專題2.5應(yīng)用一元二次方程 目錄TOC\o"12"\h\u一.知識梳理與題型精析 1知識點(diǎn)（一）解可化為一元二次方程的分式方程 1【題型1】解可化為一元二次方程的分式方程 2知識點(diǎn)（二）傳播問題、增長率問題、握手、循環(huán)賽問題 3【題型2】傳播問題 3【題型3】增長率問題 5【題型4】握手和循環(huán)賽問題 7知識點(diǎn)（三）圖形問題和動態(tài)幾何問題 8【題型5】圖形問題 9【題型6】動態(tài)幾何問題 10知識點(diǎn)（四）數(shù)字問題、營銷問題 13【題型7】數(shù)字問題 13【題型8】營銷問題 15知識點(diǎn)（五）工程問題、行程問題 17【題型8】工程問題 17【題型9】行程問題 19二．同步練習(xí) 211.基礎(chǔ)夯實(shí)（選擇題6題，填空題6題，解答題2題） 212.鞏固提升（選擇題6題，填空題6題，解答題4題） 303.直通中考（選擇題4題，填空題4題，解答題3題） 44一.知識梳理與題型精析知識點(diǎn)（一）解可化為一元二次方程的分式方程解題步驟：1.

確定最簡公分母，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程2.

整理整式方程為標(biāo)準(zhǔn)形式3.

求解一元二次方程4.

驗根（關(guān)鍵步驟，不可省略）5.

寫出原方程的解【題型1】解可化為一元二次方程的分式方程【分析】本題主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗即可．【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗即可得到答案．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式方程的解法.根據(jù)分式方程的解法步驟即可得到答案.知識點(diǎn)（二）傳播問題、增長率問題、握手、循環(huán)賽問題【題型2】傳播問題【例題2】（2425九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）若一人患上流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有144人被傳染上流感，這時引起有關(guān)部門注意，加以控制，以后每輪傳染少5人，問第四輪傳染后共有多少人患流感？【答案】第四輪傳染后共有7056人患流感【分析】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感，可求出x，進(jìn)而求出第四輪過后，又被感染的人數(shù)．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關(guān)鍵．答：第四輪傳染后共有7056人患流感．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用傳播問題．答：每輪傳染中平均一個人傳染了個人；【變式2】（2425九年級上·天津和平·期中）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人，則下列結(jié)論不正確的是（

）【答案】D【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；本題屬于傳播問題，依次表示第一輪傳染，第二輪傳染后的量，再結(jié)合最后共有人感染可得方程．故選項A、B、C、均正確，不符合題意，D選項錯誤，符合題意；故選：D【題型3】增長率問題【例題3】．（2425八年級下·山東煙臺·期末）隨著旅游旺季的到來，煙臺某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，3月份游客人數(shù)為1.6萬人，5月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個月該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；（2）預(yù)計6月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)6月1日至6月20日已接待游客2.125萬人，則6月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【答案】（1）25%；（2）0.1萬人【分析】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)6月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬人，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行計算即可．解：（1）解：設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為．（2）設(shè)6月份后10天日均接待游客人數(shù)是萬人．所以，6月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人．【答案】D【分析】本題考查增長率的實(shí)際應(yīng)用和代數(shù)式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是設(shè)1月利潤為基礎(chǔ)量，通過表示出2月、3月利潤，推導(dǎo)3月相對1月的增長關(guān)系．設(shè)1月份利潤為1，計算2月份增長后的利潤，再計算3月份下降后的利潤，最后求3月份相對于1月份的增長率．解：設(shè)1月份利潤為1（單位利潤），根據(jù)題意得故選：D．【變式2】（2025·四川綿陽·二模）據(jù)調(diào)查，某村2022年的人均收入為30000元，2024年的人均收入為36300元．若從2022年到2024年該村人均收入的平均增長率不變，按此平均增長率預(yù)測2025年該村的人均收入是元．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【題型4】握手和循環(huán)賽問題【例題4】（2425八年級下·遼寧·階段練習(xí)）月份學(xué)校要組織本年度“校長杯”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排場比賽，請問參賽球隊有多少？【答案】參賽球隊有個．【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)參賽球隊有個，答：參賽球隊有個．【變式1】（2425八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在一次同學(xué)聚會時，大家相互握手問候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么參加這次聚會的同學(xué)共有（

