第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南省中央民族大學(xué)附中紅河實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?2x?3=0}，B={x∈N|?4<x<4}，則A∩B=A.{1} B.{?3,1} C.{3} D.{?1,3}2.已知z=1+i3?4i，則z?的虛部為A.?125 B.125 C.?3.下列說法正確的是(

)A.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

B.如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐

C.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)

D.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺4.已知向量a=(1,1)，b=(?1,1)，則向量a+b在向量bA.(1,1) B.(?1,1) C.(0,1) D.(0,0)5.已知cos(π6?θ)=13A.79 B.?79 C.26.如圖，在△ABC中，∠BAC=π4，AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP=mAC+12AB，若A.?1712B.214

C.137.若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(?∞,0]上是減函數(shù)，且不等式f(x2?m)≤f(2x)對于一切x∈[2,3]恒成立，則m的取值范圍是A.[0,8] B.[3,8] C.[3,15] D.[0,15]8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(2x?1)為奇函數(shù)，且f(x+1)為偶函數(shù)，則(

)A.f(2023)=0 B.f(2024)=0 C.f(2021)=0 D.f(2022)=0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題為假命題的是(

)A.若a>b，則1a<1b

B.若a>b>0且c>0，則ab>a+cb+c

C.不等式kx2+kx?1<010.如圖，正四棱臺ABCD?A1B1CA.A1D和BC1異面

B.BB1和DD1共面

C.平面A111.下列命題正確的(

)A.已知向量a=(1,2),b=(2,?2),c=(m,?1)，若c⊥(2a+b)，則m等于?12

B.△ABC中，已知a=2，A=30°，若三角形有唯一解，則整數(shù)b可以為1，2，4．

C.在△ABC中，a為常數(shù)，若b=2ccosA，且b≤3a，則△ABC的面積取最大值時，∠A=π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(1,x)，若(2a?b)//13.如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得∠BCD=30°，∠BDC=105°，CD=32m，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度為______米.14.已知f(x)=|x+1|,x≤0|log3x|,x>0，若方程f(x)?a=0有四個根x1，x2，x3，x4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=(3sinC,?cosA)，n=(a,c)，且m⊥n．

(1)求A；

(2)若△ABC的面積為16.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB=2，B1B=3，D是棱AC的中點(diǎn)．

(1)求證：AB117.(本小題15分)

已知平面向量a=(sinx,23cosx)，b=(2sinx,sinx)，函數(shù)f(x)=a?b+1．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)在銳角△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，18.(本小題17分)

一正三棱臺木塊ABC?A1B1C1如圖所示，已知2AC=3A1C1=6，AA1=2，點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)且為△ABC的重心．

(1)證明：BB1//平面OA1C1；

(2)設(shè)平面OA1C19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)(a∈R)的圖象過點(diǎn)(1,0)，g(x)=x2?2ef(x)．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)+ln(2x?k)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，求整數(shù)k的值；

(Ⅲ)設(shè)m>0答案解析1.【答案】C

【解析】解：由B={x∈N|?4<x<4}={0,1,2,3}，A={x|x2?2x?3=0}={?1,3}，

所以A∩B={3}．

故選：C．

先求出集合A，B2.【答案】C

【解析】解：z=(1+i)(3+4i)(3?4i)(3+4i)=?1+7i25，

故z?=?125?73.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體，若側(cè)棱不平行，則不為棱柱，故A錯誤；

對于B，棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，則頂角為60°，

若為六棱錐，則60°×6=360°，為一個周角，故為平面圖形，故B錯誤；

對于C，由棱臺的定義，棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，C正確；

對于D，以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)軸是梯形的斜邊，則旋轉(zhuǎn)體不是圓臺，D錯誤．

故選：C．

結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺和圓臺的定義依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．

本題考查棱柱、棱錐、棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征，注意棱柱、棱錐、棱臺和圓臺的定義，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：向量a=(1,1)，b=(?1,1)，

則a+b=(0,2)，

(a+b)?b=2，|b|=1+1=5.【答案】B

【解析】解：∵已知cos(π6?θ)=13，則sin(2θ+π6)=cos6.【答案】D

【解析】解：AD=2DB，

則AD=23AB，

設(shè)CP=kCD(0≤k≤1)，

則AP?AC=k(AD?AC)，

AP=mAC+12AB，

則(m?1)AC+12AB=k(27.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閒(x)在(?∞,0]上是減函數(shù)，

因此f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，

因?yàn)椴坏仁絝(x2?m)≤f(2x)對于一切x∈[2,3]恒成立，

因此|x2?m|≤|2x|對于一切x∈[2,3]恒成立，

因此?2x≤x2?m≤2x對于一切x∈[2,3]恒成立，

因此x2?2x≤m≤x2+2x對于一切x∈[2,3]恒成立，

設(shè)g(x)=x2?2x，x∈[2,3]，?(x)=x2+2x，x∈[2,3]，

則g(x)max≤m≤?(x)min，

因?yàn)間(x)=x2?2x，在[2,3]上單調(diào)遞增，

因此g(x)max=g(3)=32?2×3=3，

因?yàn)?(x)=x2+2x，在[2,3]上單調(diào)遞增，

因此?(x)min8.【答案】A

【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，

∵f(2x?1)為奇函數(shù)，

∴f(?2x?1)=?f(2x?1)，

∴f(x)=?f(?x?2)①；

令x=0，得到f(?1)=0；

∵f(x+1)為偶函數(shù)，

∴f(?x+1)=f(x+1)，

∴f(x)=f(2?x)②；結(jié)合①②得到：f(2?x)=?f(?x?2)，

f(x)=?f(x+4)，f(x+4)=?f(x+8)，

∴f(x)=f(x+8)，所以函數(shù)的周期為8，

∴f(2023)=f(252×8+7)=f(7)=f(?1)=0．

故選：A．

利用奇偶函數(shù)得到周期為8，且f(?1)=0，即可求得結(jié)果．

本題考查抽象函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，為中檔題．9.【答案】AC

【解析】解：對于A，若a>b，則當(dāng)a=1，b=?2時，1a=1>?12=1b，故A是假命題；

對于B，若a>b>0且c>0，則ac>bc，

所以ab+ac>ab+bc，即a(b+c)>b(a+c)，

不等式的兩邊同時除以b(b+c)，可得ab>a+cb+c，故B是真命題；

對于C，不等式kx2+kx?1<0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，

①當(dāng)k≠0時，須滿足k<0Δ=k2+4k<0，解得?4<k<0，

②當(dāng)k=0時，原不等式可化為?1<0，恒成立，

綜上①②可知?4<k≤0，故C是假命題；

對于D，解不等式3x?1≥1可得1<x≤4，

由1<x≤4?x<5，但是由x<5不一定能推出1<x≤4，

所以x<5是1<x≤4的一個必要不充分條件，

即“x<5”是“3x?1≥1”的一個必要不充分條件，

故D是真命題．

故選：AC．10.【答案】ABD

【解析】解：AB/?/C1D1，

所以AB與C1D1確定平面ABC1D1，

因?yàn)锳1D與AD1相交，且A1D與平面ABC1D1相交，所以A1D和BC1異面，故A正確；

BD/?/B1D1，

所以BD與B1D1確定平面BDD1B1，所以BB1和DD1共面，故B正確；

因?yàn)镈∈面CC1D1，而A1?面CC1D1，B?面CC1D1，D∈面CC1D1，

由基本事實(shí)3可知，平面A1BD與平面CC1D1相交，故C錯誤；

對于D，因?yàn)樵谡睦馀_ABCD?A1B1C1D1中，BC//B111.【答案】BCD

【解析】解：對于A，因?yàn)閍=(1,2),b=(2,?2)，所以2a+b=(4,2)，

因?yàn)閏⊥(2a+b)，且c=(m,?1)，

所以c?(2a+b)=4m?2=0，解得m=12，故A錯誤，

對于B，a=2，A=30°，若三角形有唯一解，

由正弦定理得asinA=bsinB，則sinB=bsinAa=b4，

則sinB=1或sinB≤sinA=12，解得b=4或0<b≤2，

則整數(shù)b可以為1，2，4，故B正確，

對于C，在△ABC中，由b=2ccosA，

由余弦定理得b=2c?b2+c2?a22bc，

即c2=a2，則c=a，又b≤3a，則有0<2acosA≤3a，

即0<cosA≤32，又0<A<π，因此A∈[π6,π2),

則S△ABC=12bcsinA=a2sin2A2≤12a2，當(dāng)A=π4時取等號，

12.【答案】2

【解析】解：法一：若(2a?b)//b，則2a?b=λb，則2a=(λ+1)b，所以a//b，所以x=2．

法二：因?yàn)閍=(1,2),b=(1,x)，所以13.【答案】48+16【解析】解：如圖，在△BCD中，∠CBD=180°?30°?105°=45°，

由正弦定理BCsin∠CDB=CDsin∠CBD，而CD=32m，

sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=22×12+22×32=6+14.【答案】(0,4【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，屬于中檔題．

畫出y=f(x)的圖象，可得f(x)?a=0有四個根，等價(jià)為y=a和y=f(x)的圖象有4個交點(diǎn)，求得x1，x2，x3，x4的范圍，去絕對值可得【解答】解：作出f(x)=|x+1|,x≤0|log3x|,x>0的圖象，如圖所示，

方程f(x)?a=0有四個根，等價(jià)為y=a和y=f(x)的圖象有四個交點(diǎn)，

可得x1<?1，?1<x2≤0，13≤x3<1，1<x4≤3，

即有?x1?1=x2+115.【答案】A=π6；

a=2【解析】解：(1)由題意，m=(3sinC,?cosA)，n=(a,c)，

由m⊥n，得3asinC?ccosA=0，即ac=cosA3sinC，①

根據(jù)正弦定理asinA=csinC，得ac=sinAsinC，②

由①②可得：3sinA=cosA，即tanA=13，

又A∈(0,π)，則A=π6；

(2)由三角形面積為3，可得：12bcsinA=3，

又A=π6，則bc=416.【答案】證明見解析；

53【解析】解：(1)證明：根據(jù)題目：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，

已知AB=2，B1B=3，D是棱AC的中點(diǎn)．

連接B1C，交BC1于點(diǎn)E，則E為B1C中點(diǎn)，連接DE，如圖所示，

在△AB1C中，因?yàn)镈，E分別為AC，BC1的中點(diǎn)，所以DE/?/AB1，

又因?yàn)镈E?面BDC1，且AB1?面BDC1，所以AB1//平面BDC1；

(2)解：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，因?yàn)锳B=2，且B1B=3，17.【答案】解：(1)由題意，函數(shù)f(x)=a?b+1=2sin2x+23sinxcosx+1

=1?cos2x+3sin2x+1=2sin(2x?π6)+2，

令2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2，k∈Z，

得：kπ?π6≤x≤kπ+π3

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；[kπ?π6,kπ+π3]，k∈Z．

令2kπ+π2≤2x?π6≤2kπ+3π2，k∈Z，

得：kπ+π3≤x≤kπ+5π6

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為；[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z．

(2)由【解析】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)的運(yùn)算，判斷正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，正弦定理的應(yīng)用以及三角恒等變換的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)函數(shù)f(x)=a?b+1=2sin2x+23sinxcosx+1=1?cos2x+3sin2x+1=2sin(2x?π6)+218.【答案】證明見解析；

平行，證明見解析；

存在，軌跡及證明見解析．

【解析】(1)證明，如圖所示：

設(shè)A1C1，AC的中點(diǎn)分別為F、G，

易得B1F/?/BG，又2AC=3A1C1=6，

所以B1F=3，BG=332，

又點(diǎn)O為△ABC的重心，

所以BO=23×332=3，

所以B1F與BO平行且相等，

從而可得BB1//OF，又BB1?平面OA1C1，OF?平面OA1C1，

所以BB1/?/平面OA1C1；

(2)證明：直線AC與l平行，證明如下：

因?yàn)锳C/?/A1C1，AC?平面OA1C1，A1C1?平面OA1C1，

所以AC/?/平面OA1C1，又AC?平面ABC，平面ABC∩平面OA1C1=l，

所以AC/?/l；

(3)分別取B1C1、A1B1的中點(diǎn)K、L，則當(dāng)點(diǎn)M∈KL時，有OM/?/平面ACC1A1，

證明如下：

因?yàn)镵、L分別為B1C1、A1B1的中點(diǎn)，所以KL//A1C1，

過點(diǎn)O作AC的平行線交B