作業(yè)01平行線的性質(zhì)與判定

十」積累整合」

i.平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.

判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

判定方法4：如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).

判定方法5：在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.

2.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等;

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等;

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：

(1)若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點.

(2)如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.

3.圖形的平移

1.平移的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,圖形的這種移動叫做平移.

決定平移的兩個要素：(1)平移的方向；(2)平移的距離.

2.平移的性質(zhì)：

(1)圖形的平移不改變圖形的形狀與大小,只改變圖形的位置.

(2)圖形平移后，對應(yīng)點的連線平行或在同一直線上且相等.

(3)圖形經(jīng)過平移，對應(yīng)線段互相平行或在同一條直線上且相等，對應(yīng)角相等.

何產(chǎn)礎(chǔ)過關(guān)練

一、選擇題

1.(2023春?河南商丘?七年級統(tǒng)考期中)2022年北京冬奧會會徽是以漢字“冬”為靈感來源設(shè)計的，在選項

的四個圖中，能由給出的圖形經(jīng)過平移得到的是()

【答案】c

【分析】根據(jù)平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小解答.

【詳解】解：觀察各選項圖形可知，C選項的圖案可以通過平移得到，故選：C.

【點睛】本題考查了利用平移設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是掌握圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形

的形狀和大小.

2.（2023春?廣西柳州?七年級統(tǒng)考期中）如圖，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.N1與22是同位角B.23與n5是內(nèi)錯角C.R4與25是同旁內(nèi)角D.N1與23是同位角

【答案】A

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特點逐項進行判斷即可.

【詳解】解：A、N1與N2是同位角錯誤，故符合題意；B、N3與n5是內(nèi)錯角正確，不符合題意;

C、/4與/5是同旁內(nèi)角正確，不符合題意；D、N1與/3是同位角正確，不符合題意；故選：A.

【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別，結(jié)合圖形正確識別三種角是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?福建寧德?七年級統(tǒng)考期中）如圖，下列條件能判定?！?的是（）

D3=D5C.Z1=Z2D.Zl+Z3=180°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理依次判斷即可.

【詳解】解：由/2=/4可得c〃d,故A不符合題意；由B3=D5可得。〃b,故B符合題意；

/1=/2不能判斷。〃力，故C不符合題意；由/1+/3=180。可得c〃d,故D不符合題意；故選：B.

【點睛】此題考查了平行線的判定定理，正確掌握平行線的判定定理及三線八角的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）如圖，水面48與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時發(fā)生折射,

光線變成切，點G在射線跖上，已知NHFB=20°,NFED=45°,則NGFH的度數(shù)是（）

A.65°B.60°C.45°D.25°

【答案】D

【分析】從可以得到同位角相等，NGFB=NFED,然后相減可得到NGF"的度數(shù).

【詳解】解：.?.NGKB=/FED=45。，

ZGFH=ZGFB-Z.BFH=45。一20°=25。，故選D.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?山西呂梁七年級統(tǒng)考階段練習）遇到一個新問題時，常常把它轉(zhuǎn)化為已知的（或已解決的）

問題.比如，在學習平行線的判定一節(jié)內(nèi)容時，我們先得到同位角相等，兩直線平衽然后利用‘同位

角相等，兩直線平簾得至產(chǎn)內(nèi)錯角相等，兩直線平衽在這一過程中，滲透的數(shù)學思想是（）

A.類比思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.轉(zhuǎn)化思想D.從一般到特殊思想

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理同位角相等，兩直線平行'’得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行''分析判斷是數(shù)學

思想中的轉(zhuǎn)化思想即可得解.

【詳解】解：在學習“平行線的判定”一節(jié)內(nèi)容時，我們先得到“同位角相等，兩直線平行“，然后利用“同位

角相等，兩直線平行''得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行“，在這一過程中，滲透的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化思想，

故選：C.

【點睛】此題考查了數(shù)學常識，遇到一個新問題時，常常把它轉(zhuǎn)化為已知的（或已解決的）問題，這是數(shù)

學思想中的轉(zhuǎn)化思想.

6.（2022春?河南開封?七年級校聯(lián)考期中）繪圖員畫圖時經(jīng)常使用丁字尺，丁字尺分尺頭、尺身兩部分，

尺頭的里邊和尺身的上邊應(yīng)平直，并且一般互相垂直，也有把尺頭和尺身用螺栓連接起來，可以轉(zhuǎn)動尺頭，

使它和尺身成一定的角度.用丁字尺畫平行線的方法如下面的三個圖所示.畫直線時要按住尺身，推移丁

字尺時必須使尺頭靠緊圖畫板的邊框.請你說明：利用丁字尺畫平行線的理論依據(jù)是什么？

C.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行D.兩直線平行，同位角相等

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的判定條件即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知：畫直線時要按住尺身，推移丁字尺時必須使尺頭靠緊圖畫板的邊框

由此可見畫直線時，是保持著一定的角度進行的即根據(jù)同位角相等，兩直線平行來畫平行直線的，故選A.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定條件，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的判定條件.