）人．A．9 B．10 C．45 D．46【答案】B【分析】本題考查列一元二次方程解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵在于分析題意，找出相等關(guān)系并建立方程．因此，參加聚會的同學(xué)共有10人，故選：B．【變式2】（2324九年級上·西藏拉薩·期中）組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，計劃安排15場比賽，邀請個球隊參加比賽．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用（握手、循環(huán)賽問題），根據(jù)題意正確列出方程是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)邀請個球隊參加比賽，賽制為單循環(huán)形式，即參賽的每兩隊之間都要比賽一場，一共有個隊參賽，隊隊比賽和隊與隊比賽是同一場，每兩個隊的比賽都被重復(fù)計算了一次，計劃安排15場比賽，即：共邀請個球隊參加比賽，故答案為：．知識點(diǎn)（三）圖形問題和動態(tài)幾何問題基本圖形：靠墻問題盒子折疊問題平移問題等量關(guān)系：利用矩形周長公式和面積公式建立等量關(guān)系

動態(tài)幾何問題：三角形動態(tài)問題四邊形動態(tài)問題等量關(guān)系：由點(diǎn)的速度求出線段長，利用圖形性質(zhì)建立等量關(guān)系【題型5】圖形問題【答案】4米本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程，并解答是解題的關(guān)鍵．答：道路的寬為4米．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出長方體的底面積是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意用表示出包裝盒底邊的長和寬，然后用體積公式列方程即可得解．故選：D．【答案】1310解：設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為x，故答案為：13，10．【題型6】動態(tài)幾何問題【分析】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵（1）根據(jù)路程=速度乘以時間列式即可；故答案為：t，；A． B． C． D．【答案】B∴點(diǎn)，的運(yùn)動時間為．故選：B．【答案】10解：設(shè)運(yùn)動x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25，故答案為：知識點(diǎn)（四）數(shù)字問題、營銷問題

1.數(shù)字問題基本形式：一個三位數(shù)，設(shè)個位數(shù)字為，這個三位數(shù)為100+10+；2.

營銷問題基本形式：（1）單件利潤=售價成本價；（2）總利潤=單件利潤×銷量.【題型7】數(shù)字問題【例題7】（2425九年級上·河南洛陽·階段練習(xí)）一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個數(shù)小1，求這個兩位數(shù)．【答案】35這個兩位數(shù)為35．【變式1】（2425九年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）若一個兩位數(shù)比它的十位數(shù)字與個位數(shù)字和的平方少2，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，則這個兩位數(shù)是（

）A．23 B．34 C．23或34 D．或【答案】A∴這個兩位數(shù)是，故選：A．【變式2】（2425九年級上·江蘇宿遷·期中）若一個數(shù)的平方與的差等于這個數(shù)的倍，則這個數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵；設(shè)這個數(shù)為，列方程解方程即可求解；解：設(shè)這個數(shù)為，故答案為：或【題型8】營銷問題【例題8】（2425九年級上·重慶合川·期中）今年11月份，某商場購進(jìn)了一批T恤和襯衣，商家用16000元購買T恤，12000元購買襯衣，每件T恤和每件襯衣進(jìn)價之和為100元，且購進(jìn)T恤的數(shù)量是襯衣的2倍．（1）求商場購買T恤和襯衣的進(jìn)貨單價；（2）商場在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)T恤的銷售單價為每件80元，襯衣的銷售單價為每件120元時，平均每天可賣出50件T恤，30件襯衣，據(jù)統(tǒng)計，襯衣的銷售單價每降低5元，平均每天可以多賣出5件．為減少庫存，商家在保證T恤的售價和銷量不變且不考慮其他因素的情況下，想使T恤和襯衣平均每天的總獲利為4000元，則每件襯衣的售價為多少元？【答案】（1）每件T恤的進(jìn)貨單價為60元，每件襯衣的進(jìn)貨單價為40元；（2）襯衣的銷售單價為100元【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，（2）設(shè)襯衣的銷售單價為a元，根據(jù)題意列一元二次方程求解即可．答：每件T恤的進(jìn)貨單價為40元，每件襯衣的進(jìn)貨單價為60元；（2）解：設(shè)襯衣的銷售單價為a元，答：襯衣的銷售單價為100元．【變式1】（2425八年級下·山東·期末）在2020年元旦期間，某商場銷售某種冰箱，每臺進(jìn)貨價為2500元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價為2900元時，平均每天能銷售出8臺；而當(dāng)銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元？設(shè)每臺冰箱定價元，根據(jù)題意，可列方程為（

