2.3圓的方程2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn).2.會(huì)根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.[知識(shí)鏈接]1.平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓.2.確定一個(gè)圓的基本要素是圓心和半徑.3.平面上兩點(diǎn)間的距離公式d＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2).[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.定點(diǎn)→圓的圓心；定長(zhǎng)→圓的半徑.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)圓的圓心是C(a，b)，半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，當(dāng)圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋y2＝r2.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系，即點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：(1)將所給的點(diǎn)M與圓心C的距離跟半徑r比較：若|CM|＝r，則點(diǎn)M在圓上；若|CM|＞r，則點(diǎn)M在圓外；若|CM|＜r，則點(diǎn)M在圓內(nèi).(2)可利用圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2來(lái)確定：點(diǎn)M(m，n)在圓C上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2；點(diǎn)M(m，n)在圓C外?(m－a)2＋(n－b)2＞r2；點(diǎn)M(m，n)在圓C內(nèi)?(m－a)2＋(n－b)2＜r2.要點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例1已知點(diǎn)A(1,2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由題意，點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－eq\f(5,2)，又a≠0，∴a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))∪(0，＋∞).規(guī)律方法判斷點(diǎn)P(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系有幾何法與代數(shù)法兩種，對(duì)于幾何法，主要是利用點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較大小.對(duì)于代數(shù)法，主要是把點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，具體判斷方法如下：①當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，②當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2時(shí)，點(diǎn)在圓上，③當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2時(shí)，點(diǎn)在圓外.跟蹤演練1點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.不確定答案A解析把點(diǎn)P(m2,5)代入圓的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故點(diǎn)P在圓外.要點(diǎn)二求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解方法一設(shè)點(diǎn)C為圓心，∵點(diǎn)C在直線x＋y－2＝0上，∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2－a).又∵該圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r((a－1)2＋(2－a＋1)2)＝eq\r((a＋1)2＋(2－a－1)2)，解得a＝1.∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長(zhǎng)r＝|CA|＝2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，kAB＝eq\f(1－(－1),－1－1)＝－1，所以弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，所以AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圓心為(1,1)，圓的半徑為eq\r((1－1)2＋[1－(－1)]2)＝2，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.規(guī)律方法直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一般先從確定圓的兩個(gè)要素入手，即首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.跟蹤演練2以?xún)牲c(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()A.(x－1)2＋(y－2)2＝10 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x－1)2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25答案D解析∵點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，∴以A、B為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r((5＋3)2＋(5＋1)2)＝5.∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.要點(diǎn)三圓的方程的綜合應(yīng)用例3已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)A(1,0)，B(5,0)，(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點(diǎn)，求P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值.解(1)由已知，得C(3,0)，r＝eq\f(|AB|,2)＝2，∴所求方程為(x－3)2＋y2＝4.(2)圓心C到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋(－1)2))＝2eq\r(2).∴P到直線的最大距離為2＋2eq\r(2)，最小距離為2eq\r(2)－2.規(guī)律方法解答本題應(yīng)用了圓的性質(zhì)，即圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，解題過(guò)程中用數(shù)形結(jié)合的思想能有效地找到解題的捷徑，即過(guò)圓心作已知直線的垂線，便于求解此題.跟蹤演練3已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.解設(shè)P(x，y)，則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝52＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值為2×16＋2＝34.最大值為2×36＋2＝74.1.圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是()A.(－2,3)，1 B.(2，－3)，3C.(－2,3)，eq\r(2) D.(2，－3)，eq\r(2)答案D2.以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8 D.x2＋y2＝eq\r(2)答案B3.已知兩圓C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，則兩圓圓心間的距離為_(kāi)_______.答案5解析C1圓心為(5,3)，C2圓心為(2，－1)，則d＝eq\r((5－2)2＋(3＋1)2)＝5.4.圓的直徑端點(diǎn)為A(2,0)，B(2，－2)，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圓心C(2，－1)，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r((2－2)2＋(0＋2)2)＝1，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5.若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.答案x2＋(y－1)2＝1解析由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1.1.確定圓的方