和差化積公式及四大應(yīng)用

抽象的東西不是無源之水，找到它的原型，這也是我們處理函數(shù)方程的一個(gè)重要方法，例

如，最常見的函數(shù)方程：/(x+y)=/(x)?/(y)其實(shí)就是我們的指數(shù)乘法公式：

ax-ay=ax+\a〉0,。H1).所以，處理函數(shù)方程問題的一個(gè)重要手法就是找原型.

三角函數(shù)和差化積公式，一個(gè)出現(xiàn)在新教材必修一226頁習(xí)題!

一.基本原理

1.公式匯編與證明：

cosacos￡=;[cos(6Z+')+cos(tz-/3)]；sin6/sinp=[cos(cr+￡)—cos(cr-')]；

sinacos夕=;[sin(a+〃)+sin(a-〃)]；cosasin夕=；[sin(a+4)-sin(a-〃)].

證明：由cos(。+尸)=cosacos尸一sin。sin尸,cos(?-P)=cosacos+sinsin/3,得

cos?cos^=i[cos(a+^)+cos(?-^)].

也可利用單位圓予以證明：

X軸，交x軸于如圖，貝！=g(尸一a)+a=J(a+夕).在Rt口0M4中,

八"八4B-aa-/3

OM=OAcos------二cos--------.

22

在、中，。

RtQOMMOMX=OMcosZMOMl=cos"cosJ

M.M=OMsin/.MOM,=sina+cos―—―

1122

2.和差化積公式推導(dǎo)出的一些常見恒等式

(1)平方差公式:

sin2x-sin2y=(sinx+siny)(sinx-siny)。.%+yx+y.%—y

=zsin-------cos---------zcos--------sin--------

2222

=2sin——cos——?2sin——cos——=sm(x+y)sin(x-y),

即sin2%—sin2,=sin(x+y)sin(x-y)

、cosa-cosBB-a

(2)---------------=tan------

sina+sin，2

小.a+￡.cc—B.ci-B

-2sin------sin......-sin------_Rn_

證明：左邊=_________22―/^=_tan—=tan—=右邊，所以原式

..a+￡oc—B22

2sin------cos......-cos-

222

得證.

3利用和差化積公式解決抽象函數(shù)

(1)將上述公式予以抽象，若令/(x)=cosx,則上述積化和差公式可進(jìn)一步抽象得:

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

2

(2)若令f(x)=Acos儂，則有f(x+y)+f(x-y)=2AcosCDX-coscoy=——f(x)f(y)

-A

[0=a+p

(3)進(jìn)一步，倘若令〈n，那么上述和差化積公式可以表示為：

\(p=a-p3J一中

°一2

cos0+cos(p=2cos~~,cos,抽象為：/(%)+/(y)=24/~(f)/("2')

(4)若令/(x)=Acos(x+t),那么：

/(x+y)+/(x-y)=Acos(x+/+y)+Acos(x+t-y)=2Acos(x+1)cosy

則有：/(x+y)+/(x-y)=2Af(x)cosy

綜上所述，有關(guān)和差化積，我們可以得到如下的抽象函數(shù)模型;

2

①.f(x)=Acos儂。f(x+y)+f(x~y)=—

A

②.f(x)=Acosa)x/(x)+/(y)=/(^^)/(^^)

③./(x)=Acos(x+/)=f(x+y)+f(x-y)=2/(x)cosy

典例分析

★應(yīng)用1.利用和差化積(積化和差)公式求值與化簡(jiǎn)

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以。4為始邊，角a與夕的終邊分別與單位圓相交于瓦月

兩點(diǎn)，且tze0,?/e/兀,若直線所的斜率為:，則sin(a+0=

)

解析：由題意可設(shè)E(cosa,sina),尸(cossin￡),則直線EF的斜率

_a+￡.a—B

2cos------sin------[1

sina-sin/312「廣…a+B_

22==1所以tan=±=-3,

cos。一cos[3c.a+B.a-Ba+B3

-2sin------sin------tan———

222

入.a+Ba+B

2sin-cos-2”tan-a--*--B-

3

所以sin(a+￡)=_______222故選：

.2a+￡2a+￡A.

sin------+cos.......—1+tan———

222

195

例2.已知cosa+cos^=jj,sino—sin)=-百，則tan(a-夕)的值為()

119120119120

A.----B.-------C.-------------D.-----------

120119120119

解析：由和差化積公式，WCOSa+cos/3=2coscos,

sina-sin=2cos-+sin———=---,兩式相除，所以tan^~~—=---.

