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寒假作業(yè)02三角形有關(guān)的角與多邊形的內(nèi)角和

1.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形相鄰兩邊的夾角.每個內(nèi)角均大于0。且小于180。.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

(3)兩個角互余的三角形是直角三角形.

2.三角形的外角性質(zhì)

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

(2)三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°.②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的

和.③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

3.多邊形

(1)多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

(2)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

(3)正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

4.多邊形內(nèi)角與外角

(1)多邊形內(nèi)角和定理：(〃-2)?180。(論3且w為整數(shù))；

(2)多邊形的外角和等于360。.

M鞏固提升練

1.已知在直角AABC中，NC為直角，是NA的2倍，則NA的度數(shù)是()

A.30°B.50°C.70°D.90°

【答案】A

【解析】設(shè)ZA=x,則N3=2ZA=2x,

由題意得：ZA+ZB=90°,即x+2x=90。，解得x=30。，即NA=30。，故選A.

2.下列說法錯誤的是()

A.多邊形是平面圖形，平面圖形不一定是多邊形

B.四邊形由四條線段組成，但四條線段組成的圖形不一定是四邊形

C.多邊形是一個封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形

D.多邊形是三角形，但三角形不一定是多邊形

【答案】D

【解析】A.由不在同一直線上的幾條線段首尾順次相連所組成的封閉平面圖形叫多邊形，所以多邊形是平

面圖形，平面圖形不一定是多邊形，故本選項正確，不符合題意；

B.在同一平面內(nèi)，由四條線段首尾順次相接組成的封閉圖形是四邊形，四邊形由四條線段組成，但四條線

段組成的圖形不一定是四邊形，故本選項正確，不符合題意；

C.多邊形是一個封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形，例如圓，故本選項正確，不符合題意；

D.多邊形構(gòu)成要素：組成多邊形的線段至少有3條，三角形是最簡單的多邊形，本選項錯誤，符合題意；

故選D.

3.一個多邊形從一個頂點可引出7條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】A

【解析】設(shè)該多邊形為“邊形，???從w邊形的一個頂點引對角線條數(shù)為：w-3,

'.n-3=7,解得：w=10.故選A.

4.湖南革命烈士紀(jì)念塔是湖南烈士公園的標(biāo)志性建筑，塔于1959年建成，以紀(jì)念近百年為人民解放事業(yè)

獻(xiàn)身的革命先烈，塔底平面為八邊形，這個八邊形的內(nèi)角和是（）

A.720°B.900°C.1080°D.1440°

【答案】C

【解析】（n-2）*180=（8-2）xl80°=1080°.

故這個八邊形的內(nèi)角和是1080。.故選C.

5.在現(xiàn)實生活中，鋪地最常見的是用正方形地板磚，某小區(qū)廣場準(zhǔn)備用多種地板磚組合鋪設(shè)，則能夠選擇

的組合是（）

A.正六邊形，正八邊形B.正方形，正七邊形C.正五邊形，正六邊形D.正三角形，正方形

【答案】D

【解析】?.?正三角形的每個內(nèi)角是60。，正方形的每個內(nèi)角是90。，

正五邊形的每個內(nèi)角是108。，正六邊形的每個內(nèi)角是120。，正七邊形的每個內(nèi)角是1―=]〒.

正八邊形的每個內(nèi)角是180。-360。+8=135。，...能夠組合的是正三角形，正方形，故選D.

6.已知在中，ZC=56°,點。在線段54的延長線上，過點。作。尸，3C,垂足為P,若403=20。，

則的度數(shù)為（）

A.76°B.65°C.56°D.54°

【答案】D

【解析】?/DFA.BC,ZDFB=90°,在中，?.?NFD8=20°,.?./8=180°-90°-20°=70°,

在△ABC中，?.?NC=56°,.-^045=180°-70°-56°=54°,故選D.

7.如圖，N1為△ABC的一個外角，點E為邊AB上一點，延長C4到點尸，連接砂，則下列結(jié)論錯誤

的是(

A.Z2>Z3B.Z1=Z2+ZBC.ZF>ZSD.Z1>Z3+ZF

【答案】C

【解析】；/2=/3+/歹，，N2>N3,故A選項正確，不符合題意；

由三角形外角性質(zhì)即可直接得出N1=N2+N8,故B選項正確，不符合題意；

沒有條件可以證明出D3和NR的關(guān)系，故C選項錯誤，符合題意；

VZ1=Z2+ZB,Z2=Z3+ZF,Z1=Z3+ZF+ZB,

.*.Z1>Z3+ZF,故D選項正確，不符合題意.故選C.

