第03講平行線的性質(zhì)

兩直線平行，同位角相等

平行線的性質(zhì)兩直線平行，內(nèi)錯角相等

平兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

行

線題設:已知事項

判斷一件事的語句

結論:由已知事項推出的事項

命題一

題潮口結論都正確的命題叫真命題，結論錯誤的命題叫假命題

經(jīng)過證明而得到的真命題叫做定理

@@@@

知識點1：平行線性質(zhì)

性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.

簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

幾何語言：,；a〃b,

/.Z1=Z5（兩直線平行，同位角相等）.

性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.

簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

幾何語言：：a〃b,

/.Z3=Z5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.

簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

幾何語言：：a〃b,

.?./3+/6=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

知識點2：命題

內(nèi)容

定義能判斷一件事情的語句，叫做命題.

命題由題設和結論兩部分組成，題設是已知的事項，結論是由已知

組成

事項推出來的事項

通常可以寫成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是題

表達形式

設，“那么”后接的部分是結論.

題設成立，結論也成立，這樣的命題叫做真命題.

分類

題設成立，結論不成立，這樣的命題叫做假命題.

A考點剖析

考點一：利用平行線性質(zhì)求角度

【典例1】如圖，AB//CD,ZCEF=85°,則/A的度數(shù)是（）

【答案】B

【解析】.NCEF=85。，

/.ZDEF=180°-ZCEF=180°-85°=95°,

AB//CD,

..ZA=ZDEF=95°,

故選：B.

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】AB±AC,

.?.Z5+Zl=90°,

Zl=50°,

ZB=90°-50°=40°,

ab,

.\Z2=ZB=4O°f

故選：B.

【變式1-2］如圖，ABCD,AD=CD,Zl=65°,則N2的度數(shù)是（）

【答案】A

【解析】:ABCD,

：.ZACD=ZA=65°.

'：AD=CD,

：.ZCAD=ZACD=65°,

：.Z2=180°-65°x2=50°.

故選：A.

【變式1-3］如圖，直線A3〃CD,ZA=70°,則NEFC等于（）

【答案】B

【解析】：至〃。。，

ZA+ZAFD=180°,

NA=70。，

?.ZAFD=\W0,

：.ZEFC=110°,

故選：B.

考點二：利用平行線性質(zhì)解決三角板問題

【典例2】已知直線相〃”，將一塊含30。角的直角三角板A8C按如圖方式放置（Z4BC=30。），其中A、B

兩點分別落在直線加，〃上，若/1=27。，則N2的度數(shù)為（）

A.27°B.30°C.45°D.57°

【答案】D

［解析】m〃n,

：.Z2=ZABC+Z1=30°+27°=57°,

故選：D.

【變式2-1】將一副直角三角板ABC和EOF如圖放置（其中NA=60。，Nb=45。），使點￡落在AC邊上,

且皿/BC,則-4EF的度數(shù)為（）

A.145°B.155°C.165°D.175°

【答案】C

【解析】VZA=60°,ZF=45°,

???ZACB=90°-60°=30°fZDEF=90°-45°=45°,

,:ED〃BC,

：.ZCED=ZACB=30°f

：.ZCEF=ZDEF-ZCED=45°-30°=15°,

AZA￡F=180°-ZCEF=165°,

故選：C.

【變式2-2】將等腰直角三角形和直角三角形ABC（其中NC=30）按如圖所示的方式擺放，點。在

【答案】B

【解析】?：AE//BC,

AZE4C=ZC=30°,

ZE4Z）=45°,

??.ZDAC=ZEAD-ZEAC=45°-30°=15°.

故選：B.

【變式2-3】已知?！ㄈ胍粔K含30。角的直角三角形如圖放置，Zl=15°,則N2的度數(shù)為（）

【答案】B

【解析】如圖，過尸作尸。〃。，則NAPQ=N1=15。，

NA=30。，

.??ZAPB=60°,

??.N5PQ=45。，

*/ab,

JPQb,

ZBP2=Z3=45°,

???/2=180。一/3=135。，

故選:B.

