湖北省孝感市部分高中2024-2025學(xué)年下學(xué)期期末聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1、答題前，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考

證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.

2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交.

一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知數(shù)列虎，石，2夜，…，則2店是該數(shù)列的（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

2.若。，b,c成等比數(shù)列，則函數(shù)了=以2+2法+。的圖像與％軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.0B.1C.2D.不確定

3.如圖為函數(shù)八％）（其定義域?yàn)椋郇D機(jī)間）的圖象，若“工）的導(dǎo)函數(shù)為r（x）,則、=/'（］）的圖象

可能是（）

4.已知函數(shù)y(x)=d+x2—%,則下列說法正確的是()

A.當(dāng)x=l時(shí)，/(%)取得極小值1B.當(dāng)x=—l時(shí)，/(%)取得極大值1

C當(dāng)x=3時(shí)，〃%)取得極大值33D.當(dāng)時(shí)，y(%)取得極大值—行

5.如圖所示，積木拼盤由A,B,C,D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)

拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與。為不相鄰區(qū)域)，現(xiàn)有五種不

同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是()

B.840C.900D.960

6.某中學(xué)元旦晚會共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后

一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有

A.720種B.600種C.360種D.300種

7.已知正九邊形A&從A4，AX，…，4A中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為

)

245

A-—2B.-C.一D.-

399

8.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到/=6147,依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)

（/01=6.635）,可推斷（）

A.變量X與Y不獨(dú)立

B.變量x與丫不獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過o.oi

c.無法判斷變量x與y是否獨(dú)立

D.變量x與丫獨(dú)立

二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)積為北，則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列B.數(shù)列區(qū).-J,｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列D.數(shù)列｛1g?；｝是等差數(shù)列

io.己知函數(shù)/（力=三+依2+灰+。在R上單調(diào)遞增，/，⑴為其導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

（）

A./（1）＞0B./（1）＞0

22

Ca-3Z?＜0D.a-3b＞0

11.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自

行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分

鐘，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)V都服從正態(tài)分布，則（）

AP（X＞32）＞尸（丫＞32）

B.P（XW36）=P（左36）

C.李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車

D.李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車

三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分

12.已知等比數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85；,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為170：,則

S=。3+。6+09+〃12的值為.

13.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)。，b,組成復(fù)數(shù)a+歷，其中虛數(shù)有個(gè).

14.為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得如表所示的數(shù)據(jù):

單位:名

療效

性別合計(jì)

無效有效

男性患者153550

女性患者64450

合計(jì)2179100

a0.1000.0500010

Xa2.7063.8416.635

設(shè)“0：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，4.882(小數(shù)點(diǎn)后保留3位有效數(shù)字)，從而得出結(jié)論:服用

此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的概率不大于.

四、解答題：本題共5小題，共77分

15.已知數(shù)列｛。,｝是等差數(shù)列，4=1,且％,%，％T成等比數(shù)列?給定左?N*，記集合

k

｛n\k<an<2,n&N*｝的元素個(gè)數(shù)為bk.

(1)求4力2的值;

(2)求滿足b,+b2++bn>2025的最小自然數(shù)〃的值.

16.函數(shù)/(x)=lnx-av.

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有最大值且。，求。的值.

17.己知函數(shù);■(x)=@/(左為常數(shù)，e=2.71828...,曲線y=/(X)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與x軸平

行.

(I)求k的值；

(II)求“X)的單調(diào)區(qū)間；

18.某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)博物館，采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，

甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案:兩家公司從6個(gè)招標(biāo)

問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司可正確回答其中的4道題目，而乙公司能正確

回答每道題目的概率均為劣，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.

3

（1）求甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率；

（2）請從期望和方差角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標(biāo)成功的可能性更大？

19.中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組為

了獲得茶水溫度y（單位：°C）關(guān)于時(shí)間無（單位：min）的回歸方程模型，通過實(shí)驗(yàn)收集在25℃室溫，用

同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時(shí)間變化的7組數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如圖所示散點(diǎn)圖

以及如表所示數(shù)據(jù).

'茶水溫度/℃

90

*

80?

70*

???