8.在“02中，B0=A0,。尸交AB于點C,量角器的擺放如圖所示，貝吐8cp=()

A.80°B.90°C.85°D.95°

【答案】C

【解析】'：BO=AO,ZAOB=130°,：.ZCAO=25°,

又：/AOP=70°,AZBCP^ZACO^180°-ZCAO-/AOC=180。-25°-70°=85°,故選C.

9.如圖，把一副七巧板按如圖所示進(jìn)行①?⑦編號，①?⑦號分別對應(yīng)著七巧板的七塊，如果編號①對應(yīng)的

面積等于2,則由這副七巧板拼得的“天鵝”的面積等于.

【答案】16

【解析】由七巧板的原理可設(shè)⑤，⑥的面積為無，則②，③的面積為4x,①的面積為2x,④的面積為2x,

⑦的面積為2x,,①對應(yīng)的面積等于2,即2x=2,則x=l,

，這副七巧板拼得的“天鵝”的面積等于x+無+4x+4x+2x+2x+2x=16x=16,故答案為：16.

10.如圖，把八45。紙片沿。E折疊，使點B落在圖中的8'處，設(shè)ZgEC=/l,/BD4=/2.若

4=25。，貝U/2—/1=

【答案】50

【解析】?:/B=25°,；.NB=NB=25。,

?.?/3=/l+C=/l+25°,

.?.Z2—Nl=50°,故答案為50.

11.用兩種方法證明“三角形的外角和等于360?！比鐖D，/BAE、NFBC、NQCA是AABC的三個外角.

求證：ZBAE+ZFBC+ZDCA=360°.

（1）第一種思路可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭?

(2)根據(jù)第二種思路，完成證明.

第二種思路：在圖中添加輔助線，

將三角形的三個外角“集中”到同

一頂點處，證明它們的和是360.

【解析】(1)①NBAC+NABC+NACB=180。；②ZBAC；③ZACB,④三角形的外角等于與它不相鄰的兩

個內(nèi)角的和.

提示：①根據(jù)后面推論可以推測是根據(jù)三角形內(nèi)角和，故答案為：ZBAC+ZABC+ZACB=180°；

②根據(jù)左右兩邊的等式可以推測是根據(jù)外角的性質(zhì)，填寫NFBC=Z&4C+N4cB,故答案為：ZBAC,

③ZACB,④三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

(2)過8作/〃AC,ZEAB=ZMBF,ZECD=ZMBC,

,/ZFBC+ZMBF+ZMBC=360°,ZBAE+ZFBC+ZDCA=360°.

12.【相關(guān)概念】將多邊形的內(nèi)角一邊反向延長，與另一條邊相夾形成的那個角叫做多邊形的外角.如圖，

將AA8C中/AC8的邊CB反向延長，與另一邊AC形成的/ACD即為AACB的一個外角.三角形外角和與

三角形內(nèi)角和對應(yīng)，為與三個內(nèi)角分別相鄰的三個外角的和.

【求解方法】借助一組內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可以求出三角形的外角和.

如圖，國ABC的外角和=(180°-ZACB)+(180°-/CAB)+(180°-/ABC)=540。-(ZACB+ZABC+

/CAB)=540°-180°=360°.

【自主探究】根據(jù)以上提示，完成下列問題：(1)將下列表格補(bǔ)充完整.

(2)如果一個八邊形的每一個內(nèi)角都相等，請用兩種不同的方法求出這個八邊形一個內(nèi)角的度數(shù).

【解析】(1)內(nèi)角和分別為：四邊形內(nèi)角和是(4-2)x180°=360°,

五邊形內(nèi)角和是(5-2)xl80°=540°,〃邊形內(nèi)角和是(n-2)180°；

外角和分別為：360。、360°,360°.

故答案為:360。、540。、(〃-2)180°,360。、360。、360°；

(2)這個八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)是：

方法一：(8-2)xl80°+8=135°,方法二：180°-360°^8=135°.

*2能力培優(yōu)練

13.如圖，在△ABC中，ZF=16°,BD、CD分別平分NABC、ZACB,M、N、。分別在￡)5、DC、

的延長線上，BE、CE分別平分/MB。、NBCN,BF、。尸分別平分ZEfiC、NECQ,則

Z.A=?

A

【答案】52°

【解析】BF、CF分別平分NEBC、ZECQ,Z5=Z6,N2=N3+N4,

?.?Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE',

即N2=Z5+N產(chǎn)，2N2=2Z5+NE,，2ZF=NE=32°,

■.■BE,CE分別平分/MB。、ZBCN,

Z5+Z6=|zMfiC,Z1=；NNCB,N5+N6+N1=；(/MBC+NNC3),

ZE=180°-(Z5+Z6+Zl)=32°,/.Z5+Z6+Z1=148°,/.ZMBC+ZNCB=2(Z5+Z6+Zl)=296°,

QBD、CD分別平分/ABC、ZACB,

ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

/.NO3C+ZDC8=180O-NM8C+180O-NNCB=360O-(NMBC+NNC8)=64。，

ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-2(ZDBC+ZDCB)=52°,故答案為：52°.

