第34講空間點、線、面之間的位置關(guān)系

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必二Pl28T2）下列說法正確的是（）

A.三點確定一個平面

B,一條直線和一個點確定一個平面

C.梯形可確定一個平面

D.圓心和圓上兩點確定一個平面

2.（人A必二Pl31Tl（2））設(shè)直線a,b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在的直線，

則。與6（）

A.平行

B.相交

C.是異面直線

D.可能相交，也可能是異面直線

3.（人A必二P131練習T4改）已知平面a〃平面小直線a〃平面a,直線6〃平面川，則

。與6的位置關(guān)系可能是（）

A.平行或相交B.相交或異面

C.平行或異面D.平行、相交或異面

4.（人A必二Pl31T3改）下列說法正確的是（）

A.若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝lj/〃a

B.若直線/與平面。平行，貝（1/與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行

C.如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

D.若直線/與平面a平行，則/與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

5.如圖，已知長方體N3CDNE。。中，AB=2也,/。=23，AA'=2,則8C和

所成角的大小是,44'和8。所成角的大小是.

D'C

（第5題）

聚焦知識

1.平面的基本性質(zhì)

基本事實1:過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公

共直線.

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

3.平行直線

(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

(2)定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩

個角相等.

4.異面直線

(1)判定：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)的直線是異面直線,

如圖所示.

(2)異面直線所成的角：設(shè)0,6是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O,作直線a'//a,b,//b,

我們把直線/與，所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角或夾角，其取值范圍為

5.常用結(jié)論(唯一性定理)

(1)過直線外一點直線與已知直線平行;

(2)過直線外一點平面與已知直線垂直;

(3)過平面外一點平面與已知平面平行;

(4)過平面外一點直線與已知平面垂直.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題固法

目幀U平面的基本事實及應用

例1如圖，在正方體48CD-/LB1GA中，對角線/1C與平面交于點。，AC,

BD交于煎M,￡為的中點，/為441的中點.

(例1)

(1)求證：Ci,O,M三點共線；

(2)求證：E,C,Di，尸四點共面;

(3)求證：CE,DiF,三線共點.

〈總結(jié)提煉〉

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

變式1如圖，在四面體中作截面PQA,若尸。與C3的延長線交于點RQ

與。3的延長線交于點N,RP與。C的延長線交于點K.

(變式1)

(1)求證：直線平面PQR；

(2)求證：點K在直線上.

目幀日空間兩直線的位置關(guān)系

例2(多選)如圖，在正方體N3CZM13cg中，M,N分別為棱GA,GC的中點,

下列說法正確的是()

（例2）

A.直線與CG是相交直線

B.直線與是平行直線

C.直線3N與"31是異面直線

D.直線4W■與。d是異面直線

變式2在底面半徑為1的圓柱。。1中，過旋轉(zhuǎn)軸OQ作圓柱的軸截面/BCD,其中母

線45=2,￡是就的中點，尸是的中點，貝1］（）

A.AE=CF,NC與即是共面直線

B.AE^CF,/C與斯是共面直線

C.AE=CF,/C與斯是異面直線

D.AEWCF,/C與斯是異面直線

目幀周異面直線所成角的計算

例3如圖，已知。是圓柱下底面圓的圓心，441為圓柱的一條母線，5為圓柱下底面

圓周上一點，CM=1,ZAOB=~,山為等腰直角三角形，則異面直線小。與N3所

3

成角的余弦值為.