60

50

40

<111111A

0123456時(shí)間的出

7__7__

Z(玉一

ywx)(y—y)

i=li=l

73.53.85-95-2.24

_I7

表中：嗯=ln(%—25),w=-^Jwi

7/=1

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，①y=。+法與②y=d?/+25哪一個(gè)更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸

方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間

x的回歸方程；

（2）已知該茶水溫度降至60℃口感最佳，根據(jù)（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約

需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？

附：（1）對于一組數(shù)據(jù)（和％）,（々,%），…，（X"，y〃），其回歸直線y=S+/x的斜率和截距的最小二乘

估計(jì)分別為8=—------------，a=y-px-

方(—)2

Z=1

(2)參考數(shù)據(jù)：e408ao.92，e409?60，ln7?1.9,ln3?l.l,ln2?0.7

湖北省孝感市部分高中2024—2025學(xué)年下學(xué)期期末聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1、答題前，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考

證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.

2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交.

一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知數(shù)列后，真，2后，…，則2君是該數(shù)列的（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

【答案】C

【解析】

【詳解】由數(shù)列G，Q,2$,…的前三項(xiàng)為3，5-?？芍瑪?shù)列的通項(xiàng)公式為斯=:213《”一】）=*—I，

由-.吊二1=2（,可得"=7.故選C.

2.若。，b,c成等比數(shù)列，則函數(shù)丁=以2+2"+。的圖像與*軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.0B.1C.2D.不確定

【答案】B

【解析】

【分析】由題得從:。。，再計(jì)算/得解.

【詳解】因?yàn)?。，b,c成等比數(shù)列，所以/=「c，

令=cur+2bx+c=0,則△=4b2一4ac=4("-ac)-0,

所以函數(shù)y=以2+2Z?x+c的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，

故選：B

3.如圖為函數(shù)八%）（其定義域?yàn)椋郇D狐加|）的圖象，若"％）的導(dǎo)函數(shù)為了'（尤），則y=/'（x）的圖象

可能是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)"％）的圖象，分析/'（%）的函數(shù)值的正、負(fù)情況，即可判斷.

【詳解】解：由"％）圖象知"％）（―加,0）上先減后增，故/'（%）在（一口,0）上函數(shù)值先負(fù)后正,

同理/'（%）在（0,m）上的符號是先負(fù)后正，四個(gè)選項(xiàng)中僅有選項(xiàng)A符合.

故選：A.

4.已知函數(shù)/（尤六三+必―龍，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)x=l時(shí)，"％）取得極小值1B.當(dāng)x=—1時(shí)，取得極大值1

C.當(dāng)％=3時(shí)，/（%）取得極大值33D.當(dāng)》=-；時(shí)，/（%）取得極大值—得

【答案】B

【解析】

【分析】求導(dǎo)可得;"（X）解析式，令/'（幻=0,可得極值點(diǎn)，利用表格法，可得/（%）的單調(diào)區(qū)間，代入

數(shù)據(jù)，可得/（幻的極值，分析即可得答案.

【詳解】由題意得/'（x）=3/+2x—l,

令/'（%）=。，解得X=—1或X=；,

當(dāng)X變化時(shí)，/'（X）、/（%）變化如下

1

-1

31")

/'（X）+0-0+

*

/（X）極大值極小值

所以當(dāng)x=—1時(shí)，九）取得極大值1,故B正確、C、D錯(cuò)誤，

當(dāng)x時(shí)，/（%）取得極小值，故A錯(cuò)誤，

故選：B

5.如圖所示，積木拼盤由A,B,C,D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)

拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：A與8為相鄰區(qū)域，A與。為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不

同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是（）

A.780B.840C.900D.960

【答案】D

【解析】

【分析】先涂A,再涂B,再涂C,再涂O,最后涂由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的涂色方法種

數(shù).

【詳解】解：先涂A,則A有C；=5種涂法，再涂B,因?yàn)?與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即

可，有C；=4種涂法，同理。有C；=3種涂法，。有c；=4種涂法，E有C；=4種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)

原理，可矢口不同的涂色方法種數(shù)為5x4x3x4x4=960.

故選：D.

6.某中學(xué)元旦晚會共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后

一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有

A.720種B.600種C.360種D.300種

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好

后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有3義團(tuán)=60種情況，

②5人排好后有5個(gè)空位可選，其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，

則有60X5=300種不同的順序，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知正九邊形A44,從AA，44；…，4A中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為

（）

I245

A.-B.-C.—D.一

2399

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，列出基本事件求概率即可.

