第03講平面向量的數(shù)量積及其應用

目錄

01考情解碼?命題預警..........................................................2

02體系構建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅............................................................4

知能解碼...................................................................4

知識點1平面向量數(shù)量積的有關概念.......................................4

知識點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示...............................4

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律.........................................5

知識點4平面幾何中的向量方法...........................................5

題型破譯.......................................................................5

題型1平面向量數(shù)量積的定義.............................................5

6

題型3數(shù)量積的坐標表示.................................................7

題型4投影向量.........................................................8

題型5向量在幾何中的應用...............................................8

題型6向量在物理中的應用...............................................9

10

04真題溯源?考向感知...........................................................12

05課本典例高考素材...........................................................12

01

考情解碼-命題預警

考點要求考察形式2025年2024年2023年

1.理解平面向量數(shù)量

積的含義及其物理意

義.

2.了解平面向量的數(shù)

量積與投影向量的長

度的關系.

新課標I卷，第3題，5

3.掌握數(shù)量積的坐標全國二卷，第12新課標I卷，第3題，5分

表達式，會進行平面分

題，5分新課標n卷，第13題，5

向量數(shù)量積的運算.

回單選題新課標II卷，第3題，5

4.能運用數(shù)量積表示上海卷，第12題，分

□多選題分

兩個向量的夾角，會團填空題5分全國甲卷，第4題，5分

用數(shù)量積判斷兩個平□解答題全國甲卷，第9題，5分

天津卷，第14題，全國乙卷，第12題，5分

面向量的垂直關系.天津卷，第14題，5分

分天津卷，14題，5分

5.會用向量的方法解5

北京卷，第5題，4分

決某些簡單的平面幾

何問題.

6.會用向量方法解決

簡單的力學問題與其

他一些實際問題.

考情分析：平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單

獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn).交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結合考查，

而此時向量作為工具出現(xiàn).向量的應用是跨學科知識的一個交匯點，務必引起重視.

預測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結合的解答題也是熱點.

復習目標：

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

3.了解平面向量基本定理及其意義

4.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算

02

體系構建-思維可視

平

面

向

量

基

本

定

理

及

坐

標

表

示

用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題

平面幾何中的向量方法通過向量運算，研究幾何元素之間的關系

把運算結果"翻譯"成幾何關系

■03

核心突破-靶向攻堅

PU

知識點1平面向量數(shù)量積的有關概念

⑴向量的夾角：已知兩個非零向量a和上。是平面上的任意一點，作?=a,O^=b,則N

AOB=e(OKqi)叫做向量a與b的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量。與上它們的夾角為仇我們把數(shù)量_______叫做向量

a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab,即ab=.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0,

即0?=0.

⑶投影向量

如圖，在平面內(nèi)任取一點。，作。面=a,Ok=b,過點〃作直線ON的垂線,

垂足為Mi,則就是向量a在向量8上的投影向量.N

設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為0,則時i與e,a,。之間的關系為加

6e.

自主檢測|(多選)關于平面向量s％,下列說法不正確的是()

A.^a-b)-^+b)=a-bB.^+b)-c=a-c+b-c

rri'ri'i"

c.^ab=ac>且力6,則B="D.[a-b^-c=a-[b-c^

知識點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示

設向量a=(xi,yi),b=g"),。為向量a,的夾角.

⑴數(shù)量積：a-b=\a\\b\cos0=x\xi+y\y2.

⑵模：\u\—Nera=.

…+a八abxixi+yiyi

⑶夾角：儂。=麗二不系向

(4)兩非零向量的充要條件：ab=0=L

(5)|。力因a||Z)|(當且僅當a//b時等號成立)0由及+”丁2區(qū)7君+仁桃+比

自主檢測|(多選)若2=(2,-1),1=(3,1),則()

A.a-b=5B.R+B)J_僅-

C.￡與石的夾角為￡D.B在￡方向上的投影向量為正

4

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律

(l)ab=(交換律).

(2)/la仍=7(a仍)=0(助)(結合律).

(3)(a+b>c=a-c+b-c(分配律).

自主檢測|(多選)已知仄八不是三個向量,則下列結論中正確的是()

A.a-b=b-aB.d-(b+c}=d-b+d-c

C.(a,5)?c=a?(B?c)D.若4.匹=°.(?'則方=c

知識點4平面幾何中的向量方法

(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；

(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.