（例3）

＜總結(jié)提煉A

異面直線所成角的求法

1.平移使相交：通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中

利用余弦定理求角；

2.向量法：已知a,6為兩異面直線，A,C與3,。分別是a,6上的任意兩點，a,b

，一一、而麗

所成的角為0,則cos6）=|cos（AC,BD）|=

即

變式3（1）（2021?全國乙卷）在正方體48czM閏CQ中，已知尸為21A的中點，則直

線必與NA所成的角為（）

（2）（2024?南平三檢）在正四面體48。中，尸為棱/D的中點，過點/的平面a與平面

P2C平行，平面aCl平面平面a。平面/CO=〃，則小,〃所成角的余弦值為（）

A.也B.-

33

隨堂內(nèi)化

1.已知平面a與平面￡,y都相交，則這三個平面可能的交線有（）

A.1條或2條

B.2條或3條

C.1條或3條

D.1條或2條或3條

2.設(shè)P1,尸2,尸3,%為空間中的四個不同點，則“尸1,P2,Pi,尸4中有三點在同一條

直線上”是“P1，尸2,P3,尸4在同一個平面內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

3.（2024,日照一模）已知/,"2是兩條不同的直線，a為平面，"?ua,下列說法中正確

的是（）

A.若/與a不平行，貝心與加一定是異面直線

B.若/〃a,貝！1/與7〃可能垂直

C.若/Ca=N,且/生加，貝!與正可能平行

D.若/Cla=/,且/與a不垂直，則/與〃?一定不垂直

4.（2024?保定二模）如圖，在正四棱柱48co-436A中，441=4/2,則異面直線由2

與4D1所成角的余弦值為（）

（第4題）

B.理

A-H

17

c167

17

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.已知互不重合的三個平面a,B，y,其中an4=Q,例V=b,yQa=cf且尸，則

下列結(jié)論一定成立的是（）

A.b與。是異面直線

B.q與。沒有公共點

C.b//c

D.bC\c=P

2.（2024,岳陽三模）下列命題正確的是（）

A.若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝

B.若直線q不平行于平面a且〃0a,則平面Q內(nèi)不存在與Q平行的直線

C.已知直線a,b,平面a,P，且QUQ,bu°,a//13,則直線a,b平行

D.已知兩條相交直線a,b,且q〃平面a,則b與a相交

3.（2024?威海二模）在正方體中，E,尸分別為棱BC,耳。的中點，若

平面。551與平面4跖的交線為/,則/與直線4G所成角的大小為（）

A.-B.-

63

C.-D.-

42

4.（2024?南昌二模）在三棱錐/-BCD中，48_1_平面BCD,AB=0BC=BD=CD=2,

E,9分別為NC,C〃的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AF,是異面直線，AFLBE

B.AF,8E是相交直線，AFLBE

C.AF,是異面直線，/尸與不垂直

D./R5E是相交直線，/尸與3E不垂直

二、多項選擇題

5.（2025?南通海安期初）在空間中，設(shè)a,b,c是三條不同的直線，a,￡,y是三個不重

合的平面，則下列能推出。〃b的是（）

A.a-Lc,b_Lc

B.a//a,QU￡,aCB=b

C.a.LyfBU，aAy=a,￡Cly=b

D.aC\/3=a,aC\y=b,夕Cy=c,a//c

6.（2024?新鄉(xiāng)三模）己知加，n,/為空間中三條不同的直線，a,夕，y為空間中三個不重

合的平面，則下列說法正確的是（）

A.若an￡=??,mA-y,則a_Ly,（J-Ly

B,若"iua,〃<Za,則比與"為異面直線

C,若aC或=Z,P^y=m,yC\a=n,且/n，〃=P,則尸

D.若機_La,加_1_￡,a//y,則4〃y

7.如圖，在正方體ZBCDTbBiCQi中，P,。分別是棱44i，CG的中點，平面。尸

平面則下列結(jié)論正確的有（）

A.I過點51

BJ不一定過點81

C.Z）尸的延長線與的延長線的交點不在/上

D.DQ的延長線與01G的延長線的交點在I上

三、填空題

8.已知在直三棱柱Z8C-/山Ci中,ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,則異面直線

AB\與BCi所成角的余弦值為.

9.在三棱錐P-4BC中，AC=1,PB=2,M,N分別是以，BC的中點，若也，

2

則異面直線NC,P8所成角的余弦值為

四、解答題

10.如圖，在正方體48CD-/囚GD1中，E,尸分別為。Ci，GS的中點，4CCBD=

P,4cle￡尸=。.求證: