章末復(fù)習(xí)第4章

幾何圖形初步【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********第4章

幾何圖形初步

章末復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)目標(biāo)：梳理本章知識(shí)體系，鞏固幾何圖形的基本概念，包括立體圖形與平面圖形的區(qū)別與聯(lián)系。熟練掌握直線、射線、線段的概念、表示方法、性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算。深入理解角的定義、表示方法、度量、比較、運(yùn)算及尺規(guī)作角等知識(shí)，掌握補(bǔ)角和余角的性質(zhì)及應(yīng)用。提高運(yùn)用幾何知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)空間想象能力和邏輯推理能力。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建幾何圖形初步├──

幾何圖形的認(rèn)識(shí)│

├──

立體圖形：各部分不都在同一平面內(nèi)（如正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、球等）│

├──

平面圖形：各部分都在同一平面內(nèi)（如三角形、四邊形、圓等）│

└──

立體圖形與平面圖形的聯(lián)系：立體圖形由平面圖形圍成，部分立體圖形可展開為平面圖形├──

直線、射線、線段│

├──

概念及表示方法│

├──

直線的基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線│

├──

線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間，線段最短│

├──

線段的中點(diǎn)：把線段分成兩條相等線段的點(diǎn)│

└──

線段的長(zhǎng)短比較：疊合法、度量法└──

角

├──

概念及表示方法

├──

角的度量：?jiǎn)挝粸槎?、分、秒?°=60′，1′=60″

├──

角的比較：疊合法、度量法

├──

角的運(yùn)算：和、差、倍、分

├──

補(bǔ)角和余角：定義及性質(zhì)（同角或等角的補(bǔ)角/余角相等）

└──

用尺規(guī)作角：作一個(gè)角等于已知角重點(diǎn)知識(shí)回顧一、幾何圖形的認(rèn)識(shí)立體圖形定義：各部分不都在同一平面內(nèi)的幾何圖形。常見(jiàn)類型：正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等。特征：具有空間立體感，由平面或曲面圍成。平面圖形定義：各部分都在同一平面內(nèi)的幾何圖形。常見(jiàn)類型：三角形、四邊形（長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形等）、圓、多邊形等。立體圖形與平面圖形的聯(lián)系立體圖形的表面展開后可得到平面圖形，這些平面圖形稱為該立體圖形的展開圖。平面圖形是構(gòu)成立體圖形的基本元素。二、直線、射線、線段概念及表示方法圖形概念表示方法端點(diǎn)個(gè)數(shù)延伸性能否度量直線把線段的兩端無(wú)限延長(zhǎng)得到的圖形用兩個(gè)大寫字母（如直線AB）或一個(gè)小寫字母（如直線l）表示0個(gè)向兩個(gè)方向無(wú)限延伸不能射線把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)得到的圖形用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)的大寫字母（如射線OA，端點(diǎn)在前）表示1個(gè)向一個(gè)方向無(wú)限延伸不能線段直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分用兩個(gè)端點(diǎn)的大寫字母（如線段AB）或一個(gè)小寫字母（如線段a）表示2個(gè)不能延伸能基本事實(shí)直線：兩點(diǎn)確定一條直線。即過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。線段：兩點(diǎn)之間，線段最短。兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離。線段的中點(diǎn)定義：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)。性質(zhì)：若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB。線段的長(zhǎng)短比較疊合法：將兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)重合，觀察另一個(gè)端點(diǎn)的位置關(guān)系。度量法：用刻度尺測(cè)量出線段的長(zhǎng)度，再比較大小。三、角概念及表示方法概念：由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形（靜態(tài)）；一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形（動(dòng)態(tài)）。表示方法：用三個(gè)大寫字母（如∠AOB，頂點(diǎn)在中間）、一個(gè)大寫字母（頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，如∠O）、數(shù)字（如∠1）或希臘字母（如∠α）表示。角的度量單位：度（°）、分（′）、秒（″）。換算關(guān)系：1°=60′，1′=60″，1°=3600″。角的比較疊合法：將兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一邊重合，觀察另一邊的位置關(guān)系。度量法：測(cè)量出角的度數(shù)，再比較大小。角的運(yùn)算和、差：兩個(gè)角相加（減）得到一個(gè)新角，度數(shù)為兩個(gè)角的度數(shù)之和（差）。倍、分：一個(gè)角的n倍（n等分）的度數(shù)為該角的度數(shù)乘以n（除以n）。補(bǔ)角和余角補(bǔ)角：兩個(gè)角的和為180°，則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。余角：兩個(gè)角的和為90°，則這兩個(gè)角互為余角。性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等；同角或等角的余角相等。用尺規(guī)作角基本操作：用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺作一個(gè)角等于已知角，依據(jù)是全等三角形的“邊邊邊”（SSS）判定定理。典型例題解析例1：幾何圖形的認(rèn)識(shí)指出下列物體所對(duì)應(yīng)的立體圖形名稱，并說(shuō)出其主要特征。（1）魔方

