【暑期預習銜接講義】20252026學年北師大版九年級數(shù)學上冊第十四講：用頻率估計概率 （思維導圖+知識總結(jié)梳理+典例精講+變式訓練+高頻精煉）知識點01：用頻率估計概率1.頻率：n次重復試驗中，某事件發(fā)生的次數(shù)m與總次數(shù)n的比值.2.用頻率估計概率(1)用頻率估計概率：從長期實踐中，人們觀察到，對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率.(2)適用對象：當試驗的所有可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，可通過事件發(fā)生的頻率來估計概率.(3)計算方法：一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率mn穩(wěn)定于某個常數(shù)p附近，那么估計事件A發(fā)生的概率P(A)=p知識點02：模擬試驗1.模擬試驗：在用試驗法估計某些事件發(fā)生的概率時，往往受試驗條件的限制，使試驗具有一定的難度或所得的結(jié)果誤差較大，或者試驗次數(shù)太多，或者試驗具有一定的破壞性，導致完成起來比較困難，這時，我們可以采用模擬試驗的方法估計事件發(fā)生的概率.2.模擬試驗的兩種方法(1)利用替代物模擬實際事物進行試驗.(2)利用計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)進行模擬試驗.利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的一般步驟是：進入產(chǎn)生隨機數(shù)的狀態(tài)→輸入所產(chǎn)生的隨機數(shù)的范圍→按鍵得出隨機數(shù).說明：很難找到合適的替代物模擬試驗，或者利用替代物模擬試驗比較麻煩時，可選擇(2)中的方法.考點1：求某事件的頻率【典型例題】某人將一枚質(zhì)量均勻的硬幣連續(xù)拋10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列說法正確的是（

）A．出現(xiàn)反面的頻率是6 B．出現(xiàn)反面的頻率是4C．出現(xiàn)反面的頻率是0.4 D．出現(xiàn)反面的頻率是0.6【變式訓練1】A． B． C． D．【變式訓練2】在擲一枚骰子次的試驗中，“偶數(shù)朝上”的頻數(shù)為，則“偶數(shù)朝上”的頻率為（

）考點2：由頻率估計概率【典型例題】山西省農(nóng)業(yè)科學院高粱研究所在培育高粱晉雜23號時，在相同條件下進行了發(fā)芽試驗，發(fā)芽情況繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，據(jù)此估計高粱晉雜23號種子的發(fā)芽概率約為（

）A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85【變式訓練1】綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗，結(jié)果如表：每批粒數(shù)n400600100020003000發(fā)芽的頻率0.9550.9500.9480.9560.950則綠豆發(fā)芽的概率（精確到0.01）約為（

）A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96【變式訓練2】從電腦文檔存儲的一篇文章中隨機抽取若干頁，統(tǒng)計其中“的”字出現(xiàn)的頻率約為0.02，由此可以估計整篇文章中“的”字出現(xiàn)的概率約為（

）A．0.04 B．0.02 C．0.98 D．不能確定考點3：由頻率估計概率的綜合應用【典型例題】在一個不透明的口袋中裝有5張印有中藥艾片的卡片和若干張印有中藥白果的卡片，它們除卡片上的圖案不同其余均相同，通過多次摸卡片試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到印有艾片的卡片的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則口袋中印有白果的卡片數(shù)約是（

）A．15 B．20 C．25 D．30【變式訓練1】A．12 B．18 C．24 D．30【變式訓練2】某植物研究院培育的新品植株的成活率約為，若在相同條件下培育50棵同種植株，則成活的植株約為（

）A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．投一枚骰子，朝上一面的點數(shù)是，是隨機事件C．在大量重復試驗中，隨著試驗次數(shù)的增加，隨機事件發(fā)生的頻率一般會越來越接近概率2．數(shù)學課上，張老師與同學們做“用頻率估計概率”的試驗．不透明袋子中有2個白球、4個紅球、5個黑球和9個黃球，這些球除顏色外完全相同，從袋子中有放回的隨機取出一個球，某種顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（