考點三：利用平行線性質(zhì)解決折疊問題

【典例3】如圖，將長方形ABCD沿G4折疊，使點C落在點。處，點。落在邊上的點E處,若ZAGE=32°,

則NGHC的度數(shù)為（）

Q

A.112°B.110°C.108°D.106°

【答案】D

【解析】ZAGE=32。，

ZDGE=180°-32°=148°,

由折疊可知NEGH=NDGH=-ZDGE=74°,

2

在長方形ABC。中，AD//BC,

ZGHC=180°-ZDGH=180°-74°=106°,

故選：D.

【變式3-1】如圖,把一張對邊互相平行的紙條,沿EF折疊，則以下結論:①ZCEF=NEFB；②AAEC4FD；

③NBGE=ND'FD；@ZBFD+ZCEG=180°；?ZEFD=ZEFD'.其中正確的結論有（）

A.①⑤B.②③④C.①②③⑤D.①②③④⑤

【答案】D

【解析】VAC//BD',:.NEFB=NC'EF,:折疊，:.ZCEF=NCEF,

：.ZCEF=ZEFB,故①正確；

VAE//BG,：.ZAEC=ZBGC,

又EC〃FD,：.ZBGC=ZBFD,

:.NAEC=NBFD,故②正確；

EC//FD,：.ADFD=Z.FGC,

又2BGE=2FGC,：.ZBGE=ZD'FD,故③正確；

NBGE=ZD'FD,NBGE=ZFGC,

又AE〃BG,/.ZCEG=ZFGC,：.ZC'EG=ZD'FD,

'：NBFD+ZD'FD=180°,Z.BFD+ZC'EG=180。，故④正確；

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NEFD=NEED',故⑤正確，

故選：D.

【變式3-2】將一張長方形紙條按如圖所示折疊，若4=110。，則N2的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【解析】標記點，如圖所示,

R.

'EC\A二］B

CD

'：AB//CD,

：.ZACD+Z1=18O。，

又：Zl=110°,

ZACD=180。-N1=70°,

由折疊可得，ZACE=ZACD=10°,

：.Z2=180°-ZACE-ZACD=40°,

故選：C.

考點四：平行線性質(zhì)的實際應用

【典例4】如圖，某人騎自行車自A沿正東方向前進，第一次在B處拐彎，兩次拐彎后，仍沿正東方向行駛,

兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次右拐15。，第二次左拐165。

B.第一次右拐15。，第二次左拐15。

C.第一次左拐15。，第二次左拐165。

D.第一次右拐165。，第二次左拐165。

【答案】B

故第一次右拐15。，第二次左拐15。，

故選：B.

【變式4-1】如圖，某人騎自行車自A沿正東方向前進，至B處后，行駛方向改為南偏東75。，若行駛到C處

仍按正東方向行駛，則他在C處的實際拐彎方向為（）

A.左拐75。B.左拐15。C.右拐15。D.右拐75。

【答案】B

【解析】由題意得，過點C作CE〃形，如圖所示,

某人騎自行車自A沿正東方向前進，至8處后，行駛方向改為南偏東75。，

.?.Zl=90°-75°=15°.

QCE//AB,

.?.Z2=Z1=15°.

，若行駛到C處仍按正東方向行駛，則他在C處的實際拐彎方向為向左拐15。.

故選：B.

【變式4-2】如圖，C島在A島的北偏東60。方向，在8島的北偏西45。方向，貝=

【答案】105。

【解析】過點C作CD〃A￡.

CD//AE,BF//AE,

:.CD//BF.

CD//AE,

ZDCA=ZCAE=60°,

同理：ZDCB=ZCBF=45°.

ZACB=ZACD+ZBCD=105°,

故答案為：105。.

【變式4-3］如圖，/493的一邊。4是平面鏡，NAO3=40。，點C是03上一點，一束光線從點C射出，

經(jīng)過平面鏡。4上的點。反射后沿射線OE射出，已知NODC=NADE,要使反射光線OE〃OB,則NCDE

的度數(shù)是度.

【答案】100

【解析】vDE//OB,：.ZADE=ZAOB^40°,

又,/ZODC=ZADE,：.Z.ODC=ZADE=40°,

：.ZCDE=180°-ZADE-ZODC=100°,

故答案為：100.

考點五：利用平行線的判定與性質(zhì)的綜合

【典例5】如圖，在△ABC中，CE〃AB,F、G是A3、BC上的兩點，Zl+Z2=180°.

