2．2函數(shù)的表示法(二)2．3映射學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用解析法及圖像法表示分段函數(shù).2.給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì).3.了解映射的概念．知識點(diǎn)一分段函數(shù)思考設(shè)集合A＝R，B＝[0，＋∞)．對于A中任一元素x，規(guī)定：若x≥0，則對應(yīng)B中的y＝x；若x＜0，則對應(yīng)B中的y＝－x.按函數(shù)定義，這一對是不是函數(shù)？梳理(1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的____________的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的________；各段函數(shù)的定義域的交集是________．(3)作分段函數(shù)圖像時(shí)，應(yīng)在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出每一段的圖像．知識點(diǎn)二映射思考設(shè)A＝{三角形}，B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：每個(gè)三角形對應(yīng)它的周長．這個(gè)對應(yīng)是不是函數(shù)？它與函數(shù)有何共同點(diǎn)？梳理映射的概念兩個(gè)非空集合A與B間存在著對應(yīng)關(guān)系f，而且對于A中的每一個(gè)元素x，B中總有________的一個(gè)元素y與它對應(yīng)，就稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B.A中的元素x稱為原像，B中的對應(yīng)元素y稱為x的像，記作f：x→y.函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)．類型一建立分段函數(shù)模型例1如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm，當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí)，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖像．反思與感悟當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的解析表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖像也需要分段畫．跟蹤訓(xùn)練1某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(nèi)(含5公里)，票價(jià)2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里按照5公里計(jì)算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像．類型二研究分段函數(shù)的性質(zhì)eq\x(命題角度1給x求y)例2已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))試求f(－5)，f(－eq\r(3))，f(f(－eq\f(5,2)))的值．引申探究例2中f(x)解析式不變，若x≥－5，求f(x)的取值范圍．反思與感悟分段函數(shù)求函數(shù)值的方法(1)確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像．eq\x(命題角度2給y求x)例3已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤2，,x2＋2，x>2.))(1)若f(x0)＝8，求x0的值；(2)解不等式f(x)>8.反思與感悟已知函數(shù)值求x取值的步驟(1)先對x的取值范圍分類討論．(2)然后代入到不同的解析式中．(3)通過解方程求出x的解．(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．(5)若解不等式，應(yīng)把所求x的范圍與所討論區(qū)間求交集，再把各區(qū)間內(nèi)的符合要求的x的值并起來．跟蹤訓(xùn)練3已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)畫出f(x)的圖像；(2)若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范圍；(3)求f(x)的值域．類型三映射的概念例4以下給出的對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是數(shù)軸上的點(diǎn)}，集合B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對應(yīng)；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，對應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對應(yīng)；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圓}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；(4)集合A＝{x|x是新華中學(xué)的班級}，集合B＝{x|x是新華中學(xué)的學(xué)生}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)班級都對應(yīng)班里的學(xué)生．反思與感悟映射是一種特殊的對應(yīng)，它具有：(1)方向性：一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的．(2)唯一性：集合A中的任意一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，可以是：一對一，多對一，但不能一對多．跟蹤訓(xùn)練4設(shè)集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，則下述對應(yīng)關(guān)系f中，不能構(gòu)成從A到B的映射的是()A．f：x→y＝x2B．f：x→y＝3x－2C．f：x→y＝－x＋4D．f：x→y＝4－x21．如圖中所示的對應(yīng)：其中構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．62．f(x)的圖像如圖所示，其中0≤x≤1時(shí)是一段頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x<2,3，x>2))B．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x<1,2，1<x<2,3，x≥2))C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x≤2,3，x>2))D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x<2,3，x≥2))3．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0，))則f(f(0))等于()A．1B．0C．2D．－14．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x>0，))則使函數(shù)值為5的x的值是()A．－2或2B．2或－eq\f(5,2)C．－2D．2或－2或－eq\f(5,2)5．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))則f(g(π))的值為()A．1 B．0C．－1 D．π1．對分段函數(shù)的理解(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而非幾個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段來作，特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)的取值情況，以決定這些點(diǎn)的虛實(shí)情況．2．函數(shù)與映射的關(guān)系映射f：A→B，其中A、B是兩個(gè)非空的集合；而函數(shù)y＝f(x)，x∈A，A為非空的數(shù)集，其值域也是數(shù)集．于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射．由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考是函數(shù)．因?yàn)閺恼w來看，A中任一元素x，在B中都有唯一確定的y與之對應(yīng)．梳理(1)對應(yīng)關(guān)系(2)并集空集知識點(diǎn)二思考因?yàn)锳不是非空數(shù)集，故該對應(yīng)不是函數(shù)．但滿足“A中任一元素，在B中有唯一確定的元素與之對應(yīng)”．梳理唯一題型探究例1解過點(diǎn)A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq\r(2)cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)當(dāng)點(diǎn)F在BG上，即x∈[0,2]時(shí)，y＝eq\f(1,2)x2；(2)當(dāng)點(diǎn)F在GH上，即x∈(2,5]時(shí)，y＝eq\f(1,2)×2×2＋2(x－2)＝2x－2；(3)當(dāng)點(diǎn)F在HC上，即x∈(5,7]時(shí)，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))圖像如圖所示：跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)票價(jià)為y元，里程為x公里，定義域?yàn)?0,20]．由題意得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函數(shù)圖像如圖所示：例2解∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.∵－eq\r(3)∈(－2,2)，∴f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3)，∵－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，∴f(－eq\f(5,2))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)∈(－2,2)，∴f(f(－eq\f(5,2)))＝f(－eq\f(3,2))＝(－eq\f(3,2))2＋2(－eq\f(3,2))＝－eq\f(3,4).引申探究解當(dāng)－5≤x≤－2時(shí)，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；當(dāng)－2<x<2時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∈[－1,8)；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；∴x≥－5時(shí)，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．跟蹤訓(xùn)練2解(1)因?yàn)?>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因?yàn)椋?<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因?yàn)?<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)f(x)的圖像如下：例3解(1)當(dāng)x0≤2時(shí)，由2x0＝8，得x0＝4，不符合題意；當(dāng)x0>2時(shí)，由xeq\o\al(2,0)＋2＝8，得x0＝eq\r(6)或x0＝－eq\r(6)(舍去)，故x0＝eq\r(6).(2)f(x)>8等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,2x>8，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,x2＋2>8，))②解①，x∈?，解②得x>eq\r(6)，綜合①②，f(x)>8的解集為{x|x>eq\r(6)}．跟蹤訓(xùn)練3解(1)利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖像，如圖所示．(2)由于f(±eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)，結(jié)合此函數(shù)圖像可知，使f(x)≥eq\f(1,4)的x的取值范圍是(－∞，－eq\f(1,2)]∪[eq\f(1,2)，＋∞)．(3)由圖像知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0,1]，當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)＝1.所以f(x)的值域?yàn)閇0,1]．例4解(1)按照建立數(shù)軸的方法可知，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，所以這個(gè)對應(yīng)f：A→B是從集合A到集合B的一個(gè)映射．(2)按照建立平面直角坐標(biāo)系的方法可知，平面直角坐標(biāo)系中的任意