7.（2023春?遼寧大連?七年級校考階段練習）直線0、6、c在同一平面內(nèi)，下面的四個結(jié)論：

①如果a||b,aPc,那么6Pc；②如果a_L6,b±c,那么"Pc；

③如果”||6,blc,那么a_Lc；④如果a與6相交，6與c相交，那么a與c相交.

正確的結(jié)論為（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)定理一一判斷即可.

【詳解】解：①如果。I",。Pc,那么6Pc,故①正確；

②如果blc,那么aPc,故②正確；

③如果a||b,b±c,那么a_Lc,故③正確；

④如果。與6相交，6與c相交，那么a與c相交或平行，故④錯誤.故選A.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于同一直線的兩條直線平行，平行于同一

直線的兩條直線平行.

8.（2023春?廣西?七年級廣西大學附屬中學?？计谥校┫铝忻}是真命題的是（）

A.相等的角是對頂角B.垂直于同一直線的兩條直線平行

C.同角的余角互補D.經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】D

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)、平行線的判定、余角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)分別進行判斷即可.

【詳解】解：A.相等的角不一定是對頂角，故選項錯誤，不符合題意；

B.在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，故選項錯誤，不符合題意；

C.同角的余角相等，故選項錯誤，不符合題意；

D.經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，故選項正確，符合題意.故選：D.

【點睛】此題考查了對頂角的定義、平行線的判定、余角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.（2023春?吉林?七年級校聯(lián)考期中）某賓館在重新裝修后，準備在大廳主樓梯上鋪設(shè)某種紅色地毯，已

知這種地毯每平方米的售價為30元，主樓梯寬3米，其側(cè)面如圖所示，則購買地毯至少需要元.

2.6m_____

y----------5.8m----------a

【答案】756

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，先把樓梯的橫豎向上向右平移，構(gòu)成一個長方形，再求得其面積，即可求

出購買地毯的錢數(shù).

【詳解】解：利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向右平移構(gòu)成一個長方形，根據(jù)題意這個長方形的長與寬

分別為5.8米，2.6米，.?.地毯的長度為：5.82.68.4（米），地毯的面積為：8.4x325.2（平方米），

故買地毯至少需要：25.2x30756（元）.故答案為：756.

【點睛】本題主要考查了生活中的平移現(xiàn)象，利用平移的性質(zhì)，把所要求的的所有線段平移到一條直線上

進行計算是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題

10.（2023春?山東臨沂?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AC//DB,PB交BD于點B,交4c于點E,PA交AD于

點A.

,p

AE

D

B

(1)畫圖：過點2作交/C于點M；(2)求證：NPBD-NPAC=NP.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)畫平行線的方法畫圖即可;

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)先證明，ZP=Z4,Zl=Z3,再有NP=/4=NPSD-N3進行證明即可.

【詳解】(1)如圖所示，即為所求;

(2)證明：如圖，?.?/C〃3D,；./2=/3.

AP//BM,/I=/2,ZP=Z4,.-.Zl=Z3,

ZP=Z4=ZPBD-Z3=ZPBD-Zl=NPBD-/PAC,/.NPBD-APAC=NP.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，畫平行線，熟知老兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.

11.(2023春?北京朝陽?七年級北京八十中?？计谥?如圖所示，直線/尸，8。相交于點C,過點C作射線

(1)若N/CE=50。，求NDCE的度數(shù);(2)連接48,若NB=NACB,求證：AB//CE.

【答案】(1)〃8=65。(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)平角的定義得出NECF=130。，根據(jù)角平分線的定義得出〃CT=65。；（2）根據(jù)對頂角相

等得出N/CB=NDCF=65°,根據(jù)已知條件得出N3=65。，然后得出入B=NECD,即可得證

【詳解】（1）解：=50°,//CE+NECF=180°,=130°,

???CD平分ZECF,.-.ZDCF=65°；

（2）證明：vZACB=ZDCF=65°,NB=ZACB,ZB=65°,

???CD平分ZECF,：.ZDCE=NDCF=65°,

NB=ZECD,AB//CE.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，對頂角相等，平行線的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.（2022春?河南許昌?七年級統(tǒng)考期末）（1）在學習“平行線的判定”時，課本首先通過以下的“思考”欄目，

已知：如圖1,直線AB和直線8被直線即所截，且/1+/2=180。.