2213212

所以tan(a_〃)=tan[2?^^]=----------=?故選：B-

12)Jan?12119

2

例3.如圖所示，已知角的始邊為X軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交

點(diǎn)分別為為線段A8的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)C,則()

A-”AOC=%

/3-a

B.GA-OC=cos

2

當(dāng)△AOB面積為3時(shí)，點(diǎn)M在圓/+>'段上運(yùn)動(dòng)

C.

42

i弘ci+Bp—cc.ci+/3/3—cc

D.點(diǎn)M的坐標(biāo)為［COS二一85工一,5111工一85工一

解析：由已知，得NAOx=a,/BOx=0,則NAO3=Q—。，依題意〃為AB的中點(diǎn)，則

ZAOC=^ZAOB=^^,故A正確；

由題意，得A(cosa,sintz),C^cos&；夕，sin.,貝ijOA=(cose,sina),

反=(cossinJ,所以

777a+B..ex,+p(cc+pB-a,,T”

0Aoe=cosercos----+sin?sin----=cosa....-=cos^—,故B正確;

222

由題意可得A(cosa,sina),8(cos月,sin￡),因M為AB的中點(diǎn)，則

Ccosa+cos/?sina+sin")

tiI-------------,其中0<a<〃<,,m因

cosa+cosBa+8B-asin+sin>5.a+BB-a

-----------=cos-----cos-----,-----------=sin-----cos-----

222222

,,a+BB-a.a+B0—a、,,十小

故Mcosf-cos—^—,smf-cosF-,故D正確；

、乙乙乙乙)

由s：1AOB='|OA||OBkin/AO2=Lsin"^=@，則sin"^=走，cos與4=：,

22242222

設(shè)M(x,y),貝lj2x=cos號(hào)夕,2y=sin二2,將兩式平方相加得4x2+4/=1,BPx2+/=,

即點(diǎn)M在園—=9上運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤.故選：ABD

4

例4.已知函數(shù)知(％)=sin3%—sin2%,則()

A.〃x)的一個(gè)周期為-27tB.〃尤)的圖像關(guān)于(兀,。)中心對(duì)稱

C.“X)的最大值為2D.“X)在(0,2兀)上的所有零點(diǎn)之和為57t

解析：對(duì)于A,/(x-27i)=sin(3x-67i)-sin(2x-47i)=sin3x-sin2x=/(x),所以A正確；

對(duì)于B,/(2K-x)=sin(67t-3x)-sin(47t-2x)=-sin3x-sin2x=-f(x),所以B正確；

對(duì)于C,若最大值為2,貝!Jsin3x=l,sin2x=-l,

兀2kjL7C

當(dāng)3x=2E+—,keZ,止匕時(shí)％=---F—,keZ,sin2xw-l,故C不正確；

236

對(duì)于D,f(x]=sin3x-sin2x=sin—x+—x-sin—x——x=2cos—xsin—x,

v7(22J(22J22

令/(%)=0得cosgxsingx=0,所以sin；x=0或cosgx=0,又x￡(0,2兀),

七仁…5兀—5371T55?！?771T59K左力/白兀—371T…

所以一x=一或一元二一或x一x=一或一x=一或x一x=—,解得x=—或x=——或x工=?；?/p>

222222222255

77TQJT

X=y^x=y,即〃x)所有零點(diǎn)之和為5兀，故D正確.故選：ABD

★應(yīng)用2.利用和差化積(積化和差)公式處理抽象函數(shù)

例5.(2022新高考2卷)