）【答案】B【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是了解利潤=銷售量x單位利潤，故選：B．【變式2】（2324九年級上·河南信陽·階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件．若要使一天的總利潤為1120元，則該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為．【答案】6解：設(shè)該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為x，答：該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為6，故答案為：6．【點(diǎn)撥】此題主要考查了一元二次方程的運(yùn)用，準(zhǔn)確根據(jù)題意列出方程并解答是解決本題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)（五）工程問題、行程問題工程問題：（1）工作量=工作效率×工作時間；（2）工作效率=工作量÷工作時間（單位時間完成的工作量）；（3）工作時間=工作量÷工作效率；

行程問題：（1）路程=速度×?xí)r間；（2）速度=路程÷時間；（3）時間=路程÷速度【題型8】工程問題【例題8】（2023·遼寧鞍山·一模）某花木園，計劃在園中栽96棵桂花樹，開工后每天比原計劃多栽2棵，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．問原計劃每天栽多少棵？【答案】6【分析】本題主要考查了可化為一元二次方程的分式方程的應(yīng)用，正確的找出等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．利用分式方程解應(yīng)用題時，一般題目中會有兩個相等關(guān)系，在本題中“開工后每天比原計劃多栽2棵”和“提前4天完成任務(wù)”，就是兩個相等關(guān)系．根據(jù)題目所要解決的問題，選擇第二個相等關(guān)系作為列方程的依據(jù)，而另一個則用來設(shè)未知數(shù)．依題意列方程得：故原計劃每天栽6棵桂花樹．【變式1】（2223八年級下·上海靜安·期中）為加強(qiáng)防汛工作，市工程隊準(zhǔn)備對蘇州河一段長為2240米的河堤進(jìn)行加固，由于采用新的加固模式，現(xiàn)在計劃每天加固的長度比原計劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數(shù)將比原計劃縮短2天，為進(jìn)一步縮短該段加固工程的時間，如果要求每天加固224米，那么在現(xiàn)在計劃的基礎(chǔ)上，每天加固的長度還要再增加多少米？【答案】每天加固的長度還要再增加64米解：設(shè)現(xiàn)在計劃每天加固的長度為x米，即現(xiàn)在計劃每天加固的長度為160米，因此每天加固的長度還要再增加64米．【點(diǎn)撥】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給等量關(guān)系列出分式方程，求出解后注意檢驗．【變式2】（2223九年級上·重慶渝中·期末）某工程隊采用A、B兩種設(shè)備同時對長度為4800米的公路進(jìn)行施工改造．原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務(wù)．（1）求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；【答案】（1）A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米；（2）18（2）根據(jù)A型設(shè)備鋪的路+B型設(shè)備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．所以A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米；答：m的值是18．【點(diǎn)撥】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．【題型9】行程問題【例題9】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）今年年初一美麗的白鵝潭江而進(jìn)行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點(diǎn)之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當(dāng)晚該公園附近路段實(shí)施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達(dá)目的地，共花了1小時．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．（1）求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？【答案】（1）甲開車的平均速度是40千米/小時，步行的平均速度是4千米/小時；（2）的值為【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用．（1）設(shè)甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，利用時間路程速度，結(jié)合甲到達(dá)目的地共花了1小時，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出甲步行的平均速度，再將其代入中，即可求出甲開車的平均速度；（2）利用路程速度時間，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，答：甲開車的平均速度是40千米小時，甲步行的平均速度是4千米小時；答：的值為．（1）甲運(yùn)動后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運(yùn)動到第三次相遇時，它們運(yùn)動了多少時間？【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)等量關(guān)系，正確的列一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（2）解：由題意知，甲、乙從開始運(yùn)動到第三次相遇總路程為5個半圓，答：它們運(yùn)動了秒．【變式2】（2324九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運(yùn)動，叫做勻變速直線運(yùn)動．在此運(yùn)動過程中，每個時間段的平均速度為初速度和末速度的算術(shù)平均數(shù)，路程等于時間與平均速度的乘積．若一個小球以5米/秒的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4秒后小球停止運(yùn)動．（1）小球的滾動速度平均每秒減少多少？【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（2）設(shè)小球滾動約用了秒，由時間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．答：小球滾動約用了秒．二．同步練習(xí)?1.基礎(chǔ)夯實(shí)（選擇題6題，填空題6題，解答題2題）一、單選題1．（2425八年級下·山東煙臺·期中）淇淇同學(xué)在計算正數(shù)的平方時，誤算成與的積，求得的答案比正確答案小，則正數(shù)的值是（