求證：AB//CD.證明：

枕木

圖2

（3）平行線的判定在實際生活中有許多應(yīng)用：在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的.如圖2,N2是

直角，那么，都可以通過度量圖中已標出的哪個角，來判斷兩條直軌是否平行？為什么？

【答案】（1）同位角相等，兩直線平行；（2）證明見解析；（3）可測量43是否為90。；理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定即可求解；（2）根據(jù)鄰補角的定義，以及同角的補角相等可得/2=/3,

根據(jù)同位角相等兩直線平行即可得證；（3）根據(jù)平行線的判定可測量23,24,25是否為直角，即可判定兩直

線平行.

【詳解】（1）同位角相等，兩直線平行.

（2）?,?Zl+Z3=180°（鄰補角定義），Nl+N2=180。（已知）

.-.Z2=Z3（同角的補角相等）

-.AB//CD（同位角相等，兩直線平行）

（3）可測量43是否為90。，若等于90。，根據(jù)同旁內(nèi)角互補可判定兩直線平行;

可測量44是否為90。，若等于90。，根據(jù)同位角相等可判定兩直線平行；

可測量N5是否為90。，若等于90。，根據(jù)內(nèi)錯角相等可判定兩直線平行.

【點睛】本題考查了平行線的判定，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

能力提升練|

一、選擇題

1.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考一模）如圖，小明騎自行車自/處沿正北方向前進，到達8處后，右拐20。繼續(xù)行

駛，若行駛到C處后，小明想按正東方向行駛，則他在C處應(yīng)該（）

右拐20。C.右拐70。D.左拐160。

【答案】C

【分析】過點3作于點8,過點C作C尸〃BG,如圖，先求得22=90。-/1=70。，再根據(jù)平行

線的性質(zhì)得到N2=/3=70。.于是可判斷他想仍按正東方向行駛，那么他向右拐70。.

【詳解】過點2作于點瓦過點C作C尸〃BG,并標記角，如圖所示.

Z1=20°,.-.02=70°.CF//BG,r.N3=N2=70°.

二若小明想按正東方向行駛，則他在C處應(yīng)該右拐70。，故選C.

【點睛】本題考查了方位角、垂直的性質(zhì)和平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是作出適當?shù)妮o助線，找出要求的角與未知

角的關(guān)系.

2.（2022春?江西撫州?七年級統(tǒng)考期末）中國滑雪天才少女谷愛凌在2022年北京冬奧會的賽場上斬獲“自由

式滑雪大跳臺”首金，這是她獲得的首個冬奧會獎牌，也是中國運動員第一次參加冬奧會大跳臺的比賽.項

目圖標如下圖；則在下列判斷中①Z.1與乙2是對頂角；②z3與44是同旁內(nèi)角；③45與n6是同旁內(nèi)角；

④N1與44是內(nèi)錯角，其中正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用對頂角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：N1與42有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線，因此是對頂角，故①正確；

兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，叫做同旁內(nèi)角，因此N3與44是同旁內(nèi)

角，故②正確；N5與N6是鄰補角，不是同旁內(nèi)角，故③錯誤；

兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的

一對角叫作內(nèi)錯角，因此N1與N4是內(nèi)錯角，故④正確；綜上，正確的有①②④.故選C.

【點睛】本題考查對頂角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角的判斷，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?浙江?七年級期末）如圖，在科學《光的反射》活動課中，小麥同學將支架平面鏡放置在水平

桌面上，鏡面N8的調(diào)節(jié)角（N4BM）的調(diào)節(jié)范圍為12。?69。，激光筆發(fā)出的光束。G射到平面鏡上，若

激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角NEPG=30。，則反射光束G”與天花板所形成的角（NP〃G）不可能

取到的度數(shù)為（）

A.129°B.72°C,51°D.18°

【答案】C

【分析】分當12。4460。時，如圖1所示，當60°</48河469°時，如圖2所示，兩種情況，利用

平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：當12。WN4sM460。時，如圖1所示，過點G作G0〃〃N,

