn)答案D解析當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，其正投影為點(diǎn)，其他位置關(guān)系時(shí)的正投影均為直線.2.關(guān)于用斜二測畫法得直觀圖，下列說法正確的是()A.等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖可能不是梯形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B3.如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為()A.平行四邊形 B.梯形C.菱形 D.矩形答案D解析因?yàn)椤螪′A′B′＝45°，由斜二測畫法規(guī)則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形.4.如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為________.答案10解析由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長為2×(3＋2)＝10.5.如圖所示的直觀圖△A′O′B′，其平面圖形的面積為________.答案6解析由直觀圖可知其對應(yīng)的平面圖形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝6.1.斜二測畫法是聯(lián)系