（2）易拉罐

（3）金字塔

（4）籃球解：（1）魔方對(duì)應(yīng)的立體圖形是正方體。特征：有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，6個(gè)面的面積相等；有12條棱，所有棱的長(zhǎng)度都相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。（2）易拉罐對(duì)應(yīng)的立體圖形是圓柱。特征：由兩個(gè)大小相等、相互平行的圓形底面和一個(gè)曲面?zhèn)让娼M成，兩個(gè)底面之間的距離是高。（3）金字塔對(duì)應(yīng)的立體圖形是四棱錐。特征：有一個(gè)四邊形底面和四個(gè)三角形側(cè)面，側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)。（4）籃球?qū)?yīng)的立體圖形是球。特征：球體是一個(gè)連續(xù)曲面的立體圖形，球面上任意一點(diǎn)到球心的距離都相等（即半徑）。例2：直線、射線、線段的相關(guān)計(jì)算已知線段AB=8cm，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AC=3cm，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，求線段AD的長(zhǎng)度。解：因?yàn)锳B=8cm，AC=3cm，所以BC=AB-AC=8-3=5cm。又因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，所以CD=BC÷2=5÷2=2.5cm。則AD=AC+CD=3+2.5=5.5cm。例3：角的運(yùn)算計(jì)算：（1）38°45′+72°15′；（2）180°-56°32′15″；（3）25°36′×3。解：（1）38°45′+72°15′=（38°+72°）+（45′+15′）=110°+60′=110°+1°=111°；（2）180°-56°32′15″=179°59′60″-56°32′15″=（179°-56°）+（59′-32′）+（60″-15″）=123°27′45″；（3）25°36′×3=25°×3+36′×3=75°+108′=75°+1°48′=76°48′。例4：補(bǔ)角和余角的應(yīng)用已知∠α=35°27′，求∠α的余角和補(bǔ)角的度數(shù)。解：∠α的余角=90°-35°27′=54°33′；∠α的補(bǔ)角=180°-35°27′=144°33′。例5：用尺規(guī)作角已知∠AOB，用尺規(guī)作一個(gè)角∠A'O'B'，使∠A'O'B'=2∠AOB。解：作法如下：作∠A'O'C'=∠AOB；以O(shè)'為頂點(diǎn)，O'C'為一邊，在∠A'O'C'的外部作∠C'O'B'=∠AOB；則∠A'O'B'=∠A'O'C'+∠C'O'B'=∠AOB+∠AOB=2∠AOB，∠A'O'B'即為所求作的角。易錯(cuò)點(diǎn)解析立體圖形與平面圖形混淆：如誤認(rèn)為圓柱的側(cè)面是平面圖形，實(shí)際上圓柱的側(cè)面是曲面。直線、射線、線段的表示錯(cuò)誤：用一個(gè)大寫字母表示射線時(shí)，易忽略端點(diǎn)字母在前的規(guī)則，如將射線OA表示為射線AO。角的單位換算錯(cuò)誤：進(jìn)行度、分、秒換算時(shí)，易出現(xiàn)滿60未進(jìn)1或借1未當(dāng)60的情況，如將50°30′換算成度時(shí)，誤算為50.3°（正確應(yīng)為50.5°）。補(bǔ)角和余角的概念混淆：分不清補(bǔ)角（和為180°）和余角（和為90°）的定義，如求30°

