專題05概率與統(tǒng)計

放回簡單隨機抽樣

簡單隨機抽樣＜不放回簡單隨機抽樣

簡單隨機抽樣把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻

抽簽法后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個樣本容量為n的樣本

隨機數表法利用隨機試驗或信息技術生成的隨初數進行抽樣

分層隨機抽樣的定義

分層隨機抽樣比例分配如果每層的大小成比例

分題樣的步驟分層-計算抽樣比一定數-抽樣-成樣

分層抽樣的相關計算關系

統(tǒng)計頻率分布直方圖的畫法

頻率

頻率分布直方圖，1出方形的面積理距X麻率

所有小長方形的面積和等于1

頻率分布防圖的特點

所有小長方形的高的和■靠

d※方形的高

第通分位數定義

按從小到先例原始數據

用樣本估計總體總體百分位數

計算，=〃卬％.

求解步驟

若壞是球，而大于i的比鄰朝為j,貝悌p百分位數為第j項數據

若7是壯，貝悌p百分位數為第i項與第(i+1)項數據的平均數.

總體集中趨勢的估計譚、中皿平均數

方卓S述一組數圍繞平均數的波動大小

總體離散期的估計

有限樣本空間的定義

有限樣本空間與隨機時間/----------------------

<1隨機事件：隨機事件、必然事件、不可能事件

互斥(互不相容)：事件A與事件B不能同時發(fā)生

,互為對立：割牛A與割牛B在眄一次魄中有且僅有Y雄

事件的關系和運算y包含關系：若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生

隨機事件與概率,并事件(和事件)：事件A與事件B至少有一^生

V交事件(積事件)：事件A與事件B同時發(fā)生

有限性：樣本空間的樣本點只有有限個

古典概型/---------------------------------------

-----------<等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等

,古典概型與概率的基本性質尸(H)=t=匹2

古典概型的概率計算公式〃

概率的基本性質

相互獨立事件對于任意兩個事件懈B,如果P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A與B互相獨立

事件的相互獨立性

\相互獨立事件的概率計算公式表

隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，

頻率的穩(wěn)定性即事件A發(fā)生的頻率口勺會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)

頻率與概率頻率的求法當n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個穩(wěn)定值是概率.

頻率與概率的區(qū)別與聯系

?@?0

知識點1:簡單隨機抽樣

1、簡單隨機抽樣

(1)放回簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取幾(l<n<N)

個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣

的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣.

(2)不放回簡單隨機抽樣：如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概

率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.

2、抽簽法

(1)定義：把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從

中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個樣本容量為n的樣本.

(2)抽簽法的操作步驟：

第一步，編號：將N個個體編號(號碼可以從1到N,也可以使用已有的號碼).

第二步，寫簽：將N個號碼寫到大小、形狀相同的號簽上.

第三步，抽簽：將號簽攪拌均勻，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)不放回地抽取幾次，并記錄其編號.

第四部，定樣：從總體中找出與號簽上的號碼對應的個體，組成樣本.

3、隨機數法

（1）定義：利用隨機試驗或信息技術（即計算器、電子表格軟件和R統(tǒng)計軟件）生成的隨機數進行抽樣.

（2）隨機數表法步驟：

①把總體中的每個個體編號.

②用隨機數工具產生編號范圍內的整數隨機數.

③把產生的隨機數作為抽中的編號，使與編號對應的個體進入樣本。重復上述過程，知道抽足樣本所需要

的數量.

知識點2：分層隨機抽樣

1、分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于

一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣

本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.

2、比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為

比例分配.

3、分層隨機抽樣的步驟

（1）分層：按某種特征將總體分成若干部分（層）；

（2）計算抽樣比：抽樣比k=段碧；

總體容量

（3）定數：按抽樣比確定每層抽取的個體數；

（4）抽樣：每層分貝按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本

（5）成樣：綜合各層抽樣，組成樣本.

4、分層隨機抽樣的相關計算關系：

樣本容量"該層抽取的個體數

⑴總體的個數N—該層的個體數：

（2）總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比.

（3）樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系為：不=3一++=匯4+供?.

m-\~nm~\~nM~\~N

知識點3：用樣本估計總體

1、頻率分布直方圖

（1）列出樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：

①計算極差：找出數據的最大值與最小值，計算它們的差;

極差

②決定組距與組數：當樣本容量不超過100時，按照數據的多少分成5~12組，且組距=

福;

③將數據分組：通常對組內數值所在區(qū)間區(qū)左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；也可以將樣本數據多

取一位小數分組.

④列頻率分布表：對落入各小組的數據累計，算出各小數的頻數，除以樣本容量，得到各小組的頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數據的值為橫坐標，以磊的值為縱坐標繪制直方圖.

組距

（2）頻率分布直方圖的特點：

頻率

①小長方形的面積=組距X=頻率,

麗

②所有小長方形的面積和等于1,

③小長方形的高=熏，所有小長方形的高的和=&.

組距組距

2、總體百分位數的估計

（1）第p百分位數的定義：一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有儂

的數據小于或等于這個值，且至少有（100—p）%的數據大于或等于這個值.

（2）計算一組〃個數據的第p百分位數的步驟

第1步，按從小到大排列原始數據.

第2步，計算i=nxp0/o.

第3步，若，不是整數，而大于i的比鄰整數為則第p百分位數為第2項數據；

若i是整數，則第p百分位數為第i項與第（i+1）項數據的平均數.

3、總體集中趨勢的估計

（1）眾數：在樣本數據中，出現次數最多的那個數據；

（2）中位數：將樣本數據按大小順序排列，若數據的個數為奇數，則最中間的數據為中位數，

若樣本數據個數為偶數，則取中間兩個數據的平均數作為中位數.

（3）平均數：設樣本的數據為石，尤2，，%,則樣本的算術平均數為元=、+/++%；

4、總體離散程度的估計

用樣本的標準差估計總體的標準差

（1）數據的離散程度可以用極差、方差或標準差來描述；

（2）極差（又叫全距）是一組數據的最大值和最小值之差，反映一組數據的變動幅度;

（3）樣本方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大??；

一般地，設樣本的數據為尤「9,>xn,樣本的平均數為無，

定義樣本方差為s?=.—君？+（%一制+（x.一丁7；

n

簡化公式：/=—[（片+x；++—nx2]=—（%；+%；++x^）—x2

nn

（方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方）

（4）樣本的標準差是方差的算術平方根.

樣本標準差S=一為2+一丁）2++（%工,

s>0?

Vn

標準差越大數據離散程度越大，數據越分散；標準差越小，數據集中在平均數周圍.

知識點4：隨機事件與概率

1、有限樣本空間與隨機事件

（1）有限樣本空間：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，用。表示樣本點；全體樣本點

的集合稱為試驗E的樣本空間，用a表示樣本空間；如果一個隨機試驗有W個可能結果。1，。2，…，叫,

則稱樣本空間a=｛劭,初，…，為有限樣本空間，a=｛g,。2,…，叫｝

（2）隨機事件：我們將樣本空間o的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基

本事件.隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，

稱為事件A發(fā)生；0作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以a

總會發(fā)生，我們稱a為必然事件；空集。不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱。為不可能

事件。

2、事件的關系和運算

（1）互斥（互不相容）:一般地，如果事件A與事件2不能同時發(fā)生，也就是說Ang是一個

不可能事件，即AnB=0,則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）

（2）互為對立：一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，

即AU2=a,且Ang=0,那么稱事件A與事件B互為對立.事件A的對立事件記為了

（3）包含關系：一般地，若事件A發(fā)生，則事件2一定發(fā)生，我們就稱事件8包含事件A

（或事件A包含于事件B）,即B24（或A￡B）.

特殊情形：如果事件8包含事件A,事件A也包含事件8,即且則稱事件A與

事件8相等，記作A=8.

（4）并事件（和事件）：一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的事件中的樣本點

或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）AU8（或A+2）

（5）交事件（積事件）：一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在

事件A中，也在事件B中，則稱這樣的事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）AC2（或AB）

4、古典概型與概率的基本性質

（1）古典概型的定義：我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型,

簡稱古典概型.