⑴求證：FGAC.

⑵若Nl=110。，CE平分/ACD,求—8的度數(shù).

【解析】(1),:CE〃AB,

：.Z2=ZA,

Zl+Z2=180°,

Zl+ZA=180°,

FGAC.

(2)VZ1+Z2=18O°,Zl=110°,

?270?,

CE平分ZACD,

Z2=NECD=70。,

CE〃AB,

：.NB=NECD=70°.

【變式5-1］如圖，已知N1=N2,/C=/D.

DEF

⑴求證：BD//CE；

(2)如果NZ)EC=n5。，求/C的度數(shù).

【解析】(1)???N1=N2,Z2=Z4,

/.Z1=Z4,

BD//CE.

(2)\9BD//CE,

:.ZABD=/C,

又???/C=/D,

：.ZABD=ZD,

：.AC//DF,

AZDEC+ZC=180°,

?.?ZDEC=115°,

：.NC=180。—115。=65。.

【變式5-2］如圖，已知△ABCNC=9(RNaWE+NE/W=180o,NAffiB=NRVB.

(1)判斷石尸和3c的位置關系，并說明理由；

(2)若EF平分ZMEB,ZFNB=54°,求ZAME和ZNFB的度數(shù).

【解析】(1)EFLBC,理由如下：

ZMEB=ZFNB,

:.ME〃FN,

.\ZMEF=ZEFNf

,/CME+ZEFN=180。,

NCME+ZMEF=180。,

:.AC//EF,

..“=90。，即AC_L3C,

:.EFIBC.

（2）QME//FN,

:.NMEB=NFNB=54。,

EF平分ZMEB,

ZMEF=NBEF=-AMEN=27°,

2

AC〃EF,

:.AAME=AMEF=Z1°,

QME//FN,

NEFN=NMEF=27°,

EF±BC,

:.ZEFB=90°,

ZBFN=NEFB-ZEFN=90°-27°=63°.

考點六：命題的判定

【典例6】下列語句中，是命題的有（）

①若兩個角相等，則它們是對頂角；②等腰三角形兩底角相等；③畫線段AB=lcm；④同角的余角相等;

⑤同位角相等.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【解析】①②④⑤符合命題的定義，而③不能寫出題設與結論出來，故不是命題，所以是命題的有4個,

故選C.

【變式6-1】下列語句是命題的是（）

A.在線段A3上取點CB.作直線的垂線

C.垂線段最短嗎？D.相等的角是對頂角

【答案】D

【解析】A、在線段上取點C不是命題，故A選項錯誤；

B、作直線的垂線不是命題，故B選項錯誤；

C、垂線段最短嗎？是疑問句，不是命題，故C選項錯誤；

D、相等的角是對頂角，是命題，故D選項正確.

故選：D.

【變式6-2］下列語句不是命題的是（）

A.兩條直線相交只有一個交點B.大于直角的角是鈍角

C.同旁內(nèi)角互補D.作—AC?的平分線

【答案】D

【解析】A、兩條直線相交有且只有一個交點，是命題，不符合題意；

B、大于直角的角是鈍角，是命題，不符合題意；

C、同旁內(nèi)角互補，是命題，不符合題意；

D、作-AO3的平分線，沒有對事情作出判斷，不是命題，符合題意.

故選：D.

考點七：真假命題的判斷

【典例7】下列命題中，是真命題的是（）

A.同角的余角互補B.同位角相等

C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等D.三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角

【答案】C

【解析】A.同角的余角相等，不符合題意；

B.同位角不一定相等，不符合題意；

C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等，符合題意；

D.三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角，不符合題意.

故選：C.

【變式7-1］下列命題;

①內(nèi)錯角相等；

②兩個銳角的和是鈍角；

③a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若。b,bPc,則aPc；

④。，b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a_L。，bLc,則aPc.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

②兩個銳角的和不一定是鈍角，錯誤，是假命題，不符合題意；

③a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若ab,bPc,則aPc,正確，是真命題，符合題意；

④a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a，。，bVc,則"Pc,正確，是真命題，符合題意.

真命題有2個，故選：B.