可以和向量44構(gòu)成數(shù)量積有4A，…,AA一共8個(gè)向量，

其中數(shù)量積為的正數(shù)的向量有：一共4個(gè)，

41

由對稱性可知，任取兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為：一=—.

82

故選：A

8.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到/=6147,依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)

（%01=6.635）,可推斷（）

A.變量X與Y不獨(dú)立

B.變量X與Y不獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01

c.無法判斷變量x與y是否獨(dú)立

D.變量x與y獨(dú)立

【答案】D

【解析】

【分析】由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義判斷可得.

【詳解】零假設(shè)為“°：變量x與y獨(dú)立.

因?yàn)?2=6.147<6.635=x001,所以依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

沒有充分證據(jù)推斷“。不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為變量X與丫獨(dú)立.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)積為7；,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列⑸尼―S2,J是等差數(shù)列

C.數(shù)列臥是等比數(shù)列D.數(shù)列｛lg4｝是等差數(shù)列

【答案】ABC

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,設(shè)等比數(shù)列｛2｝的公比為q,求出s“，利用等差數(shù)列的定義可判

斷ABD選項(xiàng)；利用等比數(shù)列定義可判斷C選項(xiàng).

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則Sn=叫+d，：.^=a1+"I".

2n2

對于A選項(xiàng)，工±L—&=4+㈣—a?fc史=4,為等差數(shù)列，A正確；

n+1n2122I?J

對于B選項(xiàng)，令J=S2ll+2-S2n-a2ll+2+a2n+l,

G+i-J=(%，+4+%“+3)一(4“+2+%，+i)=4d，

故數(shù)列四2”+2—^2?｝是等差數(shù)列，B正確；

設(shè)等比數(shù)列出｝的公比為q(qW0),

對于C選項(xiàng)，令4=與旦=打,+2也,+1，則&=，'+4?，，+3=q4,故數(shù)列［冬1］是等比數(shù)列，c正

T2ndn%+2也”+11或J

確；

對于D選項(xiàng)，?,?厄7；+1-地7；=坨4"=想4+1不一定為常數(shù)，故數(shù)列｛1g4｝不一定是等差數(shù)列，故D錯(cuò)

1n

誤；

故選：ABC.

io.己知函數(shù)/(%)=%3+q2+灰+。在R上單調(diào)遞增，/⑺為其導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

()

A./(1)>0B./(1)>0

2

Ccr-3b<QD.a-3b>0

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一一判定即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=d+加+Z?x+c,所以/'（X）=3必+2OX+Z?.

因?yàn)楹瘮?shù)八％）在R上單調(diào)遞增，所以/'（X）20,對于任意的xeR恒成立，

所以/（1）20恒成立，即A正確；

但/（1）大小不確定，故B錯(cuò)誤；

對于方程3必+2℃+人=0,有A=4a2_i26V0,即儲—3人<0，所以C正確，D錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自

行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分

鐘，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)￥都服從正態(tài)分布，則（）

A.P（X>32）>尸（￥>32）

B.P（XW36）=P（左36）

C.李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車

D.李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先利用正態(tài)分布，確定〃和再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，和3b的原則，即可求解.

【詳解】A.由條件可知XN（30,62）,y?N（34,2z）,根據(jù)對稱性可知?（F>32）>0.5>P（X>32）,

故A錯(cuò)誤；

B.P（X<36）=P（X<//+cr）,尸（FW36）=尸（FW〃+cr）,所以P（X<36）=P（F<36）,故B正確；

C.<34）>0.5=P（r<34）,所以尸（XW34）>P（FW34）,故C正確；

D.<40）<<42）=<//+2cr）,P（FW40）=P（FW〃+3b）,所以

P（X<40）<P（y<40）,故D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分

12.己知等比數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85；,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為170g,則

S=+an的值為.

【答案】585

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,根據(jù)已知條件求出q的值，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出生的值，進(jìn)

而可求得s的值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前io項(xiàng)中，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)的和為s奇，所有偶

數(shù)項(xiàng)的和為“

則S偶=%+%+/+/+.0=q(%+/+%+%+的)=qS奇,

Q170+-

所以，4=言=------=2，

S奇85+-

4

又5=業(yè)WX玲=3410=科，則

奇1-423144

1-42

因止匕，S=%+a$+佝+aI2=%(1+/+q'+q9)==585.