14.如圖1,ZAXBC,ZAC”的角平分線84、C4相交于點4.

(1)如果N4=64。，那么/人的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空;

(2)如圖2,乙4,=64。，如果N48C,的角平分線區(qū)43、C4相交于點&,請直接寫出N4

度數(shù)；

(3)如圖2,重復(fù)上述過程，^AniBC,NATCM的角平分線34、C。相交于點A“得到NA〃，設(shè)

/A=＞，請用。表示的度數(shù)（直接寫出答案）.

解：（1）結(jié)論：/4=度.

說理如下：因為C4平分NA13C和NAOW（己知），

所以NABC=2N1,乙41cM=2/2（角平分線的意義）.

因為NACAf=NABC+NA,N2=N1+N&（）,

（完成以下說理過程）

【解析】（1）結(jié)論：幺=32。.理由如下：

BA,C4分別平分NAjBC和NACM（已知）一

Z^BC=2Z1,ZA,CM=2Z2（角平分線的定義），

-Z^CM=ZAlBC+ZAl,N2=N1+N4（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），

NA=Z^CM-Z^BC,N&=N2—N1（等式性質(zhì)），

NA=2N2—2N1=2N4（等量代換），N&=32。.

（2）4=16。.

提示：?.?N4BC,的角平分線84、C4相交于點A3，

/.ZABC=2ZA3BM,ZA.CM=2ZA.CM（角平分線的定義），

VZA.CM=Z45C+Z4，ZA3CM=ZA3BM+ZA3（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角

的和），

ZA,=Z^CM-ZA.BC,ZAi=ZAiCM-ZA^BM（等式性質(zhì)），

N4=2ZA.CM-2ZA3BM=2N4（等量代換），；.NA,=16°.

（3）4=（干?

0

提示：?.?NA=64°,Z4=32°,N4=16°,.?.當(dāng)/4=。。時，NA〃=（F）°.

15.如圖1,已知NMON=60。，A,8兩點同時從點。出發(fā)，點A沿射線&V運動，點8沿射線ON運動.

M.M.M.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,點C為△ABO三條內(nèi)角平分線的交點，連接3C,在點A,8的運動過程中，/ACB

的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請說明理由;

（2）如圖3,在（1）的條件下，連接OC并延長，與的平分線交于點P,與AB交于點Q.

①一尸與的數(shù)量關(guān)系為

②在△3CP中，如果有一個角是另一個角的2倍，求/BAO的度數(shù).

【解析】（1）的度數(shù)不變，理由如下：

???點C為/XABO三條內(nèi)角平分線交點，.?.NC7M=；NO8A,ZCAB^^ZOAB,

ZCBA+ZCAB=1ZOBA+1ZOAB=1(ZOBA+NOAB),

ZMON=60°,ZOBA+ZOAB=120°,

ZCBA+ZCAB=60°,ZACB=120°,

即ZACB的度數(shù)不變.

(2)①???點C為△ABO三條內(nèi)角平分線交點，.?.ZBQ4=2ZBOP,ZBAO=2ZBAC,

：.ZMBA=ZBOA+ZBAO=60°+ZBAO,

?.?8尸為NABM的平分線，;.ZMBA=2ZMBP,：.&)°+ZBAO=2ZMBP,

■：ZMBP=ZBOP+ZP=30°+ZP,‘°+”胡°=3()o+“,

2

整理得：ZBAO=2ZP.

②設(shè)NO54=m,貝=ZBAO=120°-m,

?.?3尸為NABM的平分線，ZABP=90°

?.?NMON=60。，點C為△ABO三條內(nèi)角平分線交點，

:.ZABC=-m,Z.BCP=ZBOC+ZOBC^30°+-m,ZCBP=ZABC+ZABP=90°,

22

.-.ZP=1800-ZCBP-ZBCP=60°--m,

2

△BCP中有一個角是另一個角的2倍，分四種情況：

(a)ZCBP=2ZBCP,貝l|90°=2(30°+；川)，

解得〃2=30。，止匕時44。=120。-〃z=90。;

(b)NCBP=2NP,貝lj90°=2(60°-J機(jī))，

解得m=30°,此時ZBAO=120°一利=90。；

(c)ZBCP=2ZP,貝l|30°+：〃z=2(60°-J〃z),

解得m=60°,此時N&40=120。一利=60。；

(d)NP=2ZBCP,貝lj60°-；〃z=2(30°+；%),

解得/"=。。，故舍去，

...ABCP中有一個角是另一個角的2倍，則NA4O為90?；?0。.

W3拓展突破練

16.閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣

的三角形我們稱為“夢想三角形”，例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是120°，40°，20°，這個三角形

就是一個“夢想三角形”.反之，若一個三角形是“夢想三角形"，那么這個三角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)

角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍.

（1）如果一個“夢想三角形”有一個角為108°，那么這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為.

（2）如圖，已知NMON=60°，在射線0M上取一點A,過點A作交ON于點3,以A為端

點作射線A。，交線段0B于點C（點C不與。、3重合），若NACfi=80。，判定△495、△AOC是

否是“夢想三角形"，為什么？

【解析】（1）36。或18。.

提示：當(dāng)108。是三角形的一個內(nèi)角的3倍時，則這個內(nèi)角為36。，第三個內(nèi)角也是36。，故最小的內(nèi)角是36。；

當(dāng)另外兩個內(nèi)角是3倍關(guān)系時，則另外兩個內(nèi)角分別為：54。，18。，故最小的內(nèi)角是18。.

故答案為:36?；?8。.

（2）結(jié)論：AAOB，△49C都是“夢想三角形”.

理由：-.-ABLOM,：.ZOAB^9Qa，ZABO=900-ZMON=30°.

NOLB=3NABO,.?.△A05是“夢想三角形”，

ZMON=60°>ZAC3=80°，ZACB=ZOAC+AMON.

ZOAC=80°-60°=20。，.?.ZAOB=3AOAC,:.^AOC是“夢想三角形

17.如圖1,赤道式日號是中國古代最經(jīng)典和傳統(tǒng)的計時儀器，由底座、號面、號針三部分組成，其中底坐

面與日辱所處地球半徑垂直，其示意圖如圖2.

(1)號針與唇面夾角為;

(2)如圖2,日辱所處緯度a為50°,若太陽光(平行光)與日唇底座面夾角為60°,則太陽光與該號面

所夾的銳角度數(shù)為.

【解析】⑴90°.

提示：根據(jù)題意號面與赤道平行，地軸與赤道垂直，，地軸與劈面垂直,

又???唇針與地軸平行，，劈針與唇面垂直.即劈針與號面夾角為90。.

(2)20°.

提示：可將題干中圖簡化為如圖:

根據(jù)題意結(jié)合圖形可知：AB//CD,GO1EF,ZAOG=50°,NEIJ=60。.

???AB//CD,/.ZAOG+ZCHO=180°,即50°+NCW=180°,

AZCHO=13Q°,gpZJH/=130°.

,/NEIJ=60°,ZJIH=90°-60°=30°.

ZIJH=180°-ZJIH-ZJHI=180°-30°-130°=20°.

ZKJC=NIJH=20°.即太陽光與該號面所夾的銳角度數(shù)為20。.

W3仿真考場練

18.（2023?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出cobb角/O的大

小，需將NO轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與/O相等的角是（）

A.ZBEAB.NDEBC.ZECAD.ZADO

【答案】B

【解析】由示意圖可知：△DOA和都是直角三角形，

:.ZO+ZADO=90°,NDEB+ZADO=90°,:"DEB=NO,故選B.

19.（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=AC,ZB=20°,點。是邊BC上的動點,

將三角形紙片沿AD對折，使點8落在點"處，當(dāng)？DL3C時，—54。的度數(shù)為.

【答案】25?；?15。

【解析】由折疊的性質(zhì)得：ZADB'=ZADB.,：B'D±BC,：.ZBDB'=90°.

①當(dāng)夕在BC下方時，如圖，ZADB+ZADB'+ZBDB'=360°,

ZADB=|x(360°-90°)=135°,/.ZBAD=180°-ZB-ZADS=25°；

②當(dāng)8'在8C上方時，如圖,

"?ZADB+ZADB'=9Q0,ZADB=-x90°=45°,/.ZBAD=1800-ZB-ZADB=115°.

2

綜上，44￡）的度數(shù)為25?；?15。.故答案為：25?；?15。.

20.（2021?河北中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與3D的交點為C,且NA，SB,

NE保持不變.為了舒適，需調(diào)整ND的大小，使NE7Z>=110。，則圖中ND應(yīng)___________（填“增加”

或“減少”）__________度.

【答案】減少，10

【解析】VZA+ZB=50°+60°=110o,：.ZACB=180°-110o=70°,:.NDCE=70°,

如圖，連接CP并延長,

二ZDFM=ZD+ZDCF=2Q0+ZDCF,ZEFM=ZE+ZECF=3O°+ZECF,

：.ZEFD=ZDFM+ZEFM=20°+ZDCF+300+ZECF=5O°+ZDCE=5O°+yO°=120°,

要使NEF￡)=110。，則NEfD減少了10。，若只調(diào)整/。的大小，

由ZEFD=ZDFM+NEFM=ZD+ZDCF+ZE+ZECF=