22

已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,Rf(x+y)+f(x-y)==1,則2f(k)=

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

解析：方法1.由余弦函數(shù)積化和差公式可得，考慮函數(shù)/(x)=2cos[x,則/(x)滿足題

意.于是，f(x)周期為是且f(l)=1,/(2)=-l,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,

22

進(jìn)一步Z/a)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=-3,故選A.

k=\

方法2.因?yàn)?(x+y)+〃x-y)=〃尤)〃y),令x=l,y=0可得，2/(1)=/(1)/(0),所以

"0)=2,令尤=0可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即〃y)=〃-y),所以函數(shù)/⑺為偶函數(shù)，

令＞=1得,/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有“尤+2)+〃x)=〃x+l),從而可

知〃x+2)=-〃x-l),/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=〃x-4),即/(x)=/(x+6),

所以函數(shù)的一個(gè)周期為6.因?yàn)椤?)=〃1)-〃0)=1-2=-1,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,

/(6)=/(0)=2,所以一個(gè)周期內(nèi)的〃1)+〃2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡/信)=〃1)+〃2)+/(3)+〃4)=1一1一2-1=一3.故選：A.

k=T

例6.已知函數(shù)y=〃x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都滿足2〃x)〃y)=〃x+y)+〃x_y),且

/(1)=一1,則()

A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

2023

C.〃尤)+〃l一尤)=0D.Ef(k)=l

k=\

解析：(方法1.函數(shù)模型)由①，構(gòu)造/(X)=COS",易得結(jié)果選AC.

(方法2.賦值分析)：在2/(x)〃y)=H尤+y)+“x-y)中，

令x=l,y=0,可得2〃1)〃0)=2〃1),gp-2/(O)=-2,解得“0)=00,故B錯(cuò)誤；

令x=0可得2〃0)〃耳=">)+〃-力即〃田=〃->),故函數(shù)”》)是偶函數(shù)，即〃x)

是偶函數(shù)，故A正確；

令x=y=；,則271]="1)+"0)=0,故m=o,

令X=；,可得=+=故/(尤)+/(1-x)=0,故C正確；

因?yàn)椤癤)是偶函數(shù),所以“X)丑(f),故/(一()+是(l—x)=0,即〃x)+〃l+x)=0,

所以〃x+l)+〃2+尤)=0,所以〃尤+2)=〃x),故函數(shù)〃x)的周期為2,

因?yàn)椤?)+"。)=。，/(1)=-1,W/(l)+/{2)=/(l)+/(O)=O,/(2023)=/(1)=-1,

2023

所以2〃左)=7>⑴+〃2)+…+〃2023)=〃2023)=〃1)=一1,故D錯(cuò)誤.故選:AC.

k=T

例7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X)對(duì)任意實(shí)數(shù)X、y滿足〃x+y)+〃x-y)=2〃x)cosy,

且〃。)=。，=l.其中正確的是()

A./'[=)B.〃x)為奇函數(shù)

C.為周期函數(shù)D.在(0,兀)內(nèi)單調(diào)遞減

解析：(方法1.函數(shù)模型)由③，構(gòu)造/(x)=Acos(x+f),且〃。)=0,煩=1，易得

71

Acosr=0t=—71

結(jié)果:=2n/(x)=—cos(x+—)=sinx,故選：BC

-AsinZ=1A=-l2

(方法2.賦值分析)：

對(duì)于A,令x=y=：,得/圖+"0)=2/圖cos：,因?yàn)椤?)=0,/^=1

所以1=W(T，所以所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,令x=0,貝！|〃y)+/(-y)=2〃0)cosy,因?yàn)椤?)=0,所以〃y)+〃7)=0,

所以為奇函數(shù)，所以B正確，

對(duì)于c,令y=]，則小+3+/1一3=2〃機(jī)(^=0,=

所以/1+^=-7,+雪，所以/卜+^^=4"3,所以“X+2勸=〃x),

所以“X)的周期為2無，所以C正確，

對(duì)于D,因?yàn)?0)=0,==￥，“X)的周期為2兀，

所以===令x=y=],則(^]+〃0)=2(1卜0$1,所

以-1=-后,｝得/m=￥，所以/=所以”x)在(0㈤上不單

調(diào)，所以D錯(cuò)誤，故選：BC

例8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)/(x-y)=/。)-r(y)"(l)=1,/(2)=0,

則下列說法中正確的是()

2023

A./⑺為偶函數(shù)B./(3)=-1C./(-1)=-/⑸D.￡于也)=1

k=l

解析：方法一：由于sin?A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B).