）【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程，無理數(shù)的大小判斷，熟練掌握解一元二次方程的求根公式是解題關(guān)鍵．∵a為正數(shù)，故選：A．2．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）畢業(yè)將至，九（1）班全體學(xué)生互贈祝?？?，共贈祝?？?560張，問：九（1）班共有多少名學(xué)生？設(shè)九（1）班共有名學(xué)生，根據(jù)題意可列方程為（

）【答案】B解：設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，故選：B．A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】本題主要考查了分式方程的增根問題．將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，利用增根的定義，將增根代入整式方程求解參數(shù)即可．故選：B．4．（2425八年級下·浙江寧波·期末）寧波市積極推進(jìn)綠色出行，某品牌共享電動車2023年注冊用戶為50萬戶，2025年預(yù)計增長至80萬戶，設(shè)這兩年用戶數(shù)的年平均增長率為x，可列方程為（

）【答案】B【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)2023年注冊用戶及2025年注冊用戶，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．故選：B．5．（2425八年級下·安徽淮南·期末）如圖1是小明同學(xué)用手機(jī)拍攝的一張家鄉(xiāng)風(fēng)景照片，照片的長為8分米，寬為6分米，現(xiàn)在想在原照片的四周圍用寬度相同的金色紙邊進(jìn)行裝裱，如圖2．如果要求裝裱后的圖片面積是80平方分米．則裝裱用的金色紙片的寬是（

）A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米【答案】A解：設(shè)金色紙邊的寬為x分米，根據(jù)題意，得∴金色紙邊的寬為1分米；故選：A．【答案】C解：∵每頂帳篷利潤為200元時，平均每天可售出60頂，單價每降價10元，每天可多售出4頂，∴x表示每頂帳篷單價降低的錢數(shù)．故選：C．二、填空題7．（2425九年級上·湖南衡陽·期中）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字之和是5，十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后所得的數(shù)與原數(shù)相乘，得736，這個兩位數(shù)是．【答案】23或32則這個兩位數(shù)是23或32．故答案為：23或32．8．（2425八年級下·山東泰安·期末）小明在與Deepseek對話中輸入如下的文字，經(jīng)過40秒的深度思考和驗證，Deepseek給出的這個數(shù)應(yīng)該是．有沒有這樣一個數(shù)，先計算它的平方，再減去它的3倍后再加上4，結(jié)果等于這個數(shù)？【答案】2【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程和熟練掌握解一元二次方程的基本方法是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)這個輸入的數(shù)為x，故答案為：2．9．（2425九年級上·廣西南寧·期中）某地進(jìn)行“迎國慶振興杯”籃球邀請賽，賽制為單循環(huán)（每兩隊之間賽一場），若計劃安排21場比賽，則邀請個球隊參賽．【答案】7解：設(shè)應(yīng)邀請個球隊參加比賽，答：應(yīng)邀請7個球隊參加比賽．故答案為：7．【答案】1【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)，先將道路進(jìn)行平移，然后根據(jù)矩形的面積公式列方程即可．解：設(shè)所修道路的寬為，根據(jù)題意得：答：所修道路的寬為．故答案為：111．（2425九年級上·甘肅天水·期末）某大型樓盤陸續(xù)交付后，家裝燈具店紛紛推出各類優(yōu)惠政策．某燈具店通過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)成本為每個30元的臺燈的售價為每個40元時，平均每天售出600個；若售價每個每下降2元，每日銷售量就增加400個．為迎接“雙十一”，該店決定降價促銷．在庫存為1220個臺燈的情況下，若預(yù)計日銷售獲利恰好為8400元，則每個臺燈的售價應(yīng)為元．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)每個臺燈的售價為元，根據(jù)售價每下降2元，其月銷售量就增加400個即可得到銷售數(shù)量，然后根據(jù)單個利潤乘以銷售量等于總利潤列一元二次方程即可求解．解：設(shè)每個臺燈的售價為元，答：每個臺燈的售價為元．故答案為：．【答案】或故答案為：或．三、解答題（1）用含x的代數(shù)式表示的長．【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)矩形的面積列出方程．（1）根據(jù)題意表示出即可；解：（1）解：∵籬笆的總長為60米，長x米，（2）解：能；根據(jù)題意得：∵墻長為40米，∴x的值為15．14．（2425八年級下·安徽合肥·期末）新能源汽車采用電能作為動力來源，減少二氧化碳?xì)怏w的排放，達(dá)到保護(hù)環(huán)境的目的，其市場需求逐年上升．（1）某品牌新能源汽車1月份銷售量為30萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐月遞增，3月份的銷售量達(dá)到36.3萬輛．求從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率．（2）某汽車銷售公司搶占先機(jī)，購進(jìn)一款進(jìn)價為12萬元/輛的該品牌新能源汽車，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低1萬元，平均每周多售出2輛，若該店計劃下調(diào)售價使平均每周的銷售利潤為144萬元．為了推廣新能源汽車，并且此次銷售盡量讓利于顧客，求該店下調(diào)后每輛汽車的售價．【分析】本題考查一元二次方程解應(yīng)用題，涉及直接開平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知識，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程求解是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為，（2）設(shè)下調(diào)后每輛汽車降低萬元，由等量關(guān)系列方程求解即可得到答案．解：（1）解：設(shè)1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為，答：1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為10%；（2）解：設(shè)下調(diào)后每輛汽車降低萬元，此次銷售盡量讓利于顧客，應(yīng)取，答：下調(diào)后每輛汽車的售價為20萬元．2.鞏固提升（選擇題6題，填空題6題，解答題4題）一、單選題1．（2425八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了（

