專題四專題四第2講橢圓、拋物線、雙曲線解析幾何考向預(yù)測考向預(yù)測1.圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)；2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是命題的熱點(diǎn)，尤其是有關(guān)弦長計(jì)算及存在性問題；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算（數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式運(yùn)算）也是這里的考查要求之一．知識與技巧的梳理知識與技巧的梳理1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(2)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)①雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0).②雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c).(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程①拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2).②拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線方程y＝－eq\f(p,2).4.弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交的弦長設(shè)而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入.即當(dāng)斜率為k，直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).(2)過拋物線焦點(diǎn)的弦長拋物線y2＝2px(p>0)過焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)一圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例1】(2017·山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py，))消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝eq\f(2b2,a2)p，又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝4×eq\f(p,2)，即y1＋y2＝p，∴eq\f(2b2,a2)p＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)?eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2).∴雙曲線漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案y＝±eq\f(\r(2),2)x探究提高1.分析圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解圓錐曲線性質(zhì)問題的關(guān)鍵.2.確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式.建立關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.3.求雙曲線漸近線方程關(guān)鍵在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可將雙曲線等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到.【訓(xùn)練1】(1)(2017·全國Ⅲ卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eqB.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)(2)(2016·北京卷)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則a＝________.解析(1)以線段A1A2為直徑的圓是x2＋y2＝a2，直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，所以圓心(0，0)到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，整理為a2＝3b2，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3)).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3).(2)取B為雙曲線右焦點(diǎn)，如圖所示.∵四邊形OABC為正方形且邊長為2，∴c＝|OB|＝2eq\r(2)，又∠AOB＝eq\f(π,4)，∴eq\f(b,a)＝taneq\f(π,4)＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案(1)A(2)2熱點(diǎn)二直線與圓錐曲線【例2】(2016·全國Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N，連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求eq\f(|OH|,|ON|)；(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由.解(1)如圖，由已知得M(0，t)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,2p)，t))，又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,p)，t))，故直線ON的方程為y＝eq\f(p,t)x，將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2t2,p)，因此Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t2,p)，2t)).所以N為OH的中點(diǎn)，即eq\f(|OH|,|ON|)＝2.(2)直線MH與C除H以外沒有其它公共點(diǎn)，理由如下：直線MH的方程為y－t＝eq\f(p,2t)x，即x＝eq\f(2t,p)(y－t).代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒有其它公共點(diǎn).探究提高1.判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定；2.弦長計(jì)算公式：直線AB與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，其中k為弦AB所在直線的斜率.3.對于弦的中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件Δ>0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交.【訓(xùn)練2】(2017·北京卷)已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1)，過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn).解(1)把P(1，1)代入y2＝2px，得p＝eq\f(1,2)，所以拋物線C的方程為y2＝x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,4).(2)證明當(dāng)直線MN斜率不存在或斜率為零時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意，所以直線MN(也就是直線l)斜率存在且不為零.由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋eq\f(1,2)(k≠0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x，))消去y得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.考慮Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)，由題可知有兩交點(diǎn)，所以判別式大于零，所以k<eq\f(1,2).則x1＋x2＝eq\f(1－k,k2)，x1x2＝eq\f(1,4k2).因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為y＝x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1).直線ON的方程為y＝eq\f(y2,x2)x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(y2x1,x2))).因?yàn)閥1＋eq\f(y2x1,x2)－2x1＝eq\f(y1x2＋y2x1－2x1x2,x2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋\f(1,2)))x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(1,2)))x1－2x1x2,x2)＝eq\f(（2k－2）x1x2＋\f(1,2)（x2＋x1）,x2)＝eq\f(（2k－2）×\f(1,4k2)＋\f(1－k,2k2),x2)＝0.所以y1＋eq\f(y2x1,x2)＝2x1.故A為線段BM的中點(diǎn).

