第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省資陽市中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa15a1若離散型隨機(jī)變量Y=2X+1，則P(Y≥5)=(

)A.712 B.512 C.562.5個男生，2個女生排成一排，若女生不能排在兩端，但又必須相鄰，則不同的排法有(????)種．A.480 B.720 C.960 D.14403.我國古代數(shù)學(xué)家沈括，楊輝，朱世杰等研究過二階等差數(shù)列的相關(guān)問題.如果an+1?an=bn(n∈N?)，且數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，那么數(shù)列{an}為二階等差數(shù)列A.120 B.220 C.240 D.2564.兩位工人加工同一種零件共100個，甲加工了40個，其中35個是合格品，乙加工了60個，其中有50個合格，令A(yù)事件為”從100個產(chǎn)品中任意取一個，取出的是合格品”，B事件為”從100個產(chǎn)品中任意取一個，取到甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，則P(A|B)等于(

)A.25 B.35100 C.785.設(shè)函數(shù)f(x)是R上可導(dǎo)的偶函數(shù)，且f(2)=3，當(dāng)x>0，滿足2f(x)+xf′(x)>2，則x2f(x)>12的解集為(

)A.(?2,2) B.(?∞,?3)∪(3,+∞)

C.(?∞,?2)∪(2,+∞) D.(?3,3)6.朱載堉(1536～1611)，是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍.設(shè)前四個音的頻率總和為A1，前八個音的頻率總和為A2，則A2A.1+212 B.1+2137.設(shè)函數(shù)f(x)=ex?x，直線y=ax+b?1是曲線y=f(x)的切線，則a+b的最大值是A.1?1e B.e C.e?1 8.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有(

)A.192

B.336

C.600

D.以上答案均不對二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若0<P(A)<1，0<P(B)<1，則下列等式中成立的是(

)A.P(A|B)=P(AB)P(B)

B.P(A|B)=P(AB)P(A)

C.10.已知f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)y=f′(x)?1的圖象大致如圖所示，則(

)A.f(x)有3個極值點(diǎn)

B.x=3是f(x)的極大值點(diǎn)

C.x=?4是f(x)的極大值點(diǎn)

D.f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增11.已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1A.a2=7 B.數(shù)列{an}為周期數(shù)列

C.a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在(x?2x2)513.已知f(x)=ax4+bcosx+7x?2，f′(x)為f(x)導(dǎo)函數(shù)，若f′(2025)=?2011，則f′(?2025)=14.知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=3，當(dāng)n≥2時，總有a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在“①an+1>an，a2a9=51，a4+a7=20；②S5=25a1，a2=3；③Sn=n2”三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題中，并解答．

已知等差數(shù)列{an16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x2?(2a+1)x+alnx，a∈R．

(1)若f(x)在x=1處取得極值，求f(x)的極值；

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為?2a，求a17.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a1=5，a2+a5=20且b2+b5=a7+1，18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?mx+1，g(x)=x(ex?1)．

(1)若f(x)的最大值是0，求m的值；

(2)若對任意x>0，f(x)≤g(x)恒成立，求19.(本小題17分)

勇達(dá)樓兩側(cè)上樓的梯步半層14個臺階，同學(xué)們每天通往知識的殿堂就是從踏上這個樓梯開始.有的同學(xué)“腳踏實(shí)地”一步1個臺階，有的同學(xué)“爭分奪秒”一步2個臺階，還有的同學(xué)“天賦異稟”一步3個或4個臺階．

(1)同學(xué)甲上樓時一步走1個或者2個臺階，則甲走完這半層14個臺階有多少種不同的走法；

(2)通往人生的高峰有無數(shù)的臺階，需要我們慢慢攀登.同學(xué)乙每一步都是走1個或者2個臺階，他第一步走1個臺階的概率34，然后從第二步開始，若上一步走的1個臺階，則下一步走1個臺階的概率為12，若上一步走的2個臺階，則下一步走1個臺階的概率為14．

(Ⅰ)記第i步走1個臺階的概率為Pi，求Pi關(guān)于i的表達(dá)式；

(Ⅱ)記第n個臺階被踩中的概率為f(n)，其中第n個臺階被走1個臺階而踩中的概率為An，被走2個臺階而踩中的概率為Bn，求證參考答案1.A

2.C

3.A

4.C

5.C

6.B

7.B

8.C

9.ACD

10.ACD

11.AD

12.40

13.2025

14.1,n=13,n=215.解：(Ⅰ)方案一：選擇條件①

由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

則a4+a7=a2+a9=20，

將a9=20?a2代入a2a9=51，

整理，得a22?20a2+51=0，

解得a2=3，或a2=17，

當(dāng)a2=3時，a9=17，

當(dāng)a2=17時，a9=3，

∵an+1>an，∴a2=3，a9=17，

∴d=a9?a27=17?37=2，

∴a1=a2?2=3?2=1，

∴an=1+2(n?1)=2n?1，n∈N?．

方案二：選擇條件②

由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

16.解：(1)已知f(x)=x2?(2a+1)x+alnx，函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，

可得f′(x)=2x?(2a+1)+ax，

因?yàn)閒(x)在x=1處取得極值，

所以f′(1)=2?(2a+1)+a=0，

解得a=1，

此時f(x)=x2?3x+lnx，f′(x)=2x?3+1x=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，

當(dāng)0<x<12時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)12<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=12時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值f(12)=14?32+ln12=?54?ln2，

當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)取得極小值，極小值f(1)=1?3+ln1=?2；

(2)因?yàn)閒′(x)=2x?(2a+1)+ax=2x2?(2a+1)x+ax=(2x?1)(x?a)x，

①當(dāng)a≤1時，

當(dāng)x∈[1,e]時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)取得最小值，最小值f(1)=?2a，滿足題意；

②當(dāng)1<a<e時，17.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

因?yàn)閍1=5，a2+a5=20，

所以a1+d+a1+4d=10+5d=20，解得d=2，

所以an=5+2(n?1)=2n+3，

所以b2+b5=a7+1=18，b3b4=a5+a8=13+19=32，

因數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，則可設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q(q>1)，

因?yàn)閎3b4=b2b5，所以b2+b5=18b2b5=32，

18.(1)f′(x)=1x?m，

若m≤0，則f′(x)>0，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無最大值，不符合題意，舍去；

若m>0，則當(dāng)x∈(0,1m)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1m,+∞)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

因此當(dāng)x=1m時，f(x)取得極大值，也是最大值，

其最大值為f(1m)=ln(1m)=0，解得m=1，

顯然m=1>0符合題意，因此m的值為1．

(2)對任意x>0，f(x)≤g(x)恒成立，即?m+1≤ex?lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，

設(shè)φ(x)=ex?lnx+1x，可得φ′(x)=x2ex+lnxx2，

設(shè)q(x)=x2ex+lnx，可得q′(x)=(x2+2x)ex+1x>0，

因此q(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且q(119.(1)走完這半層14個臺階可分為以下情況：

14步走完時0個2和14個1，有C140=1種走法；

13步走完時1個2和12個1，有C131=13種走法；

12步走完時2個2和10個1，有C122=66種走法；

11步走完時3個2和8個1，有C113=165種走法；

10步走完時4個2和6個1，有C104=210種走法；

9步走完時5個2和4個1，有C95=126種走法；

8步走完時6個2和2個1，有C86=28種