■.■MN//EF,MN//GQ,.-.MN//EF//GQ,

:./JPGQ=AEPG=3Q°,乙BGQ=UBM,

：./-PGB=Z.PGQ+^BGQ=3Q°+/-ABM,

由反射定理可知，UGH=4PGB=30HUBM,

:/PGH=180°-"GH乜PGB=l20°-2乙IBM,

：/HGQ=4PGH+乙PGQ=150°-2UBM,

.-.APHG=1S00-AHGQ=30°+2AABM,：.54°<ZPHG<150°

當60。<//BN469。時，如圖2所示，過點G作G。〃跖V,

同理可得"G0=^PG=3O。，4BGQ=UBM,乙PHG=UiGQ,

:.UGP=KHGB=AHGQ+乙QGB=LPHG+UBM,

；/PGH=T80°-UGP-^HGB=180°-2ApHG-2UBM,

:.乙HGP=dGQYPGH=24PHG+2UBM-T50。,

：.APHG=150°-22LABM,.-.12°<ZPHG<30°,

綜上所述，54。V/尸從7V150?；?2?！?Q次7<30。，故選C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線和利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.（2023春?福建龍巖?七年級統(tǒng)考期中）如圖，CD,點。在與CD之間，ZAOC=75°,

ZC=28°,貝14=°,

【答案】47

【分析】過點。作OE〃/8,可得CD〃OE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NC=NCOE,即可求出//OE,再

根據(jù)0E〃4s得出N/=N40E,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作OE〃4B,?.?O￡〃43,AB//CD,.-.CD//OE,

???/C=28°,.??/??￡1=28°,???//0C=75°,.,?N/OE=75°-28°=47°,

-.-OE//AB,.-.^=47°,故答案為：47.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行于同一直線的兩直線互相平行；兩

直線平行，內(nèi)錯角相等.

5.（2022春?六年級單元測試）如圖，把一張長方形紙片/BCD沿E尸折疊后，。、C分別在M、N的位置上,

EM與BC的交點、為G,若NEFG=65。,貝|/2=

【答案】130

【分析】根據(jù)20〃BC,可得/3=/￡FG=65。，根據(jù)翻折的性質(zhì)：Z3=ZGEF,即

/1=180。-2/3=180。-2、65。=50。，再根據(jù)BC,可得N2=180°-/1=180°-50°=130°.

,??長方形紙片48。。的邊BC,■?.Z3=Z￡FG=65°,

根據(jù)翻折的性質(zhì)：Z3=ZGEF,KPZl=180°-2Z3=180°-2x65°=50°,

X-AD/fBC,AZ2=180°-ZI=180°-50°=130°.故答案為：130°.

【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

6.（2023春?江蘇?七年級期末）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道/氏CD上放置尸，0兩盞激光燈.其中

光線必按順時針方向以每秒5°的速度旋轉(zhuǎn)至邊尸/（便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線QC按順時針方向

以每秒3。的速度旋轉(zhuǎn)至邊0。就停止旋轉(zhuǎn)，此時光線尸3也停止旋轉(zhuǎn).若光線QC先轉(zhuǎn)4秒，光線尸3才開始

轉(zhuǎn)動，當尸5〃QC時，光線PB旋轉(zhuǎn)的時間為秒.

11--------

【答案】6或43.5

【分析】依據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，列出關(guān)于時間f的關(guān)系式可求.

【詳解】解：當PBJ/QJ則乙=如下圖:

■.■AB//CD,NPBQ=NBPB....NCQC=NBPB.

1111

設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時間為/秒，.i4x3+3/=5/."=6.

當PBJ/QC、,則NC0q=NPqC,如下圖：

AB//CD,NPBQ=NBPB....NBPB=ZCQC.

1111

設(shè)光線尸8旋轉(zhuǎn)時間為/秒，此時光線尸5由尸4處返回，

/APB=5儼一180°/BPB=180°-AAPB=180。—（5產(chǎn)-180°）=360°-5產(chǎn)

111

.?.360-5f=4x3+3/..1=43.5.綜上，光線尸2旋轉(zhuǎn)的時間為6或43.5秒.故答案為：6或43.5.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確計算相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

7.（2023春?吉林?七年級校聯(lián)考期中）如圖，AEDA=a,ZABC=P（P>a）,解答下列問題.

（1）如圖①，當a=60。，P=100。時，過點2在FD、8。的內(nèi)部作AF||OE則43C=度；

（2）如圖②，點G在3C上，過點G作"NIIDE.①當a=60。，0=100。時，求/NGC的度數(shù)；②用含有

a和P的式子表示/MG8；③當a=70。，0=100。時，過點G作GHL3C,直接寫出N/7GM的度數(shù).

