第01講集合的概念

目錄

模塊一：新知?dú)w納

模塊二：考點(diǎn)講解舉一反三

考點(diǎn)1:集合的概念

考點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系

考點(diǎn)3：集合的表示方法

考點(diǎn)4：元素的個(gè)數(shù)

考點(diǎn)5：已知元素的特征求參數(shù)

模塊四：過(guò)關(guān)檢測(cè)

題型分組練

鞏固提高綜合練

模塊一新知?dú)w納

【知識(shí)點(diǎn)1】集合的含義

1.元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示.

2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱為集），集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C,…表示.

3.對(duì)集合概念的理解：

（1）描述性：“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點(diǎn)”“線”“面”等概念一樣，都只是

描述性的說(shuō)明.

（2）整體性：集合是一個(gè)整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，這個(gè)集

合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象.

（3）廣泛性：組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物等.

【知識(shí)點(diǎn)2】元素與集合

1.元素與集合的關(guān)系

（1）屬于：如果。是集合A的元素，就說(shuō)。屬于集合4記作aGA,讀作a屬于A.

（2）不屬于：如果。不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A,記作讀作。不屬于A.

【注意】符號(hào)“G”和空”只能用于元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，注意開(kāi)口方向.

2.集合中元素的三大特性

（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在

這個(gè)集合中就確定了.簡(jiǎn)記為“確定性”.

【注意】如果元素的界限不明確，即不能構(gòu)成集合.

例如：著名的科學(xué)家、比較高的人、好人、很難的題目等.

（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的.也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.簡(jiǎn)記為“互

異性”.

（3）無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒(méi)有順序的.簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”.

【知識(shí)點(diǎn)3】集合的表示方法與分類

1.常用數(shù)集及表示符號(hào)

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

2.集合的表示方法

（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问奖硎黾系姆椒?如小于10的所有的自然數(shù)組成的集合.N+

（2）列舉法：把集合的所有元素----列舉出來(lái)，并用花括號(hào)"｛『'括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

【注意】（1）元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)；（2）集合中的元素必須是明確的.（3）集合中的元素不

能重復(fù)；（4）集合中的元素可以是任何事物.

（3）描述法：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征尸（尤）的元素x所組成的集合

表示為&6川尸（尤）｝,這種表示集合的方法稱為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線.

【注意】用描述法表示集合時(shí)，注意區(qū)分是數(shù)集還是點(diǎn)集.區(qū)分的關(guān)鍵在于代表元素.

模塊二考點(diǎn)講解舉一反三

考點(diǎn)1：集合的概念

【例1】（2425高一上?重慶渝北?期中）下列選項(xiàng)中元素的全體可以組成集合的是（）

A.學(xué)?；@球水平較高的學(xué)生B.校園中長(zhǎng)的高大的樹(shù)木

C.2007年所有的歐盟國(guó)家D.中國(guó)經(jīng)濟(jì)較發(fā)達(dá)的地區(qū)

【答案】C

【分析】由集合的三要素：確定性，互異性，無(wú)序性作出判斷

【詳解】A選項(xiàng)，“水平較高”不明確，不滿足確定性，A選項(xiàng)不能組成集合;

B選項(xiàng)：“長(zhǎng)得高”不明確，不滿足確定性，B選項(xiàng)不能組成集合；

C選項(xiàng)：2007年所有的歐盟國(guó)家滿足“確定性，互異性，無(wú)序性”能構(gòu)成集合;

D選項(xiàng)：“較發(fā)達(dá)”不明確，不滿足確定性，D選項(xiàng)不能組成集合.

故選：C.

【變式1】（2425高一上?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）以下四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）.

A.最大的正實(shí)數(shù)B.最小的整數(shù)

C.平方等于1的實(shí)數(shù)D.最接近1的實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】利用可構(gòu)成集合的元素的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可得解.

【詳解】對(duì)于A,無(wú)法確定最大的正實(shí)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,無(wú)法確定最小的整數(shù)是哪一個(gè)數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,平方等于1的實(shí)數(shù)為±1,可以構(gòu)成集合，故C正確；

對(duì)于D,無(wú)法確定最接近1的實(shí)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式2】（2425高一上?四川南充?期中）下列選項(xiàng)中，能夠構(gòu)成集合的是（）

A.南充高中高2024級(jí)個(gè)子較高的學(xué)生B.高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)中的難題

【答案】C

【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的特征即可求解.