【變式7-2】下列命題中，是假命題的是（）

A.同位角相等，兩直線平行B.對頂角相等

C.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等D.兩點之間，線段最短

【答案】C

【解析】A、“同位角相等，兩直線平行”是真命題，故不符合題意;

B、“對頂角相等”是真命題，故不符合題意；

C、“兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等”是假命題，缺少平行條件，故符合題意；

D、“兩點之間，線段最短''是真命題，故不符合題意.

故選C.

考點八：命題的改寫

【典例8】把“同角的余角相等”改成“如果……，那么……”：.

【答案】如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.

【解析】“同角的余角相等”改寫成“如果……那么……”:如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等，

故答案為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.

【變式8-1】把“一個銳角的補角大于這個銳角的余角”寫成“如果……那么……”的形式.

【答案】如果一個角是銳角，那么這個銳角的補角大于它的余角

【解析】“一個銳角的補角大于這個銳角的余角”的條件是：一個角是銳角，結論是：這個銳角的補角大于

它的余角，

寫成“如果……那么……”的形式為：如果一個角是銳角，那么這個銳角的補角大于它的余角，

故答案為：如果一個角是銳角，那么這個銳角的補角大于它的余角.

【變式8-2］把命題“平行于同一直線的兩直線平行”改寫成“如果……，那么……”的形式：.

【答案】如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行

【解析】命題“平行于同一直線的兩直線平行”可以改寫為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直

線平行.

故答案為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行.

考點九：命題的證明過程

【典例9】如圖，點。在上，直線DG交AF于點E.請從①OG〃AC,②A尸平分③

=中任選兩個作為條件，余下一個作為結論，構造一個真命題，并求證.

C

已知：,求證：.（只須填寫序號）

證明：

【答案】①②，③，證明見解析.（答案不唯一）

【解析】已知①②，求證：③，

證明：：DG//AC,

：.NDEA=NEAC,

?/A尸平分/BAC,

，NDAE=NEAC,

：.ZDAE=ZDEA.

故答案為：①②；③.

【變式9-1】如圖所示，在①DE〃:BC；②Nl=/2；③/B=/C三個條件中，任選兩個作題設，另一個作

為結論，組成一個命題，并證明.

【解析】已知,DE〃:BC,Z1=Z2.

求證：ZB=ZC.

證明：VDE//BC,

.-.Z1=ZB,Z2=ZC.

又=

.\ZB=ZC.

【變式9-2】如圖，直線A3和直線CO,直線BE和直線CF都被直線BC所截.在下面三個條件中，請你選

擇其中兩個作為題設，剩下的一個作為結論，組成一個真命題并證明.①ABL3C,CDLBC%BE〃CF；

③N1=N2.

【解析】由①②得到③

已知：如圖，ABLBC,CDLBC,BE//CF.

求證：Z1=Z2.

證明：VAB1BC,CDLBC,

：.ZABC=NDCB,

又,：BE〃CF,

：.ZEBC=NFCB,

：.ZABC-ZEBC=ZDCB-ZFCB,

二Z1=Z2.

由①③得到②

已知：如圖，ABLBC,CDLBC,/1=/2.

求證：BE//CF.

證明：VABJ.BC,CDLBC,

，ZABC=NDCB,

又：N1=N2,

?.ZABC-Z1=ZDCB-Z2,

?.ZEBC=NFCB,

：.BE//CF.

，過關檢測

一、選擇題

1.如圖，直線。，6被直線c所截，S.a//b.若4=50。，貝|/2=()

C.50°D.55°

【答案】C

【解析】,：a//b,Nl=50。,

.??/3=Nl=50。，

Z2=Z3=50°,

故選C.

2.下列語句是命題的是()

A.在線段AB上取點CB.作直線的垂線

C.垂線段最短嗎？D.相等的角是對頂角

【答案】D

【解析】A、在線段上取點C不是命題，故A選項錯誤;

B、作直線AB的垂線不是命題，故B選項錯誤；

C、垂線段最短嗎？是疑問句，不是命題，故C選項錯誤；

D、相等的角是對頂角，是命題，故D選項正確.

故選：D.

3.下列圖形中，由AB〃CD能得到N1=N2的是（）

A.

C.

【答案】B

【解析】A.由AB〃CD可得Nl+N2=180。，故A選項錯誤;

???Nl=N3,

???/2=/3，

??.N1=N2.