自主檢測|已知非零平面向量&、5、c,滿足同=4,忸-#2,若2與5的夾角為三，則區(qū)-石的最小值為

()

A.2道-2B.6C.26+2D.昱

2

題型1平面向量數(shù)量積的定義

例1/一蜂巢的精密結構由7個邊長均為2的正六邊形組成，擺放位置如圖所示，其中A,B,P為三個固

定頂點，貝I市.通=()

c.1672D.16石

例1-2已知向量15滿足（5-26）?（/+方）=3,且|。|=2,|方=1,則苕與5的夾角為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

方法技巧

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量。與5,我們把數(shù)量I菊151cos。叫做方與5的數(shù)量積（或內(nèi)積）,記作無即日

=|R|5|COS。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos6叫做向量。在3方向上的投影數(shù)量，當?為銳角時，它是正數(shù)；當〃為鈍角時，

它是負數(shù)；當。為直角時，它是0.

②a的幾何意義：數(shù)量積a-8等于a的長度|a|與人在“方向上射影||cos。的乘積.

【變式訓練1-1】已知向量同=2問=2,且向量2與向量石的夾角為,則（2。）.（35）=

方法技巧

平面向量數(shù)量積的兩種運算方法

(1)基底法：當已知向量的模和夾角0時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量

積的有關計算問題；

(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.

【變式訓練2-1】已知馬是兩個垂直的單位向量.若。=母-&石=2耳+弓，設向量扇5的夾角為。，則

cos8=()

A.—B.—C.@D.叵

102510

【變式訓練2-2?變考法】已知同第=|萬+.=2,則卜-方卜.

題型3數(shù)量積的坐標表示

例3-1|已知向量苕=(4,3),1=(-3,1),則①萬=.

忸叵可已知向量2=(1,2),B=(2,0),則向量￡在向量辦方向上的投影向量為.

例3-3|已知向量2=(3,-1),力=(2彳,-3),若￡,B的夾角為銳角，則2的取值范圍是.

方法技巧坐標法求平面向量的數(shù)量積

(1)方法依據(jù)：當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，

1111

即若。=(九］，X)，b=(x2,y2)>則=%龍2+X%；

(2)適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積。

【變式訓練3-1】已知向量Z=(l,3),向量分=(-2,1),則向量￡在向量￡+分上的投影向量的模為()

A@B.巫C.亞D.叵

517517

【變式訓練3-2】平面向量2,B滿足Z=(2,6),忖=8,2與辦的夾角為與，貝立在￡方向上的投影向量

為()

題型4投影向量

|例4-1I已知VABC的外接圓圓心為0,S.2AO=AB+AC，|OA|=|AC|,則向量通在向量配上的投影向量

為()

1—.3uw1―.3—>

A.-BCB.-BCC.——BCD.——BC

4444

例4-2|設向量?滿足同=6,忖=4且無5=-12,則向量1在向量石方向上的投影是—.

方法技巧

111I1

r

匕

Qa方

UULUIIuuunrrrbrb

設向量入片是向量。在向量卜上的投影向量，則有A4=|aIcos<a,b>=|?I-f*-+-

bbF

ag

則器u貼

TT

【變式訓練4-1】如圖'在VA3C中，C="皿BC于。，32,3c=6,則須在雪上的投影向

量為()

C.-ACD.-AC

52

【變式訓練4-2?變載體】已知。=(m—l,2),b=(l,m).

⑴若(花+可備,求機的值;

⑵若卜+閘=2且加<0,求方在5方向上的投影數(shù)量.

題型5向量在幾何中的應用

|例5-1|已知/054=；,煙=4,且則卜麗-羽+尤礪-;可(xeR)的最小值為()

3

A.2加B.2不C.3D.-

例5-21已知［員工是平面向量,工是單位向量，若非零向量Z與"的夾角為三，向量B滿足片.6加3+8=0,

貝中一目的最小值是().