TTTT

由題意，可以令/(xQsin'X,因?yàn)?(無)=sin,尤為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

因?yàn)?(3)=-1,故選項(xiàng)B正確.因?yàn)?(-1)=_1=-〃5),故選項(xiàng)C正確.

2023

因?yàn)?=4,2023+4=505……3,故2/(6=/⑴+〃2)+”3)=。，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

k=l

方法二：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)槿耍?的定義域?yàn)镽,令x=y=。，則/(0)/(0)=/(0)-/2(0),

故尸(0)=0,則/(0)=0,令尤=0,則/(y)"r)=/2(0)-r(y),

又/(y)不恒為o,故所以/*)為奇函數(shù),故A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B,令x=2,y=1,則”3)/(1)=/2(2)-/2(1).而/(1)=1J⑵=0,所以〃3)=-1,

故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B可知，/(3)=-1,令無=3,y=2,則/(5)/⑴=r(3)-產(chǎn)(2),所以

/(5)=1,又因?yàn)椤癤)為奇函數(shù)，所以/(-1)=-/⑴=-1,故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)B以及/(彳+2)/(尤-2)=產(chǎn)(x),可得〃7)=-1/(9)=1)(11)=-1,

所以7（24+1）=（-1）上，同理可得1（2%）=0.因?yàn)?023+4=505……3,故

2023

Z/伏）=/⑴+/（2）+/（3）=0,故D錯(cuò)誤.故選：BC

k=\

★應(yīng)用3.和差化積（積化和差）公式解決實(shí)際問題

例9.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),

可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,

設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)

艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.

⑴游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)/min后距離地面的高度為”m,求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過

程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地面的高度；

⑶若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高

度差〃（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.

（參考公式與數(shù)據(jù)：sin夕+sin。=2sincos；cos0-cos（p=-2sinsin~~~~;

jr

sin——n0.065.）

48

解析：（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)p,以軸心。為原點(diǎn)，與地面平行的直線

為無軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)"Omin時(shí)，游客甲位于點(diǎn)P（0,-55）,

以O(shè)P為終邊的角為-］JT；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min,可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為

—rad/min,由題意可得”=55sin（t----j+65,0<Z<30

151152J

(2)當(dāng)"5時(shí)，”=55$如導(dǎo)5-；+65=37.5.所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地

面的高度約為37.5m.

9jrIT

⑶如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A,B表示，則4吁丁彳經(jīng)過總后甲

距離地面的高度為d=55sin自1+65,點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A始終落后A兀rad,

24

此時(shí)乙距離地面的高度為也=55sin(^|f-等

+65,則甲、乙距離地面的高度差

兀717i13K.7171.13兀兀

h=\H-H\=55sin——t-----sin—t---------=55sin——t----+sin

l2152)15241152~24~15

0+(p0-(pTT7171

利用sin8+sin(p=2sin------cos......-可得。=110sin——sin---1------,0<Z<30.

22481548

當(dāng)親-導(dǎo)(或寺)，即小(或時(shí)，〃的最大值為71

g7.822.8)UOsin。7.2.所以，甲、

48

乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m.

★應(yīng)用4.新定義問題與應(yīng)用

例10.定義二元函數(shù)“加㈤?〃￡N*),同時(shí)滿足：①"1,1)=1；②

+=/(m,n)+2n；③〃九九+1)=%〃)+2加三個(gè)條件.

⑴求”3,1),“2,3)的值;

⑵求“祖,”)的解析式;

sinqx+sin/%+sin/x++sinax/八八\,

(3)若a"=〃l，")，S"=——,xe(O,27r).比較S“與。的大小關(guān)

axan

系，并說明理由.