【答案】（1）40°（2）?40°②a-0③/MW=120?；?"GM=60°

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)果；（2）①過點2作8尸根據(jù)平行公理得到

MN\\DE\\BF,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)果；②過點8作8尸||根據(jù)平行公理得到

MN\\DE\\BF,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)果；③過點8作8尸11?！?根據(jù)平行公理得到

再根據(jù)兩直線平行，同位角相等分兩種情況分別解題即可.

【詳解】（1）解：-.-BFWDE,.-.ZADE=ZABF=6Q°,

又???//8C=100°,ZFBC-ZABC-ZABF=100°-60°-40°,故答案為：40°.

（2）①如圖，過點5作8尸II??./ADE=/AB尸=60。，

又???NABC=100°,;.ZFBC=ZABC-ZABF=100°-60°=40°,

■；MN\\DE,BF\\DE,.-.MN\\BF,NNGC=NFBC=40°,

②如上圖，過點8作AFIIDE,.?./4DE=/4RF=a,

又?；NABC=P,...NFBC=NABC-ZABF=a-p,

■.■MN\\DE,BF\\DE,.-.MN\\BF,：.ANGC=AFBC=,

③如圖，過點8作9.?.//?！?乙48尸=70。，

又???/4BC=100。,ZFBC-ZABC-ZABF=100°-70°-30°,

■.■MN\\DE,BF\\DE,.-.MN\\BF,ZNGC=ZFBC=30°,

???_LBC時，ZHGB=90°,

若點，在8C的上方時，ZHGM=ZHGB+ZNGC=90°+30°=120°,

若點〃在BC的下方時，ZHGM=NHGB-ZNGC=90。一30。=60°,

綜上所述，/〃6河=120?；?次弘/=60。.

【點睛】本題考查平行公理，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，作輔助線轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵.

8.(2023春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期中)已知直線48〃CD,點尸在直線CD之間，連接4P,CP.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若/4PC=120。，/尸48=130。，直接寫出NPCD的大??；

(2)如圖2,點。在AB,CD之間，ZQAP=2NQAB,NQCP=2N0CD,試探究//尸。和乙4。。的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；(3)如圖3,/尸43的角平分線交CD于點且//〃尸C,點N在直線/民CD之間，連接

CN,MN,ZPCN=nZNCD,ZAMN=-ZNMD,n>\,直接寫出—的值(用含〃的式子表示，題中的

nNP

角均指大于0°且小于180。的角).

YI—1

［答案】(1)110°(2)^APC=3600-3ZAQC；⑶。

〃+1

【分析】(1)過點P作尸?！?2,則尸0〃/2〃8,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(2)過點尸作W〃/8,過點。作。N〃48,則PM〃/B〃CD,QN//AB//CD,結(jié)合

ZQAP=2ZQAB,ZQCP=2NQCD,即可得到結(jié)論；

(3)過點P作尸,則尸￡〃/8〃C￡>,可得乙4尸。=360。-(/尸/8+/尸。)，過點N作N尸〃

可得」8/P=180°-N/A/F,BAP=360°-2,ZAMF,結(jié)合NPCN=n/NCD,ZAMN=-ZNMD,n>\,

2n

fi—1

可得/MNC=--ZAMF,進而可得結(jié)論.

n+\

【詳解】(1)解：過點尸作尸?！?3,則尸?！?2〃8,

圖1

-.?ZPAB=130°,;.N4PQ=180°-130°=50°,

ZAPC=120°,.?.ZCP2=120o-50o=70°,ZPCZ)=180°-70°=110°；

(2)解：過點尸作尸河〃A8,過點。作。N〃/8,則尸M〃4B〃C。，QN//AB//CD,

圖2

ZPAB+ZAPM=180°,ZPCD+ZCPM=180°,

ZPAB+ZPCD+ZAPC=360°,即ZAPC=360°-(NPAB+ZPCD),同理：ZAQC^ZBAQ+ZDCQ,

ZQAP=2ZQAB,NQCP=2NQCD,；.NBAQ=gNPAB,ZDCQ^^ZPCD,

ZAPC=360°-(ZPAB+ZPCD)=360°-3(ZBAQ+ZDCQ)=360°-3ZAQCNAPC=360°-3ZAQC；

(3)解：過點尸作PE〃/8,則PE〃/B〃CD,

圖3

-：PE//AB,：.AAPE+APAB=\^°,即N/PE=180°-NP/B,

-：PE//CD,:./CPE=180°-/PCD,ZAPC=360°-(ZPAB+ZPCD)