角的補(bǔ)角時(shí)，誤算為60°（正確應(yīng)為150°）。尺規(guī)作圖不規(guī)范：用尺規(guī)作角時(shí)，易出現(xiàn)半徑不統(tǒng)一或弧的交點(diǎn)找錯(cuò)的情況，導(dǎo)致所作角與已知角不相等。復(fù)習(xí)題填空題：（1）長(zhǎng)方體有______個(gè)面，______條棱，個(gè)頂點(diǎn)。（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)能畫______條直線，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)能畫______條直線。（3）若∠α=50°，則它的余角是______°，補(bǔ)角是______°。（4）將32.26°

換算成度、分、秒的形式是。選擇題：（1）下列圖形中，屬于平面圖形的是（

）A.正方體B.圓C.圓柱D.球（2）下列說(shuō)法正確的是（

）A.線段AB和線段BA是兩條不同的線段B.延長(zhǎng)射線OA到點(diǎn)BC.兩點(diǎn)之間，直線最短D.角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)（3）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，AB=10cm，則AC的長(zhǎng)度是（

）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm解答題：（1）已知線段AB=12cm，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC=4cm，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，求線段BD的長(zhǎng)度。（2）計(jì)算：①48°39′+67°41′；②90°-28°16′18″；③15°20′×6。（3）一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的4倍少30°，求這個(gè)角的度數(shù)。（4）用尺規(guī)作圖，已知∠1和∠2，作一個(gè)角等于∠1-∠2（∠1＞∠2）。課堂小結(jié)本章主要學(xué)習(xí)了幾何圖形的初步知識(shí)，包括立體圖形與平面圖形的認(rèn)識(shí)、直線射線線段的相關(guān)概念及性質(zhì)、角的定義、度量、比較、運(yùn)算、補(bǔ)角和余角以及尺規(guī)作角等內(nèi)容。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)能準(zhǔn)確區(qū)分不同類型的幾何圖形，熟練運(yùn)用直線、射線、線段和角的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，同時(shí)培養(yǎng)空間想象能力和邏輯推理能力，為后續(xù)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要注重知識(shí)之間的聯(lián)系，通過(guò)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)梳理所學(xué)內(nèi)容，針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)加強(qiáng)練習(xí)，提高解題的準(zhǔn)確性和效率。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解知識(shí)體系立體圖形幾何圖形多面體、旋轉(zhuǎn)體基本事實(shí)直線、射線線段線段的大小、比較、運(yùn)算和畫法兩點(diǎn)間的距離角角的大小、比較、運(yùn)算和畫法余角和補(bǔ)角平面圖形本章主要研究有關(guān)線段和角的概念、性質(zhì)、畫法與計(jì)算.1.線段可以看作直線上兩點(diǎn)間的部分；射線可以看作直線上一點(diǎn)和它一旁的部分.

思考：（1）說(shuō)說(shuō)線段、射線、直線之間的區(qū)別與聯(lián)系；回顧與思考直線射線線段區(qū)別圖形表示方法直線AB或直線BA或直線l射線OA線段AB或線段BA或線段a端點(diǎn)個(gè)數(shù)012延伸情況向兩方無(wú)限延伸向一方無(wú)限延伸不能延伸度量情況不能度量不能度量能度量聯(lián)系射線和線段都是直線的一部分；線段向一方無(wú)限延長(zhǎng)就成為射線，向兩方無(wú)限延長(zhǎng)就成為直線；射線向反方向無(wú)限延長(zhǎng)就成為直線思考：（2）與線段和直線有關(guān)的基本事實(shí)有哪些？線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；直線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.思考：（3）線段的中點(diǎn)：如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AC=_______=_______ABACBBC2.什么是角的始邊和終邊？這是從什么角度來(lái)認(rèn)識(shí)角這個(gè)圖形的？