【詳解】對(duì)于A,個(gè)子較高，概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,難題，概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于D,無(wú)限接近于兀，概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故D錯(cuò)誤，

故選：C

A.②③B.①③C.②④D.①②④

【答案】A

【分析】根據(jù)集合中元素的確定性可判斷各選項(xiàng).

【詳解】①難解的題目，不滿足元素的確定性，不能組成集合；

④很多多項(xiàng)式，不滿足元素的確定性，不能組成集合；

故選：A.

考點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系

【例2】（2425高一上?廣東廣州?階段練習(xí)）下列關(guān)系中不正確的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)常見(jiàn)數(shù)集與元素之間的關(guān)系以及空集定義逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.

故選:B

【變式1】（2425高一上?天津東麗?期中）下列關(guān)系中，正確的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

【詳解】A,2是自然數(shù)，故A正確；B,兀是無(wú)理數(shù)，不是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；

C,0是自然數(shù)，故C錯(cuò)誤；D,三是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故D錯(cuò)誤.

2

故選：A

【變式2】（2425高一上?福建寧德?期中）用符號(hào)“e”或“比”填空：（1）若A為所有亞洲國(guó)家組成的集合,

則泰國(guó)________A；（2）72Q，-Q.

【答案】eee

【分析】根據(jù)各集合的定義，判斷各元素與集合間的關(guān)系.

【詳解】因?yàn)樘﹪?guó)屬于亞洲，所以泰國(guó)eA；

因?yàn)镼表示有理數(shù)，0不是有理數(shù)，怖是有理數(shù)，

故答案為：￡,電、d

A.4B.2C.3D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)R,Z,N*,N,Q,這幾個(gè)常用數(shù)集的含義判斷即可.

故選：A.

考點(diǎn)3：集合的表示方法

【例3】（2425高一上?上海寶山?階段練習(xí)）用列舉法表示“能整除9的所有正整數(shù)”組成的集合：.

【分析】首先寫出能整除9的正整數(shù)，然后用列舉法寫成集合的形式.

【分析】根據(jù)集合元素特征和描述法定義得到答案.

【答案】C

故選：C.

【變式2]（2425高一上?天津?qū)幒?期中）用列舉法表示下列集合：大于1且小于6的整數(shù)..

【分析】利用集合的描述法與列舉法求解即可.

【詳解】因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,

【變式3】（2425高一下?河北保定?階段練習(xí)）圖中陰影部分（含邊界）的點(diǎn)組成的集合8用描述法表示為

B=.

3

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合描述法即可得到答案.

考點(diǎn)4：元素的個(gè)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法表示得解.

故選：C.

【答案】C

【分析】解出方程的根，再根據(jù)集合元素互異性可求得集合元素個(gè)數(shù)即可得解.

根據(jù)集合元素的互異性可知集合M一共有3個(gè)元素.

故選：C

【變式2】（2425高一上?湖北荊州?階段練習(xí)）由1,2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的

自然數(shù)集合有（）個(gè)元素

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【分析】根據(jù)取出的數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，每一類中一一列舉出來(lái)計(jì)數(shù)即可.

【詳解】只取一個(gè)元素組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：共3個(gè)；

只取兩個(gè)元素組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有12,21,13,31,23,32共6個(gè)；

取三個(gè)元素組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有123,132,213,231,312,321共6個(gè)；

故選：A.

【答案】4

【分析】由集合的描述法可得結(jié)果.

故答案為：4.

考點(diǎn)5：已知元素的特征求參數(shù)

【答案】D

故選：D.

【答案】-2或5

【分析】由元素與集合的關(guān)系建立方程，再由集合元素的互異性排除錯(cuò)誤答案，即可得到結(jié)果.

綜上所述，。的值為-2或5.

故答案為：-2或5.

【答案】3

故答案為：3.

【答案】（1）。的值為?；?1

（2”的值為一1

，。的值為。或-1.

二實(shí)數(shù)x的值為-1.

（2）若以M中的元素為邊長(zhǎng)的三角形恰好為直角三角形，求a,b的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

若它們是直角三角形的三邊，

故。的值為T6,b的值為62.