）人A．2 B．8 C．10 D．4【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用傳播問題，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人，根據(jù)題意建立方程求解．解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人，因此，每輪傳染中平均一個人傳染了人．故選：B．2．（2425八年級下·安徽合肥·期末）某城市2022年新能源汽車公共充電樁數(shù)量為萬個，該市通過兩年建設(shè)，2024年底充電樁總數(shù)達(dá)到萬個，按相同的增長率，預(yù)計2025年底充電樁總數(shù)達(dá)到多少萬個（

）【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用：增長率問題，理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；設(shè)每年的增長率為，根據(jù)題意，2022年至2024年兩年間充電樁數(shù)量從萬增長到萬，建立一元二次方程求解增長率，再按此增長率計算2025年的數(shù)量．解：由題意，2022年充電樁數(shù)量為2.5萬個，2024年達(dá)到3.6萬個，設(shè)每年的增長率為，即年增長率為20%；故選：A．【答案】B故選：B．A．40 B．48 C．52 D．56【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．找出題中等量關(guān)系，并用方程表示出來是解題的關(guān)鍵．∴四個數(shù)分別為9，10，16，17，故選：C．5．（2425九年級上·山東臨沂·期末）九州大廈將進(jìn)價為40元/件的襯衫以60元/件出售時，平均每天能賣出30件，若每降價1元，則每天可多賣出5件，如果降價元，每天盈利800元，那么可列方程為（