附：參考公式

sinacos/3=；[sin(a+/)+sin(a-〃)];cosasin0=；[sin(a+〃)-sin(a-尸)]

cosacos尸=；[cos(a+夕)+cos(a-Q)];sinasin/?=一;[cos(a+尸)一cos(a-/7)]

解析:(1)由條件②可得〃2,l)=/(l,l)+2xl=3,〃3,l)=〃2,l)+2xl=5；

由條件③可得〃2,2)=〃2,1)+2X2=7,〃2,3)=〃2,2)+2X2=11.

(2)由條件②)可得：〃2』)=〃1,1)+2,/(3,1)="2』)+2,…〃〃=+

將上述根-1個(gè)等式相加，得/=+=由條件③可得：

/(m,2)=+,f(m,3)=/(m,2)+2m,???/(m,n)=/(m,n-1)+2m,

將上述個(gè)等式相加，得=+2見"-1)=2加-1.

(3)由(2)/(l,n)=2n-l,所以4=2〃一1,則

sinqxsin%xsmaxsiarsin3xsin(2n-l)x

3〃=---------1-----------1-----1-------n--=-------1----------1-----1-----------------

a.132n-l

ms.、「icos2x-cos4xcos(2n-2)x-cos2nx

貝I(2smx)?=]—cos2xH-------------------H—H-------------------------------

'J〃32n-l

21Jcos(2〃一2)x一cos2nx

2n-l

當(dāng)且僅當(dāng)％=兀時(shí)，cos2丘=1(左=1,2,…,上式取得等號(hào)，即xw兀時(shí)，均有(2sinx)?S〃>0,

所以，當(dāng)。<尤<兀時(shí)，S〃>0；當(dāng)兀<%<2兀時(shí)，Sn<0；當(dāng)冗=兀時(shí)，

sinn=sin3兀=…=sin(2〃-1)兀=0,所以S〃=0.

例1L設(shè)〃次多項(xiàng)式匕(。=。/+4_/—1+…+%/+印+』(4wo),若其滿足

Pn(cosx)=cosnx,則稱這些多項(xiàng)式匕⑺為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由cos。=cos。，可得切

比雪夫多項(xiàng)式1(x)=x,由cos29=2cos2g—i,可得切比雪夫多項(xiàng)式g(x)=2%2—1.

⑴若切比雪夫多項(xiàng)式月(%)=依3+汝2+6+九求實(shí)數(shù)〃，b,c,d的值；

⑵對(duì)于正整數(shù)〃之2時(shí),是否有只+G)=2%￡⑴-心］⑺成立?

⑶已知函數(shù)/(X)=8X3—6X-1在區(qū)間(-1,1)上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為玉，々，X3,

證明：%+%2+工3=0?

解析：(1)依題意，鳥(cos。)=cos38=cos(2。+8)=cos20cos0-sin20sin0

=(2cos26-l)cos6-2sin26cos6=2cos30-cos0-2(l-cos29)cos9=4cos3。一3cos。,

因止匕A(x)=4——3%,即加+加+5+1=4/_3%，貝|j〃=4,匕=^=o,。=一3；

(2)A+O=2xPn(x)-%(%)成立.只需考慮和差化積式

cos(n+1)6+cos-1)夕=2cosnO.cos0,首先有如下兩個(gè)式子：

Pn+i(cos8)=cos(+8)=cosnOcos6-sinnOsin6,

Ei(cos6)=cos(-6)=cosnOcos0+sinnOsin0,

兩式相加得，Pn-i(cos8)+Pn+[(cos6)=2cosnOcos0=2Pn(cos8)cos0,

將cos。替換為x,所以對(duì)于正整數(shù)〃之2時(shí)，Pn+\x)=2xPn(x)-Pn_^x).