有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

（2）古典概型的概率計算公式：一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含n個樣本點，事件A包

含其中k個樣本點，則定義事件A的概率以人)=：=嘿，其中n(A)和n(。)分別表示事件A和樣本空間Q

1114乙J

包含的樣本點個數.尸(A)=K=M8

nn(Ci)

(3)概率的基本性質

性質1：對任意的事件A,都有P(A)K).

性質2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(O)=1,尸(。)=0.

性質3：如果事件A與事件8互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(2).

性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1—P(8).

性質5：如果那么P(A)WP(B).

性質6：設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AU8)=尸(A)+P(8)—P(AnB).

知識點5：事件的相互獨立性

1、相互獨立事件的：對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=P(A)PCB)成立，則稱事件A與事件2相互獨

立，簡稱為獨立.

2、性質及推廣：

如果事件A與事件B相互獨立，則A與石，3與3,1與m也都相互獨立.

兩個事件的相互獨立可以推廣到n(n>2,N*)個事件的相互獨立性,即若事件A，A，…，4相互獨立，

則這〃個事件同時發(fā)生的概率尸(A&-4)=P(A)P(&>尸(4).

3、相互獨立事件的概率計算公式

已知兩個事件A,B相互獨立，它們的概率分別為尸(A),P(B),則有

事件表示概率

A,B同時發(fā)生ABP(A)P(B)

48都不發(fā)生ABP(A)P(S)

A,8恰有一個發(fā)生(回-網P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,B中至少有一個發(fā)生(砌網1(明P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,8中至多有一個發(fā)生(AB)J(AB)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

知識點6：頻率與概率

1、頻率的穩(wěn)定性：大量的試驗證明，在任何確定次數的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機

性.一般地，隨著試驗次數〃的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率%(A)會逐漸穩(wěn)定

于事件A發(fā)生的概率尸(A),我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.因此我們可以用頻率加A)估計概率尸(A).

2、頻率的求法：頻率是事件A發(fā)生的次數機與試驗總次數w的比值，利用此公式可求出它們的頻率，

頻率本身是隨機變量，當〃很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個穩(wěn)定值是概率.

3、頻率和概率區(qū)別和聯系

區(qū)別：(1)在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數

磔為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例%(A)=與為事件A出現的頻率.

(2)概率是度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的量

(3)頻率是一個變量，隨著試驗次數的變化而變化，概率是一個定值，是某事件的固有屬性.

聯系：對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率力(A)隨著試驗次數的增加穩(wěn)定于概率尸(A),因此可

以用頻率力(A)來估計概率P(A).

?題型歸納

【題型1兩種隨機抽樣的判斷】

滿分技法

1、簡單隨機抽樣：從總體中隨機選擇樣本，每個樣本被選中的概率是相同的。每個單位被選中的機會

是均等的，抽樣過程不涉及對總體的分組，適用于總體相對均勻的情況。

2、分層隨機抽樣：首先將總體分成不同的層或組，這些層在某些特征上是同質的，然后在每一層內

進行簡單隨機抽樣?？傮w被分成多個層，每層內部具有相似的特征。每一層的樣本大小可以相同，也可以

根據層的大小或重要性進行調整。可以提高樣本的代表性。

1.(23-24高一下.江蘇無錫?月考)在簡單隨機抽樣中，下列關于其中一個個體被抽中的可能性說法正確的

是()

A.與第幾次抽樣有關，第一次抽到的可能性更大一些

B.與第幾次抽樣有關，最后一次抽到的可能性更大一些

C.與第幾次抽樣無關，每次抽到的可能性都相等

D.與第幾次抽樣有關，第一次抽到的可能性更小一些

【答案】C

【解析】在簡單隨機抽樣中，每個個體每次被抽中的可能性都相等，

與第幾次抽樣無關，A,B,D錯誤，C正確.故選：C

2.(23-24高一下?全國?專題練習)為了保證采用分層隨機抽樣方法時每個個體被等可能地抽取，必須要求

A.每層等可能抽取

B.每層抽取的個體數相等

C.每層抽取的比例為2（其中〃為抽取的樣本容量，N是總體容量）

N

D.只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個體數沒有限制

【答案】C

【解析】分層隨機抽樣時，在各層中按層中所含個體在總體中所占的比例進行抽樣，

A中，雖然每層等可能地抽樣，但是沒有指明各層中應抽取幾個個體，故A不正確；

B中，由于每層的個體數不一定相等，每層抽取同樣多的個體數，

顯然從總體來看，各層的個體被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正確；

C中，按照這個比例抽取，對于每個個體來說，被抽取為樣本的可能性是相同的，故C正確;

D顯然不正確.故選：C.