如圖，角可以看成是射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置后形成的圖形，射線OA，OB分別叫作這個(gè)角的始邊和終邊.OABα角的度量單位之間的關(guān)系：1°=60′1′=60″思考：（1）角平分線：如圖，若OC平分∠AOB，則∠AOC=________=_____∠AOB；∠BOCOACB思考：（2）余角的性質(zhì)：_________________________；補(bǔ)角的性質(zhì)：_________________________.它們是如何得到的？同角（或等角）的補(bǔ)角相等同角（或等角）的余角相等3.用尺規(guī)作一條線段等于已知線段與作一個(gè)角等于已知角都是幾何中的基本作圖，它們各有哪些主要步驟？用尺規(guī)作角與我們以前的畫角有什么不同？作線段的主要步驟:任取一點(diǎn)為圓心，以已知線段的長(zhǎng)度為半徑畫弧.作角的主要步驟:（1）作一條射線，（2）以任意長(zhǎng)為半徑，以已知角的頂點(diǎn)和射線

的端點(diǎn)為圓心畫??；（3）以已知角兩邊與弧的交點(diǎn)的距離為半徑，

以射線與弧的交點(diǎn)為圓心再畫弧；（4）最后連接射線的端點(diǎn)和兩條弧的交點(diǎn).1.圍成下列立體圖形的各個(gè)面中，每個(gè)面都是平面的是（）

A鞏固提升A.長(zhǎng)方體B.圓柱C.球D.圓錐2.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.畫出A、B兩點(diǎn)間的距離B.連接兩點(diǎn)之間的直線的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)

之間的距離C.線段的大小關(guān)系與它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)

系是一致的D.若AC＝BC，則點(diǎn)C必定是線段AB的中點(diǎn)C3.如果一個(gè)角的度數(shù)比它補(bǔ)角的2倍多30°，那么這個(gè)角的度數(shù)是（）50°B.70°C.130°D.160°C4.如圖，已知平面上有A、B、C三點(diǎn).（1）請(qǐng)畫出圖形：①畫直線AC；②畫射線BA；③畫線段BC.（2）在（1）的條件下，圖中共有_______條射線.（3）比較大?。篈B+AC________BC（填“>”“<”或“=”），依據(jù)是__________________.6＞兩點(diǎn)之間線段最短ABC

5.如圖所示，以O(shè)點(diǎn)為端點(diǎn)的5條射線OA，OB，OC，OD，OE一共組成_____個(gè)角.【分析】每條射線都能與其它4條射線組成4個(gè)角，共能組成4×5=20個(gè)角，其中有是重復(fù)的，所以這5條射線能組成10個(gè)角.106.已知線段AB=6，在直線AB上取一點(diǎn)C，恰好使AC=2BC，D為CB的中點(diǎn)，求線段AD的長(zhǎng).解:①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖.因?yàn)锳C=2BC，設(shè)BC=x，則AC=2x.因?yàn)锳B=AC+BC，所以6=2x+x，解得x=2.所以BC=2，AC=4.因?yàn)镈是CB的中點(diǎn)，所以CD=BC=1，所以AD=AC+CD=4+1=5.②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖.因?yàn)锳C=2BC，AB=AC-BC=6.所以BC=6.因?yàn)镈是CB的中點(diǎn)，所以BD=BC=3.所以AD=AB+BD=6+3=9.③當(dāng)點(diǎn)C在線段BA

的延長(zhǎng)線上時(shí)，不存在AC=2BC，所以此種情況不存在.綜上所述，線段AD的長(zhǎng)為5或9.

7.如圖，

OM為∠AOB的平分線，ON為∠AOM內(nèi)的一條射線.（1）若∠BON=55°，∠AON=15°，求∠MON的度數(shù).（2）小明得出一個(gè)關(guān)系式：∠MON=（∠BON-∠AON），你認(rèn)為這個(gè)關(guān)系式正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解:（1）因?yàn)椤螧ON=55°，∠AON=15°，所以∠AOB=∠AON+∠BON=70°.因?yàn)镺M平分∠AOB，所以∠AOM=∠AOB=35°.所以∠MON=∠AOM-∠AON

=35°-15°=20°.（2）正確.理由如下:∠MON=∠AOM-∠AON=∠AOB-∠AON=(∠AON+∠BON)-∠AON=(∠BON-∠AON).整合1