故B選項正確;

C.由AB〃CD可得NR40=NADC,故C選項錯誤;

D.由AB〃CD不能得到，N1=N2,故D選項錯誤.

故選：B

4.如圖,點。在點A的正東方向上，點3在點A的北偏東62。方向上，點3在點。的北偏東34。方向上，則

C.34°D.38°

【答案】A

【解析】如圖所示,

???ZABC=ZABD-ZCBD=62°-34°=28°,

故選：A.

5.如圖，■是NBA。的角平分線，DF//AC,若NfiZ?=60。，則N1的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.45°

【答案】C

【解析】'：ZBDF=60°,DF//AC,

：.ZBDF=ZBAC=60°,Zl=ZFAC.

??,AF是/BAC的角平分線，

ZFAC=-ABAC=30°,

2

???Zl=ZFAC=30°,

故選：C.

6.下列命題，其中真命題有（）

①相等的兩個角是對頂角；

②同旁內(nèi)角互補；

③垂線段最短；

④過一點有且只有一條直線與這條直線平行；

⑤在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且。b,bPc,則aPc；

⑥在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且。b,6J_c,則a_Lc.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】①相等的兩個角是對頂角，是假命題；

②同旁內(nèi)角互補，是假命題；

③垂線段最短，是真命題；

④過一點有且只有一條直線與這條直線平行，是假命題；

⑤在同一平面內(nèi)，a,b,c是直線，且ab,bPc,則。尸c,是真命題;

⑥在同一平面內(nèi)，a,b,。是直線，且。b,blc,則a_Lc,是真命題.

所以真命題的③⑤⑥，共3個，

故選：C.

7.如圖，直線點3在直線。上,ABLBC,若4=42。，則N2的度數(shù)為（）

C.48°D.138°

【答案】C

【解析】如圖,

ABLBC,

ZABC=90°

：.Nl+N3=90°

,/Nl=42°,

Z3=90°-42°=48°,

'：a//b,

：.Z2=Z3=48°,

故選：C.

8.如圖，平行線間的三個圖形，下列說法正確的是（）

B.三角形的面積大

C.梯形的面積大D.三個圖形的面積相等

【答案】D

【解析】設該組平行線間的距離為加

平行四邊形的面積=5〃，

三角形的面積=1xlO/z=5〃,

2

梯形的面積=：x（3+7）/z=5/z,

???三個圖形的面積相等,

故選：D.

9.如圖，直角三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上.若Nl=68。，則N2的度數(shù)是（）

C.22°D.68°

【答案】C

??.N3=N1=68。，

Z2=90°-N3=90°-68°=22°.

故選C.

10.衛(wèi)星信號接收鍋、汽車燈等很多燈具都與拋物線有關，如圖，從點。照射到拋物線上的光線。4、OC

等反射以后沿著與A2平行的方向射出，已知NQ4B=25。，OA±OCf那么NOCD的度數(shù)是（）

C.115°D.135°

【答案】A

【解析】VAB//PQ,

：.ZAOP=ZBAO=25°f

,/OAYOC,

：.ZPOC=90°-25°=65°,

?.?OQ//CD,

，ZOCD=ZPOC=65°,

故選：A.

二、填空題

11.如圖，AD//BC,AC平分//MB,NB=70。，則NACB=度.

【答案】55

【解析］AD//BC,

:.ZDAB+ZB=180°,

QZB=70°,

r.NDAB=110°,

AC平分/"LB,

ADAC=-ZDAB=55°,

2

QAD//BC,

ZACB=ZDAC=55°,

故答案為：55.

12.已知兩個角的兩邊分別平行，其中一個角的度數(shù)是50°,則另一個角的度數(shù)是.

【答案】50°或130。

【解析】因為兩個角的兩邊互相平行，

所以這兩個角相等或互補，

若這兩個角相等，因為其中一個角為50°,所以另一個角的度數(shù)為50。；

若這兩個角互補，則另一個角的度數(shù)為180。-50。=130。.

故答案為：50?；?30。.

13.如圖，將一副三角板如圖疊放，NA=45。，NC=NEDF=90。,NE=60。，三點C、B、。在同一直線

上，若EF〃BC,則°.

【答案】15

【解析】VZA=45°,NC=NEDF=90。,N