）【答案】D解：由題意得故選：D．

圖1

圖2A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A由圖象可得點(diǎn)運(yùn)動秒到達(dá)點(diǎn)，綜上所述，正確的有①②，故選：A．二、填空題【答案】【分析】本題考查了解分式方程，解一元二次方程，根據(jù)題意化為整式方程，解一元二次方程，并檢驗，即可求解．故答案為：．8．（2024·云南昆明·一模）如圖三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有個點(diǎn)，第二行有個點(diǎn)第行有個點(diǎn)，已知前行共有個點(diǎn)，則的值為．【答案】【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，找出數(shù)字的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律列出一元二次方程解決問題．解：第一行有個點(diǎn)，第二行有個點(diǎn)第行有個點(diǎn)，根據(jù)前行共有個點(diǎn)，的值為．故答案為：．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)每件文化衫的定價為x元時，根據(jù)總利潤每件利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合售價不能超過進(jìn)價的倍即可確定x的值，此題得解．解：設(shè)每件文化衫應(yīng)定價為元，∵該文化衫的售價不能超過進(jìn)價的倍，∴每件文化衫應(yīng)定價為元，故答案為：．【答案】4或6【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．熟練掌握含30度的直角三角形性質(zhì)，三角形面積公式，是解題關(guān)鍵．故答案為：4或6．11．（2024九年級·全國·競賽）望望同學(xué)和他的體育教練王老師同時從圓形跑道上的同一起點(diǎn)出發(fā)，都按順時針方向跑步，王老師的速度比望望的速度快多了，過一段時間后王老師第一次從后面追上了望望，這時王老師立即改變方向，按逆時針方向以原來的速度跑去，當(dāng)他們倆再次相遇時，望望恰好跑了4圈，則王老師的速度與望望的速度之比為．【分析】本題考查的是有關(guān)環(huán)形跑道的問題，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)環(huán)形跑道周長為，根據(jù)甲、乙兩人兩次相遇時所用的時間相等建立等量關(guān)系．設(shè)王老師的速度為，望望的速度為，圓形跑道的周長為，根據(jù)望望和王老師兩人兩次相遇時所用的時間相等建立等量關(guān)系，然后將方程恒等變形后解方程就可解決問題．解：設(shè)王老師的速度為，望望的速度為，圓形跑道的周長為，則【答案】6∴不能構(gòu)成三角形，∴能構(gòu)成以3和4為直角邊長的直角三角形，故答案為：6．三、解答題13．（2425八年級下·上海松江·期末）學(xué)校購買一批獎品．已知種獎品的單價比種獎品單價便宜9元，用128元購買種獎品的數(shù)量和用272元購買種獎品的數(shù)量總共是32個．（1）求、兩種獎品的單價各是多少元？（2）該校計劃購買、兩種獎品共80個，且種獎品的數(shù)量不大于種獎品數(shù)量的3倍，請你設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最低購買費(fèi)用．【答案】（1）獎品的單價8元，則獎品的單價是17元；（2）購買獎品80個，購買獎品20個，費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為820元．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：答：獎品的單價8元，則獎品的單價是17元；∵種獎品的數(shù)量不大于種獎品數(shù)量的3倍，設(shè)總費(fèi)用為w元，∴w隨a的增大而減小，即購買獎品80個，購買獎品20個，費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為820元．（2）解：不能，理由如下：，方程無實(shí)數(shù)根，（3）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，一元二次方程根的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握所涉及到的知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用．15．（2425八年級下·山東威?！て谀┠畴娖魃虉鰪膹S家購進(jìn)了，兩種型號的洗衣機(jī)，已知一臺型洗衣機(jī)的進(jìn)價比一臺型洗衣機(jī)的進(jìn)價多600元，用14400元購進(jìn)型洗衣機(jī)與用10800元購進(jìn)型洗衣機(jī)的臺數(shù)相同．（1）求一臺型洗衣機(jī)和一臺型洗衣機(jī)的進(jìn)價各為多少元？（2）在銷售過程中，型洗衣機(jī)因為造型精致，噪音小而更受消費(fèi)者的歡迎．該商場決定停止購進(jìn)型洗衣機(jī)，并對庫存貨品進(jìn)行降價銷售，力求盡快清空庫存貨品．經(jīng)市場調(diào)查，當(dāng)型洗衣機(jī)的售價為2800元時，每天可售出臺，在此基礎(chǔ)上，售價每降低100元，每天將多售出1臺，如果每天該商場銷售型洗衣機(jī)的利潤為5400元，請問該商場應(yīng)將型洗衣機(jī)的售價定為多少元？【答案】（1）一臺型洗衣機(jī)的進(jìn)價為2400元，則一臺型洗衣機(jī)的進(jìn)價為1800元；（2）2400元．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（2）將型洗衣機(jī)的售價定為m元，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．答：一臺型洗衣機(jī)的進(jìn)價為2400元，則一臺型洗衣機(jī)的進(jìn)價為1800元；（2）解：設(shè)將型洗衣機(jī)的售價定為m元，根據(jù)題意得：∵力求盡快清空庫存貨品，答：將型洗衣機(jī)的售價定為2400元．16．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）閱讀材料：（1）甲在3秒內(nèi)經(jīng)過的路程為_____________；（單位：m）（2）求出發(fā)后，甲、乙速度相等的時間；（3）求出發(fā)后，甲、乙相遇的時間．解：（1）解：由圖可知：甲的速度與時間的函數(shù)圖象為平行于軸的一條射線，甲在秒內(nèi)經(jīng)過的路程為：故答案為：；（2）解：由圖可知：甲的速度與時間的函數(shù)圖象是以原點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，當(dāng)甲、乙速度相等時，根據(jù)題意得：解得：，出發(fā)后，甲、乙速度相等的時間為秒；（3）解：甲、乙相遇說明甲、乙所行路程相等，【點(diǎn)撥】本題主要考查了從函數(shù)的圖象獲取信息，求一次函數(shù)解析式，一元一次方程的應(yīng)用（其他問題），一元二次方程的應(yīng)用（行程問題），有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用等知識點(diǎn)，讀懂題意，能夠從函數(shù)圖象中獲取正確信息是解題的關(guān)鍵．3.直通中考（選擇題4題，填空題4題，解答題3題）一、單選題1．（2025·黑龍江·中考真題）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設(shè)該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（

）【答案】B故選B．2