J/

故答案為：585.

13.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b,組成復(fù)數(shù)a+歷，其中虛數(shù)有個(gè).

【答案】36

【解析】

【分析】

若復(fù)數(shù)。+歷為虛數(shù)，則。=0300,分a=0,a/0兩種情況討論即得解.

【詳解】從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b,組成復(fù)數(shù)a+歷，當(dāng)a=0時(shí)，對應(yīng)的6

有6個(gè)值；當(dāng)。取123,4,5,6時(shí)，對應(yīng)的Z?只有5個(gè)值.所以虛數(shù)有6+6*5=36（個(gè)）.故答案為：36.

【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)的定義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，分類討論的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得如表所示的數(shù)據(jù)：

單位:名

療效

性別合計(jì)

無效有效

男性患者153550

女性患者64450

合計(jì)2179100

a0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

設(shè)Ho：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，4.882(小數(shù)點(diǎn)后保留3位有效數(shù)字)，從而得出結(jié)論:服用

此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的概率不大于.

【答案】O.O5

【解析】

【分析】計(jì)算卡方，再由獨(dú)立性檢驗(yàn)比較可得.

【詳解】由公式計(jì)算得/2=100x(15x44—6,35)一一今882〉3.84]=，根據(jù)小概率值。=0。5的獨(dú)

21x79x50x50005

立性檢驗(yàn)，認(rèn)為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，判斷出錯(cuò)的概率不大于0.05.

故答案為：0.05.

四、解答題：本題共5小題，共77分

15.己知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，q=1,且%,4,%T成等比數(shù)列?給定左eN*，記集合

k

｛n\k<an<2,n&N*｝的元素個(gè)數(shù)為bk.

(1)求4/2的值；

(2)求滿足4+4++包>2025的最小自然數(shù)〃的值.

【答案】(1)4=2,仇=3

(2)11

【解析】

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意，列出方程，求得d=l,得到4=〃，結(jié)合

｛〃|左<〃eN*｝,分別求得偽也的值；

(2)由(1)得到4=2*—%+1,求得4=偽+&++〃=2?(2〃-1)—；+當(dāng)〃=10和八=11

時(shí)，可得加=2001<2025,6=4039>2025,進(jìn)而得到〃的最小值.

小問1詳解】

解：設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,

因?yàn)閝.,。5T成等比數(shù)列，且4=1，所以a[％-1)=齒，

即lx(l+4d—l)=(l+d)2,即4d=(l+dy,解得d=l,所以?！?”，

又因?yàn)椋?k</<eN*｝,

當(dāng)上=1時(shí)，集合｛〃|l<“<2/eN*｝=｛l,2｝,所以集合中元素的個(gè)數(shù)偽=2；

當(dāng)k=2時(shí)，集合｛川2<〃<4,〃eN*｝=｛2,3,4｝,所以集合中元素的個(gè)數(shù)％=3；

【小問2詳解】

解：由集合｛“I左<a"<2"/eN*｝的元素個(gè)數(shù)為4，

結(jié)合⑴可得々=2。左+1,

2(12，i)n+1n

所以〈=偽+打++bn=--^^+H=2-(2-l)--+-,

"12“1-2222

當(dāng)”=10時(shí)，可得2?(210-1)--+—=2001<2025；

22

當(dāng)〃=11時(shí)，可得2-(2”—1)—也+口=4039>2025,

22

又由&「7；=2?(2"+-1)一^^+號一2-(2?-1)-^+|=2向一〃〉0,

所以數(shù)列｛1｝為單調(diào)遞增數(shù)列，所以〃的最小值是11.

16.函數(shù)/(x)=lnx-ox.

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若了(九)有最大值且。，求a的值.

【答案】(1)答案見解析；(2)1

【解析】

【分析】

(1)求出/"(x),分aW0或a>0兩種情況討論可得；

(2)由(1)可得M=-Ina-1,則lna-a+l?0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx—x+l,利用導(dǎo)數(shù)可求最大值

得出lna—a+l<0,則lna—a+l=O,即可得出Q.