過點N作JVF〃/M,---AM//PC,：.NF//PC,ZCNF=ZPCN,

NF//AM,ZFNM=ZAMN,AB//CD,NBAM=ZAMC,

NM平分ZBAP,■-NBAM=-BAP,

?；NAMC=180°-AAMF,：.；BAP=180°-NAMF,

■.■ZAMN=-ZNMD,ZAMN+ZNMD=ZAMF

n

ZAMN=-ZAMF,AFNM=ZAMN=-ZAMF,

n+1n+1

???ZPCN=n/NCD,ZPCN+/NCD=/PCD,

nri

,ZPCN=——/PCD,??./CNF=ZPCN=——/PCD,

n+1n+\

ZMNC=NCNF-ZFNM,.-.ZMNC=ZCNF-ZFNM=Jl—ZPCD-—―ZAMF,

n+\n+1

--BAP=180°-ZAMF,BAP=360。一2/AMF,

2

.?.ZAPC=360°-(/PAB+ZPCD)=360°-(360°-2ZAMF+ZPCD)=2ZAMF-/PCD,

???AM//PC,??.ZPCD=ZAMF,??.NAPC==2ZAMF-ZAMF=ZAMF,

n1n1n—1

??.ZMNC=——ZPCD-----ZAMF=——ZAMF--------ZAMF=——ZAMF,

n+1H+1〃+ln+ln+1

n-\,,“e

/w------ZAMF1

/MNC幾+]〃—1.

NAPCZAMFn+1

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加輔助線，理清各個相關(guān)角的關(guān)系是關(guān)鍵.

0拓展練

t.oJ

一、選擇題

1.12023?河北衡水?統(tǒng)考二模)在作業(yè)紙上，AB〃EF,點、C在AB,E尸之間，要得知兩相交直線,CD

所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量.兩同學提供了如下間接測量方案(如相

圖2),對于方案/、〃，說法正確的是

方案II

方窠1ABAB

-D

FEFE

①分別測量和N￡；①延長。。交Ek于點M：

②計算出NOCE-/E的大小即可.②測量/CME的大小即可.

k_____________________________________________________________)

圖1圖2

A./可行，〃不可行B./不可行，〃可行C./、〃都可行D./、〃都不可行

【答案】C

【分析】如圖，延卡交AB于0,過C作CM〃/8,而月B〃EF,AB//CM//EF,再利用平行線的

性質(zhì)可得答案，如圖，延長交于。，利用平行線的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：如圖，延長CD交48于0,過C作CM〃48,而4B〃EF,

：.AB//CM//EF,

方案INBQ

NAQC=NQCM,NE=NMCE,

NAQC=ZQCM=ZDCE-ZMCE=NDCE-NE,.j可行,

如圖，延長CD交48于O,

?；AB〃EF,；.N4QC=NCME,可行,故選C

【點睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題

的關(guān)鍵.

2.（2023春?江蘇?七年級期末）如圖，已知42〃CD,ABEH=ZCFG,EI、FK分別為NAEH、NCFG的角

平分線，F(xiàn)K1FJ,則下列說法正確的有（）個.

@EH//GF；@ZCFK=ZH；③E/平分NGF￡）；④NAEI+NGFK=90°

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】如圖，延長交。于“，由/2IICD,可得NBEH=NEMC,由NBEH=NCFG,可得

ZEMC=ZCFG,EH//GF,進而可判斷①的正誤；由E/、FK分別為NAEH、NCFG的角平分線，則

NAEI=NHEI=LzAEH,NCFK=NGFK=、NCFG,如圖，過/作7P〃/3,則"〃CD,有

22

NEIP=NAEI=LNAEH,NPIF=NCFK=NGFK=、NCFG,根據(jù)

22

ZEIP=180。-ZHEI-ZBEH=180°-1ZAEH-ABEH,可得

AEIF=AEIP+APIF=180°-1ZAEH-ABEH+1ZCFG=90°,ZAEI+ZGFK=ZEIF=90°,進而可

判斷④的正誤；由用_LE/,可知/KE7=90。，ZGFK+AGFJ=90°,由/CFK+/KFJ+/DFJ=180°,

可得/DFJ=180°-NCFK-/KFJ=90°-NCFK=NGFJ,進而可判斷③的正誤；由EH〃GF,可知

NH=NG,由于GH與FK的位置關(guān)系不確定，可知NGrK與NG的大小關(guān)系不確定，則NCFK=NH不一

定成立，進而可判斷②的正誤，進而可得答案.