（（45分鐘）限時(shí)訓(xùn)練經(jīng)典常規(guī)題經(jīng)典常規(guī)題1.(2016·全國Ⅰ卷)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(－1，3) B.(－1，eq\r(3)) C.(0，3) D.(0，eq\r(3))2.(2017·全國Ⅲ卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1 C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝13.(2017·全國Ⅱ卷)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________.4.(2017·全國Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up6(→)).(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題1.(2016·全國Ⅱ卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(3,2) D.22.(2017·全國Ⅰ卷)已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，則△APF的面積為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)3.(2017·邯鄲質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則|QF|等于________.4.(2017·佛山調(diào)研)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，右焦點(diǎn)為F(1，0).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，若OM⊥ON，求直線l的方程.精準(zhǔn)預(yù)測題精準(zhǔn)預(yù)測題1.(2017·新鄉(xiāng)模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))，且|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝4，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,12)＝1 C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝12.(2017·石家莊三模)已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，且eq\f(e1,e2)＝eq\f(1,3)，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則雙曲線C2的漸近線方程為()A.x±y＝0 B.x±eq\f(\r(3),3)y＝0 C.x±eq\f(\r(2),2)y＝0 D.x±2y＝03.(2017·濰坊三模)已知拋物線y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)M(1，t)(t>0)到焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行.則實(shí)數(shù)a的值為________.4.(2017·郴州三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b≥1)過點(diǎn)P(2，1)，且離心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為eq\f(1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

參考答案經(jīng)典常規(guī)題經(jīng)典常規(guī)題1.【解題思路】方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，根據(jù)一元二次不等式可知m，n之間的不等關(guān)系，進(jìn)而分別確定m2＋n和3m2－n的正負(fù)，當(dāng)然也可以分類討論處理.【答案】∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2.由雙曲線性質(zhì)，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.故選A.2.【解題思路】由漸近線知eq\f(b,a)的值，又由焦點(diǎn)坐標(biāo)可確定c.【答案】由題設(shè)知eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2)，①又由橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得a＝2，b＝eq\r(5)，則雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.故選B.3.【解題思路】做出M到準(zhǔn)線的垂線，利用中位線和拋物線的定義即可.【答案】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.故填6.4.【解題思路】(1)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡，(2)利用向量處理垂直問題.【答案】(1)解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0，0)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x－x0，y)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(0，y0)，由eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up6(→))得x0＝x，y0＝eq\f(\r(2),2)y，因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1，因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2.(2)證明由題意知F(－1，0)，設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(－3，t)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－1－m，－n)，eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝3＋3m－tn，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－3－m，t－n)，由eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2.故3＋3m－tn＝0.所以eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OQ,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題1.【解題思路】由PF⊥x軸結(jié)合P點(diǎn)在拋物線上確定P點(diǎn)坐標(biāo).【答案】因?yàn)閽佄锞€方程是y2＝4x，所以F(1，0).又因?yàn)镻F⊥x軸，所以P(1，2)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程y＝eq\f(k,x)(k>0)，即eq\f(k,1)＝2，所以k＝2.故選D.【答案】由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，將x＝2代入x2－eq\f(y2,3)＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又A的坐標(biāo)是(1，3)，故△APF的面積為eq\f(1,2)×3×(2－1)＝eq\f(3,2).故選D.3.【解題思路】過點(diǎn)Q作l的垂線，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例處理.【答案】過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)閑q\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故填3.4.【解題思路】(1)由離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立方程求出a，b，(2)OM⊥ONeq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，結(jié)合韋達(dá)定理處理.【答案】解(1)依題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋1，))解得a＝eq\r(2)，b＝1.∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x＝1，不符合題意；②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1).聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝k（x－1），))消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1·x2＝eq\f(2（k2－1）,1＋2k2).∴y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝eq\f(－k2,1＋2k2).∵OM⊥ON，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0.∴x1·x2＋y1·y2＝eq\f(k2－2,1＋2k2)＝0，∴k＝±eq\r(2).故直線l的方程為y＝±eq\r(2)(x－1).精準(zhǔn)預(yù)測題精準(zhǔn)預(yù)測題1.【解題思路】由eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))可確定A點(diǎn)坐標(biāo)，A點(diǎn)在雙曲線上，又|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝4由勾股定理可得，列方程組解出a，b.【答案】設(shè)A(x，y)，∵右焦點(diǎn)為F(c，0)，點(diǎn)B(0，b)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，且eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(2c,3)，y＝eq\f(b,3)，代入雙曲線方程，得eq\f(4c2,9a2)－eq\f(1,9)＝1，且c2＝a2＋b2，∴b＝eq\f(\r(6)a,2).∵|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝4，∴c2＋b2＝16，∴a＝2，b＝eq\r(6)，∴雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1.故選D.2.【解題思路】共焦點(diǎn)相同，再eq\f(e1,e2)＝eq\f(1,3)再可得橢圓與雙曲線的a，b，c的關(guān)系，結(jié)合定義可得|PF1|，|PF2|.【答案】設(shè)橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，雙曲線C2：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1，依題意c1＝c2＝c，