【詳解】解：(1)易知無>0,f'(x)=--a,

X

當(dāng)aW0時(shí)/'(力>0對任意的無>0恒成立;

當(dāng)a>0時(shí)，若/>'(%)>0,得0<x<L,若/得%>工,

aa

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在(0,工)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

aa

(2)由⑴可得當(dāng)aWO時(shí)，””單調(diào)遞增，則八%)沒有最大值，」.a〉。,

則八工)在(0」)上單調(diào)遞增，在(工,+8)上單調(diào)遞減,

aa

511

\〃耽「畸氏叱-1=一"1,即M=-Ina-1,

M<-a,\-lna-l?a,即Ina-a+1?0,

令g(x)=lnx—x+L

XX

當(dāng)xw(0,l)時(shí),g'(x)>0,g@)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),g,(x)<0,g(%)單調(diào)遞減,

?,收⑴38⑴二。，

\]na-a+1?0,

\Ina-a+1=0,:.a=l.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是先得出lna-a+l?0,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)

性，得出Ina—a+l<0.

17.已知函數(shù)/(x)=M，(左為常數(shù),e=2.71828...,曲線y=/("在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與x軸平

行.

(I)求k的值;

（II）求了（X）的單調(diào)區(qū)間;

【答案】（I）k=l（II）單調(diào)遞增區(qū)間是（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間是+8）

【解析】

【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)（1,f（1））處的切線與X軸平行，說明f（1）=0,

則k值可求；（2）求出函數(shù)的定義域，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點(diǎn)，借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求

函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

1

試題解析：⑴m

1

由己知，r（i）=——=o,.?.左=i

1,,,

/\zT\—Ink—k

(TITI)由(I)知，/，(%)_x.

設(shè)左⑺=^-lnx—1,則左'(x)=—-y-—<0,即左(左)在(0,+8)上是減函數(shù),

由左(1)=0知，當(dāng)0cx<1時(shí)％(x)>0,

當(dāng)x〉l時(shí)左（九）＜0,從而/'（X）＜0.

綜上可知，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間是（1,+8）.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的幾何意義

18.某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)博物館，采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，

甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案:兩家公司從6個(gè)招標(biāo)

問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司可正確回答其中的4道題目，而乙公司能正確

回答每道題目的概率均為2,甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.

3

（1）求甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率；

（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標(biāo)成功的可能性更大？

【答案】（1）—（2）甲公司競標(biāo)成功的可能性更大.

15

【解析】

【詳解】試題分析：（1）分兩種情況求概率：甲答對2道題、乙答對0道題；甲答對1道題、乙答對1道題;

J%

其中甲答對，道題概率為乙答對，道題概率為c；前T),最后根據(jù)概率乘法公式與加法公

式求概率，（2）分別求甲、乙公司正確完成面試的題數(shù)期望和方差，期望較大、方差較小的公司競標(biāo)成功的

「2一，

可能性更大.先確定隨機(jī)變量可能取法，求出對應(yīng)概率（甲答對，道題概率為乙答對i道題概率為

22-i

I）,利用期望公式及方差公式求期望與方差.

3

2

試題解析：（1）由題意可知，所求概率尸=3?xC；cjc\

31--I+x

%c3rt

（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X,則X的取值分別為1,2，3.

X22X

p（x=l）=^CC^=±3P（X=2）=-C^C=-3,P（x=3\=0^3c^o=i-

1/屐5l/屐517Cl5

則X的分布列為:

X123

31

P

555

i31

.?.E（X）=lx-+2x|+3x-=2

D（X）=（1-2）2X|+（2-2）2X|+（3-2）2X|=|

設(shè)乙公司正確完成面試的題為Y,則y取值分別為0,1,2,3.

17

P（^=o）=—,p（y=i）=c'x-

P（y=2）=Cfx|^|Jx|=l）JP（F=3）=8

27

則y的分布列為:

Y0123

1248

P

279927

2（））

.-.E（y）=0x—+lx-+2x-+3x—=2.（或Y-B\3,Ey=3x|=2

v7279927I

。⑺=（0—2）2x）（l—2）2x|+（2—2）2*+（3—2）2W=（p（y）=3x|x1=|）

乙Iy乙IDDDD

由￡（X）=O"），￡＞（X）（D（F）可得，甲公司競標(biāo)成功的可能性更大.

19.中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組為

了獲得茶水溫度y（單位：°C）關(guān)于時(shí)間］（單位：min）的