【詳解】解：如圖，延長交CD于

-：AB||CD,；.NBEH=/EMC,

■：NBEH=NCFG，:"EMC=ZCFG,

.?.EH〃GF,.?.①正確，故符合要求；

EI、FK分別為ZAEH、ZCFG的角平分線，

...NAEI=ZHEI=-ZAEH,ZCFK=ZGFK=-ZCFG,

22

如圖，過/作/P〃/8,.?./P〃cr),

...ZE/P=AAEI=-NAEH,APIF=ZCFK=ZGFK=-ZCFG,

22

vZEIP=180。-ZHEI-NBEH=180°--NAEH-ZBEH,

2

ZEIF=ZEIP+ZPIF=180°-LZAEH-ZBEH+-ZCFG

22

=180?！筞AEH-ZBEH+-ZBEH=180°--(ZAEH+ZBEH)=90°

222

ZAEI+ZGFK=AEIP+AP1F=AEIF=90°,二④正確，故符合要求；

-FK±FJ,.-.ZKFJ=90°,ZGFK+ZGFJ=90°,

vZCFK+ZKFJ+NDFJ=180°,

NDFJ=180°-ZCFK-NKFJ=90°-ZCFK=90°-ZGFK=ZGFJ,

.?.Q平分/GED,.?.③正確，故符合要求；

■.■EH//GF,.-.AH=AG,???GH■與EK的位置關(guān)系不確定，

???ZGFK與ZG的大小關(guān)系不確定，??.NCFK=ZH不一定成立，

二②錯誤，故不符合要求；.??正確的共有3個，故選B.

【點睛】本題考查了兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同位角相等，兩直線平行；角平分線，兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補等知識.解題的關(guān)鍵在于對平行線的判定與性質(zhì)的熟練掌握與靈活運用.

二、填空題

3.（2023春?山東濱州?七年級統(tǒng)考期中）如圖是某小區(qū)大門的道閘欄桿示意圖，立柱8/垂直于地面NE于

點4當欄桿達到最高高度時，橫欄CD〃NE,此時N/8C+NBCO='

圖1圖2

【答案】270

【分析】過點8作5尸〃/E，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N8CD+/C8尸=180。，根據(jù)氏4，AE得出

ZBAE=90°,則乙1HF=9O。，最后根據(jù)乙48C+/8CD=/8。+/。8尸+43尸即可求解.

【詳解】解：過點2作8尸〃/E,

■：CD//AE,：.BF//AE//CD,ZBCD+ZCBF=1SO°,

■.■BA1AE,.-.ZBAE=90°,.-.ZABF=9Q°,

ZABC+ZBCD=ZBCD+ZCBF+ZABF=180°+90°=270°.故答案為：270.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握：平行于同一直線的兩直線互相平行;

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

4.（2023春?湖北恩施?七年級統(tǒng)考期中）如圖，若NBAP=9Q°-a,ZAPD=90°+a,且/B4E=/CPF,

ZE=-a+20°/尸=2(1-10°則&=

2

【答案】20。/20度

【分析】過點E作小〃N8,這氤F作FN〃CD,則48〃〃E〃-V〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合

/BAE=NCPF可證NAEM=NNFP,再根據(jù)ME?〃司V推出/兒名尸=/NFE,即可列式求解.

【詳解】解：如圖，過點E作〃石〃這裊F作FN〃CD,

D

?;NBAP=90°-a,/APD=90°+a,ZBAP+ZAPD=180°,

CD//AB,AB//ME//FN//CD.

AB//ME,FN//CD,ZBAE=ZAEM,ANFP=ZCPF,

ZBAE=ZCPF,ZAEM=NNFP,NE=；a+20°,N尸=2a-10°,

NMEF=NE-NAME=La+20。-NAME,ZNFE=ZF-ZNFP=2a-100-ZNFE,

2

ME//FN,:.NMEF=NNFE,：.-a+20°-ZAME=2a-100-ZNFE,

2

?;ZAEM=NNFP，...la+20°=2a-10°,解得a=20。，故答案為：20。.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?陜西西安?七年級西安市第八十三中學校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個由齒輪、軸承、托架

等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸.如圖2所示的是手動變速箱托架工作時某一時刻

的示意圖，已知48〃CD,CG//EF,/A4G=150。，NDEF=13Q°,則N4GC的度數(shù)是.

圖1圖2

【答案】80。/80度

【分析】過點尸作FM〃CD,因為AB〃CD,所以AB〃CD〃FM,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出

AMFA,ZEFM,進而可求出再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得N/GC.

【詳解】解：如圖，過點尸作

cED

長---M

AB

AB//CD,AB//CD//FM,：.ZDEF+ZEFM=180°,NMFA+NBAG=180°,

ZBAG=150°,ZDEF=130。，：.NMFA=30°,ZEFM=50°,

ZEFA=NEFM+ZAFM=80°,

?■CG//EF,ZAGC=ZEFA=80°.故答案為80。.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進行角的轉(zhuǎn)化和計算.