）A．白色 B．紅色 C．黑色 D．黃色A． B． C． D．4．下列說法正確的是（

）A．某彩票的中獎概率是，那么買100張彩票一定有6張中獎B．當試驗次數(shù)很大時，概率穩(wěn)定在頻率附近D．試驗得到的頻率與概率不可能相等5．袋中有100個除顏色外完全相同的小球，攪勻后隨機從中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，記為一次試驗，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)從中摸出一個紅球的頻率穩(wěn)定在，則估計袋中紅球的個數(shù)為（

）A．30 B．25 C．20 D．156．一個不透明袋中裝有6個白球，若干個紅球，這些球除顏色外完全相同．通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近，則袋中紅球的個數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．107．在一個不透明的箱子里裝有白球和紅球共20個，這些球除顏色外完全相同．每次從箱子中摸出一個球，記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7左右，則箱子中紅球的個數(shù)約是（

）A．6 B．9 C．12 D．148．某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（

）實驗次數(shù)10020050080010002000頻率0.1650.1660.1660.1670.1660.167A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”C．拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5D．拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率二、填空題9．一個不透明的袋子里裝有白球、黃球共35個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中白球的個數(shù)最有可能是個．11．不透明的袋中裝有若干個質(zhì)地均勻的紅球和4個白球，搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋中紅球的個數(shù)為．12．在一個不透明的箱子中裝有10個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外全一樣，攪勻后從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回，不斷重復這一過程，共摸了400次，發(fā)現(xiàn)有80次摸到紅球，由此可估計箱子中有個綠球．13．在一個不透明的袋子里裝有白球和黃球共20個，這些球除顏色外完全相同．小黃通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在左右，估計袋子中白球的個數(shù)可能是．14．一水塘里有鯉魚、鰱魚共1000尾，一漁民通過多次捕撈試驗后發(fā)現(xiàn)，鯉魚出現(xiàn)的頻率為0.36，則水塘有鯉魚尾．15．為評估某外賣平臺“準時送達”的服務質(zhì)量，平臺統(tǒng)計了不同訂單量下“準時送達”的頻率，并繪制了折線統(tǒng)計圖．隨著訂單數(shù)量持續(xù)增加，“準時送達”的頻率逐漸趨于穩(wěn)定．據(jù)此估計，該平臺外賣“準時送達”的概率約為（結(jié)果精確到0.01）．16．為了估計拋擲同一枚瓶蓋落地后凸面向上的概率，小明做了大量重復試驗．經(jīng)過統(tǒng)計得到凸面向上的頻率穩(wěn)定在，由此可估計拋擲瓶蓋落地后凸面向上的概率為．三、解答題17．在一個不透明的口袋中裝有個2紅球，1個白球，這3個球除顏色外其他完全相同．(1)若從口袋中隨機摸出1個球，試求摸到紅球的概率；(2)若再往不透明的口袋中裝入若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，從中摸出1個球．通過多次摸球試驗發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，求口袋中黑球大約有多少個．18．某校學生會組織學生到社區(qū)服務，因名額有限，小明和小亮只能去一人，小紅提出一個方法：在一個不透明的袋子里，裝有紅、黃、綠三種顏色的球共60個，它們除顏色外都相同，充分搖勻后，任意摸一球，摸到紅球則小明去，摸到綠球則小亮去．已知其中黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的4倍，從袋中摸出一個球是紅球的概率為．(1)從袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回搖勻，不斷重復這個過程，共摸球30次，其中摸到綠球10次，則這30次摸球中，摸到綠球的頻率為___________；(2)袋子中紅、綠球各有多少個？(3)你認為這個規(guī)則公平嗎？請說明理由．19．在一個不透明的袋子中裝有20個球，這些球除顏色外都相同，其中紅球8個，白球12個．(1)將20個球充分混勻，從袋子中任意摸出一個球，則摸到紅球的可能性是________；(2)先從袋子中取出m個紅球，再放入m個一樣的白球并搖勻，經(jīng)過多次試驗，隨機摸出一個白球的頻率在附近擺動，求m的值．20．在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．