模塊三知識(shí)檢測(cè)

?題型分組基礎(chǔ)練

考點(diǎn)1：集合的概念

1.（2425高一上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合

B.聯(lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)能組成一個(gè)集合

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用集合的定義逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)楹芟矚g足球的同學(xué)沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合的確定性，所以不能組成一個(gè)集合,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)槁?lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，符合集合的確定性，所以能組成一個(gè)集合，故B正

確；

故選：B.

2.（多選）下列集合是有限集的是（）

A.不超過(guò)兀的正整數(shù)構(gòu)成的集合

B.平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合

C.高一（2）班中體重在55kg以上的同學(xué)構(gòu)成的集合

D.所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合

【答案】ABC

【分析】不超過(guò)兀的正整數(shù)有1,2,3,據(jù)此可以判斷A；平方后等于自身的數(shù)有。和1,據(jù)此可以判斷B；

高一（2）班體重在55依以上的同學(xué)個(gè)數(shù)一定，據(jù)此可以判斷C；所有小于2的整數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，據(jù)此可以

判斷D.

【詳解】對(duì)于A,不超過(guò)兀的正整數(shù)有1,2,3,構(gòu)成的集合是有限集，A對(duì)；

對(duì)于B,平方后等于自身的數(shù)有。和1,構(gòu)成的集集合是有限集，B對(duì)；

對(duì)于D,所有小于2的整數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，因此構(gòu)成的集合屬于無(wú)限集.

故選：ABC.

考點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系

3.（2324高一上.天津河北?期中）下列關(guān)系中正確的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)各個(gè)符號(hào)表示的含義及元素與集合的關(guān)系逐個(gè)分析判斷即可.

故選：A

4.（2425高一上?上海浦東新?期中）用“e”和“任”表示，1N.

【答案】e

【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系解題.

故答案為：e.

5.（2324高一上?湖南邵陽(yáng)?階段練習(xí)）0_N；+Z；?！猂.

【答案】e￡e

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及常用數(shù)集的表示，即可求解.

故答案為：?;任；e.

考點(diǎn)3：集合的表示方法

【答案】C

【分析】根據(jù)描述法轉(zhuǎn)化為列舉法得解.

故選：C

【答案】C

【分析】先解出不等式，然后由描述法表示成集合即可.

故選：c

【分析】聯(lián)立消元求解，用列舉法表示集合.

【分析】先解出不等式，進(jìn)而寫出解集.

考點(diǎn)4：元素的個(gè)數(shù)

A.3B.4C.5D.6

【答案】c

因此A中元素的個(gè)數(shù)為5.故選：C

【答案】B

故選:B

A.4B.6C.7D.10

【答案】D

即5中所含元素的個(gè)數(shù)為10個(gè).故選：D.

考點(diǎn)5：已知元素的特征求參數(shù)

A.—3或一1B.3C.1D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列式求解，再代入檢驗(yàn)即可.

故選：B.

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】c

【分析】討論Y對(duì)應(yīng)元素，結(jié)合集合中元素的互異性確定參數(shù)值即可.

故選：c

【答案】-1

【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系及互異性求參數(shù)即可.

故答案為：-1

?鞏冏提高綜合練

1.（2425高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）下列各組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（）

A.數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本中所有的難題B.小于8的所有素?cái)?shù)

C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)D.所有小的正數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的確定性逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；

對(duì)于選項(xiàng)B：小于8的所有素?cái)?shù)有2,3,5,7,能構(gòu)成集合；

對(duì)于選項(xiàng)C：“一些點(diǎn)”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無(wú)法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一

象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合；

對(duì)于選項(xiàng)D：沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合.

故選：B.

2.（2425高一上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)R，Z,N,Q,這幾個(gè)常用數(shù)集的含義判斷即可.

故選：B.

【答案】B

【分析】根據(jù)集合8中的元素特征可得出集合反

故選：B.

2

A.!B.-C.-D.

2565

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的概念確定集合的所有元素，求和即可.

故選：C.

【答案】C

【分析】根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用列舉法、描述法分析正確的集合表示方式，即可得答案.

故選：C

【答案】C

故選：C

【答案】B

【分析】根據(jù)集合描述法的定義，求出集合中的元素.

故選：B.

【答案】B

故選：B.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】利用集合中元素的互異性，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論即可.

故選：B.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的定義與運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可.

所以集合C中的元素個(gè)數(shù)為4.

故選：C.

A.3B.4C.5