6.(2023春?浙江溫州?七年級期中)如圖，AB//CD,作如圖所示的折線3-M-E-N-C,

ZABF-.ZFBM=3:2,ZDCG:ZNCG=3:2,反向延長CG交3尸于點尸，已知NM+NN=18G,

/E+/F=88°,則NE=°,

AB

【答案】55

【分析】分別過點么E、N、尸作線段，使得以〃EP〃N?！ㄊ琄〃N5〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出

ZABM-ZNCD=MEN,ZBFG=ZABF-ZDCG,進而得至U9G=1NMEN,即可求出NE的度數(shù).

【詳解】解：分別過點河、E、N、歹作線段，使得〃用〃N0〃方K〃45〃C。，

ABM+/BMH=180。，AHME=ZMEP,/PEN=/ENQ,ZQNC=ANCD,

?/ZBME+ZENC=180°,/.ZBMH+AHME+ZENQ+ZQNC=180°,

(18U-ZABM)+/MEP+/PEN+/NCD=18U-/ABM+/MEN+/NCD=18(T,

ZABM-ZNCD=/MEN,

?/AB//FK//CD,...ZABF=ZBFK,ZDCG=NGFK,

ZBFG=Z.BFK-ZGFK=NABF-ZDCG,

aa

?/AABF:ZFBM=3:2,ZDCG:ZNCG=3:2,:.ZABF=-ZABM,ZDCG=-NCD,

55

/.ZBFG=-ZABM--ZNCD=-(AABM-ZNCD)=-ZMEN,

5555

_3

一:/MEN+ZBFG=88°,ZMEN+-AMEN=88°,

AMEN=55°,即NE=55。,故答案為：55.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，巧妙利用多條平行線找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

三、解答題

8.(2023春?浙江?七年級專題練習)如圖，一副三角板，其中

(1)若這副三角板如圖擺放，EF//CD,求/4B尸的度數(shù).

(2)將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH〃MN,保持三角板/3C不動，現(xiàn)將三角板。所繞點。以每秒

2。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，秒，且0M/M180,若邊3c與三角板的一條直角邊(邊

DE,DF)平行時，求所有滿足條件的，的值.

(3)將一副三角板如圖3所示擺放，直線GH〃MN,現(xiàn)將三角板繞點A以每秒1。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，

同時三角板。所繞點。以每秒2。的速度順時針旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)時何為/秒，如圖4,

ZBAH=t°,AFDM=2t°,且0W/W150,若邊3C與三角板的一條直角邊(邊。E,DF)平行時，請直接

寫出滿足條件的f的值.

【答案】(1)75°(2)15或60或105或150(3)30或120

【分析】（1）由題意得，NEBF=90°,NE=45。,乙42c=60。，利用平行線的性質(zhì)可得

ZCDE=ZE=45°,即可求得答案；（2）①當?！辍?c時，延長ZC交于點尸，分兩種情況：當DE

在上方時或當DE在下方時，分別運用平行線的性質(zhì)即可求解；②當8C〃DF時，延長BC交MN

于點T,分兩種情況：當。尸在上方時或當。尸在下方時，分別運用平行線的性質(zhì)即可求解；

（3）①當DE〃8c時，延長/C交MN于點p,分兩種情況討論：當DE在上方時或當在下

方時，分別運用平行線的性質(zhì)求解即可；②當3C〃。/時，延長/C交九W于點/,分兩種情況討論：當DF

在上方或。尸在下方時，分別運用平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，由題意得，NEBF=90。，ZE=45°,ZABC=60°,

QEFPCD,ZCDE=NE=45°,

NABE=ZABC-ZCDE=60。-45。=15°,

:.ZABF=ZEBF-ZABE=90°-15°=75°；

AP//DF,ZFDM=AMPA,-：MN//GH,:.NMPA=NHAC,

ZFDM=ZHAC,即2尸=30。，.-.^15；

當DE在MV下方時，ZF'DP=2t°-1SO°,

■：DE'//BC,DE'±DF',ACIBC,AP//DF',AF'DP=AMPA,

■：MN//GH,AMPA=AHAC,ZF'DP=ZHAC,即2『一l8(F=30°,.」=105；

②當BC〃。尸時，

當。廠在MN上方時，BC//DF,如圖，延長3C交于點T,

根據(jù)題意得：NFDN=180°-2儼，?；DF〃BC,:"FDN=4BTN,

GH//MN,ZBTN=ZABC=60°,:.ZFDN=6Q°,