(3)函數(shù)/(x)=8x3-6x-l在區(qū)間(-1,1)上有3個(gè)不同的零點(diǎn)占,馬，￡，即方程4尤3-3尤=g

在區(qū)間(-1,1)上有3個(gè)不同的實(shí)根，令彳=854。40,兀)，由(1)知cos38=g,

而Me(O,37i),貝。3。="1或36=^■或36=g,=cos^,x2=cos-^,x3=cos^,

Ti5兀7兀兀/4兀2兀、

則x,+x+x,=cos—+cos----Fcos——=cos—cos-----Fcos——,

12039999(99)

工4兀2兀(3兀兀)(3兀兀)c兀兀兀八

而cos----Feos——=cos------F—+cos--------=2cos—cos—=cos—,所以為+x,+M=0.

9999J(99)399123

三.習(xí)題演練

1.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,“X)不恒為o,且亨巾亨)，則

()

A."0)可以等于零B.的解析式可以為：/(x)=cos2x

20

C.曲線f(x-l)為軸對(duì)稱圖形D.若/⑴=1,則￡/(幻=20

左=1

2.定義在R上的函數(shù)〃x)滿足/(可+/3=(3"/(寧=則下列結(jié)論正

確的有()

A./(O)=2B.〃x)為奇函數(shù)

2024(女、

C.6是“X)的一個(gè)周期D.=4052

z=o12J

3.已知函數(shù)/(x)=sin2x-2sin_r,則()

A./(2)+/(4)<0B.當(dāng)0<x<6時(shí)，/(x)<|

C.當(dāng)3<x<4時(shí)，f(x)>f+D.當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<

4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),滿足如下條件：

①.對(duì)任意實(shí)數(shù)%>都有/(%+>)+/(尤->)=2/(尤)cosy；

/(0)=0,*)=1.

TT

貝！|f(x+2萬)+f(17T-%)-/(-)=________.

4

5.筒車(Chinesenoria)亦稱"水轉(zhuǎn)筒車".一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，

筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史.這種靠水力自動(dòng)的古老筒車，在家鄉(xiāng)

郁郁蔥蔥的山間、溪流間構(gòu)成了一幅幅遠(yuǎn)古的田園春色圖.水轉(zhuǎn)筒車是利用水力轉(zhuǎn)動(dòng)的筒車,

必須架設(shè)在水流湍急的岸邊.水激輪轉(zhuǎn)，浸在水中的小筒裝滿了水帶到高處，筒口向下，水

即自筒中傾瀉入輪旁的水槽而匯流入田.某鄉(xiāng)間有一筒車，其最高點(diǎn)到水面的距離為6m,

筒車直徑為8m,設(shè)置有8個(gè)盛水筒，均勻分布在筒車轉(zhuǎn)輪上，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做

逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)一周需要24s,如圖，盛水筒A(視為質(zhì)點(diǎn))的初始位置片距

水面的距離為4m.

⑴盛水筒A經(jīng)過ts后距離水面的高度為h(單位：m),求筒車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，h關(guān)于t

的函數(shù)=的解析式;

⑵盛水筒B(視為質(zhì)點(diǎn))與盛水筒A相鄰，設(shè)盛水筒B在盛水筒A的順時(shí)針方向相鄰處,

求盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值(結(jié)果用含兀的代數(shù)式表示)，及此時(shí)對(duì)應(yīng)的t.

/公以八一?/).ce+夕.e-<pc.6+(p.(p-e

(參考公式：sin"—sin。=2cos----sin-----,cosQ"-cos。=2sin-----sin-----)

參考答案:

1.解析：令x=y=o,可得了（°）；/（°）=/（罟）于可得〃。）=/（0）,

解得"0）=0或"0）=1,

當(dāng)/（0）=0時(shí)，則可得1亨］/=0,

則〃x）=0,與/（無）不恒為0矛盾,所以"0）=1,故A錯(cuò)誤；

令）=一彳,可得〃尤）+〃一尤）=2〃0）〃力,二〃_"=〃尤）,所以“X）為偶函數(shù)，

因?yàn)?x）=cos2x是偶函數(shù)，所以〃x）的解析式可以為：/（x）=cos2x,故B正確;

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱,

所以/（xT）關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以曲線/（x-1）為軸對(duì)稱圖形，故C正確；

令x=A+2,y=3則可得了僅+2?+〃左）=（劣丑］于（I；

所以〃八2）+/㈤=2〃k+l）?eN*,又〃2）；〃0）=/1|/|）

解得"2）=1,所以"（左）｝是以"1）=1為首項(xiàng)，0為公差的等差數(shù)列，

20

所以Z/（幻=2°，故D正確.故選：BCD.