A.1V3-1B.V3+1C.—A/3+1D.2—^/3

方法技巧用向量方法解決實際問題的步驟

【變式訓練5-1】已知平面向量通、就、而，網(wǎng)=|時=1,同+罔=1,△38的面積為25則|碼

的最小值為()

37

A.-B.2C.-D.4

22

I。r-irirrirriirri112rmT

［變式訓練5-2］已知忖=g,W=l,Q?/=(),k+《+=4,d-4Z?-tZ+3=0,則上H一d|的最大值為

【變式訓練5-3】在邊長為1的正方形ABC。中，點E為線段CD上靠近C的三等分點，BE=ABA+^BC,

則2+〃=,尸為線段BE上的動點，G為AF中點，則市?.麗的最小值為.

題型6向量在物理中的應用

阿亙共點力耳=(lg2,lg2),E=(lg51g2)作用在物體/上，產(chǎn)生位移?=(21g5,l),則共點力對物體做

的功為()

A.1g2B.1g5C.1D.2

例62如圖所示,支座A受%F?兩個力的作用，已知閔=18N,與水平線成。角，閭=8N,沿水平方

向，兩個力的合力F的大小|尸|=20N,貝!|cose=()

A.—B.—C.-D.—

4812224

【變式訓練6-1】如圖，一條河某一段的寬度為8km,一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行?已知船

的速度大小為5km/h,水流速度的大小為3km/h,當航程最短時，預計這艘船行駛到河對岸需要時間為—

h.

【變式訓練6-2】如圖所示，支座A受瓦方兩個力的作用，已知園=18N,與水平線成。角，|同=8N,

沿水平方向，兩個力的合力聲的大小同=20N,貝I]cos9=.

AF2D

題型7向量新定義

例7-1已知。=(%,,%),5=(%,%)，定義新運算a十5=(芯+9_1>(必+%_1),記，7?=

，滿足根十〃

10

「Vio

10

例7-2|）我們可以把平面向量坐標的概念推廣為“復向量”，即可將有序復數(shù)對3/2乂4/2eC）視為一個向

量，記作了=（4*2）.類比平面向量的線性運算可以定義復向量的線性運算；兩個復向量&=（Z”Z2）,

方=（Z3，ZJ的數(shù)量積記作法/,定義為&/=Z/3+Z2Z4；復向量"的模定義為|。|=而石.

⑴設&=（6,8）,/=（i-2,i）,求復向量a與3的模；

⑵已知對任意的實向量才與「，都有網(wǎng)，當且僅當才與「平行時取等號；

①求證：對任意實數(shù)。，b,c,d,不等式.+劃4+/.衣2+屋成立,并寫出此不等式的取等條件；

②求證：對任意兩個復向量育與￡,不等式上￡閆同網(wǎng)仍然成立；

(3)當卜必=固網(wǎng)時,稱復向量a與3平行.設戊=(1+7,2_7),￡=(i,z),zeC,若復向量.與囚平行,

求復數(shù)z的值.

【變式訓練7-1】定義：若不相等的兩個向量￡=(%,%),各=(彳2，%)滿足條件：M=W且%，%,%均

為整數(shù)，則稱向量￡,B互為“等模整向量”，則與向量￡=(1,0)互為“等模整向量”的向量個數(shù)有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式訓練7-2】如圖，在VABC中，ZABC=90°,AB=243,BC=2,AM=xAB(0<x<1),

AN=yAC(0<j<1),設CM與BN交于點尸，且存=2兩

-------------

⑴求2個-3y的值；

一同sin。

(2)定義平面非零向量之間的一種運算“十"：0十(其中。是兩非零向量4和B的夾角).

(i)若M為AB的中點，求而十斤的值；

(ii)若Q十配=3，求的值.

2

【變式訓練7-3】已知向量1=(%,%),彼=(無2，%)，且x?%h。，定義向量的新運算：萬十3=土一乂.

X?%

(1)若向量M=(2,6),5=(—6,加)，Kalb,求■十方;

(2)證明：是4十B=0的充要條件，

04

真題溯源-考向感知

1.（2024?全國甲卷.高考真題）設向量商=（X+1,X）,5=（X,2）,則（）

A.“x=-3”是“打后”的必要條件B."x=l+百”是“￡///'的必要條件

C.“x=O"是"，的充分條件D.“彳=-1+6”是“Z//B”的充分條件

2.（2024?北京?高考真題）設Z，另是向量，貝廣（萬+?,-5）=。”是或Z=的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024.新課標H卷?高考真題）已知向量癡滿足忖=小+2?=2,且僅-24耳，則忖=（）

A.|B.—C.@D.1

222

4.（2023?北京?高考真題）已知向量