&=1

2.解析：該函數(shù)滿足/（x）+/（y）=/（亨［f］牙［且/⑴=1,

對(duì)于A,令x=y=l,/（1）+/（1）=/（1）/（0）,解得/（0）=2,故A正確;

對(duì)于B,令尸一彳,f（x）+f（-x）=f（Q）f（x）,所以=所以為偶函數(shù),

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,令x=x+l,y=x-l,

可得〃x+l)+〃xT)=〃x),令x=x+l,可得〃x+2)+〃x)=〃x+l),

將兩式相加得：/(x+2)+/(x-l)=0,所以〃x+2)=-〃x-l),

所以〃x+3)=-〃x),所以〃尤+6)=-〃x+3)=/(x),

因此，6是〃x)的一個(gè)周期，故C正確；

對(duì)于D,令x=3y=0,/(fc)+/(O)=/41\所以=+

2024(女、2024

所以不=￡[〃無)+2]"(O)+〃l)+…+1(2024)+2x2025,

k=0JZ=0

因?yàn)?0)=2,f(l)=l,因?yàn)椤▁+2)+〃尤一1)=0,令尤=0,/(2)+/(-1)=0,所以

/(2)=-/(1)=-1,令尤=1,/(3)+/(0)=0,所以〃3)=-2,令x=2,/(4)+/(1)=0,

所以〃4)=-1,令x=3,/(5)+/(2)=0,所以"5)=1,由于6是〃x)的一個(gè)周期，所

以

/(0)+/(1)+---+/(2024)=337[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)]+/(0)+/(1)+/(3)=2

2024/r\2024

，所以3/2彳=￡[/(無)+2]=/(。)+/(1)+…+/(2024)+2X2025=2+405()=4()52，

k=012/k=G

故D正確；故選：ACD

3解析:對(duì)于A,

/(2)+/(4)=sin4-2sin2+sin8-2sin4=sin8-sin4-2sin2=sin8+sin(-4)-2sin2,

由和差化積公式:sinx+siny=2sincosX得：

2

sin8+sin(-4)-2sin2=2sin2cos6-2sin2=2sin2(cos6-l)=-4sin2sin3z

ion

其中sinl=sin—?sin570,故sin2>0,sin3>0,所以一4sinZsin?3<0,即〃2)+“4)<0,A正

確;

對(duì)于B,對(duì)求導(dǎo),f'(x)=2cos2x-2cosx=2(2cos2x-cosx-1)=2(2cosx+1)(cosx-1),

4兀2兀4兀

在（0,2兀）上，令f，（x）V0得％￡,2兀，令f，（x）>0得％￡

T5T

和（t，2d單調(diào)遞減，在2兀4兀

所以“X）在單調(diào)遞增,

4兀42x3A/354兀,,

故“X）在區(qū)間（0,2兀）上的最大值為f且不<6,故B錯(cuò)俁;

2

2兀4兀

對(duì)于C,當(dāng)工￡時(shí)單調(diào)遞增，故/（x）在（3,4）上單調(diào)遞增,

而當(dāng)xe（3,4）時(shí),§+2U(3,4),且1+2<x,故/'^+2j<"x),C正確;

，吟3

17xj=sin2x-2sinx<sin—2x)—2sin17

對(duì)于D,/(%)</--x

(17)17

=sin2x-sin-----2x<2sim:-sin——x

I2)

.c/170

U>sm2x+sm2x---<2

I2由和差化積公式:

..%+yx-y

SUIT+siny=2sin----cos-----

22

0434-14/_43

工4I8；I叫8；<工8人I上8)］因?yàn)?＜無＜2,所以

＜0,所以

而Age'U'E，。］,

17