3.（23-24高一下.全國.專題練習）①一次數學考試中，某班有12人的成績在100分以上，30人的成績在

90?100分，12人的成績低于90分，現從中抽取9人了解有關考試題目難度的情況；②運動會的工作人員

為參加4x100m接力賽的6支隊伍安排跑道.針對這兩件事，恰當的抽樣方法分別為（）

A.分層隨機抽樣，簡單隨機抽樣

B.簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣

C.簡單隨機抽樣，分層隨機抽樣

D.分層隨機抽樣，分層隨機抽樣

【答案】A

【解析】①中，考試成績在不同分數段之間的同學有明顯的差異，用分層隨機抽樣比較恰當；

②中，總體包含的個體較少，用簡單隨機抽樣比較恰當.故選：A

4.（2023?湖南岳陽?模擬預測）現有以下兩項調查：①從40臺剛出廠的大型挖掘機中抽取4臺進行質量檢

測；②在某校800名學生中，。型、A型、8型和48型血的學生依次有300,200,180,120人.為了研究血型與

色弱的關系，需從中抽取一個容量為40的樣本.完成這兩項調查最適宜采用的抽樣方法分別是（）

A.①②都采用簡單隨機抽樣

B.①②都采用分層隨機抽樣

C.①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣

D.①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣

【答案】C

【解析】由題意對于①，40臺剛出廠的大型挖掘機被抽取的可能性一樣，故為簡單隨機抽樣,

對于②，為了研究血型與色弱的關系，

說明某校800名學生被抽取的可能性要按照血型比例分層抽取，故為分層隨機抽樣.故選：C.

【題型2隨機數表法的應用】

滿分技法

應用隨機數表法的兩個關鍵點：

1、確定以表中的哪個數（哪行哪列）為起點，以哪個方向為讀數的方向；

2、讀數時注意結合編號特點進行讀取.若編號為兩位數字，則兩位兩位地讀??；若編號為三位數字，則三

位三位地讀取，有超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本.

5.（23-24高一下.江蘇連云港.期末）總體編號為01,02,…，29,30的30個個體組成.利用下面的隨機

數表選取6個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第3列和第4列數字開始由左到右依次選取兩個數字，

則選出來的第6個個體的編號為（）

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

A.02B.14C.15D.16

【答案】B

【解析】選取方法是從隨機數表第1行的第3列和第4列數字開始由左到右依次選取兩個數字，

則選出來的個體的編號為16,15,72（舍去）,08,02,63（舍去），15（舍去），

02（舍去），16（舍去），43（舍去），19,97（舍去），14.

故選出的第6個個體編號為14.故選：B.

6.（23-24高一下?云南玉溪?月考）某工廠用簡單隨機抽樣中的隨機數法對生產的700個零件進行抽樣，先

將700個零件進行編號，001,002,……,699,700.從中抽取70個樣本，下圖是利用軟件生成的隨機數，只需

隨機選定一個初始位置和方向開始讀數，每次讀取一個3位數，只要讀取的號碼落在編號范圍內，該號碼

就是所抽到的樣本編號，這樣即可獲得70個樣本的編號，注意樣本號碼不能重復.若從表中第2行第6列的

數2開始向右讀取數據，取到的第一個樣本編號是253,則得到的第6個樣本編號是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.007B.328C.253D.623

【答案】D

【解析】依題意可得抽取的樣本編號依次為：253,313,457,007,328,623,

所以第6個樣本編號是623.故選：D

7.（23-24高一下.江蘇常州?月考）現利用隨機數表法從編號為00,01,02,…，18,19的20支水筆中隨

機選取6支，選取方法是從下列隨機數表第1行的第9個數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來

的第6支水筆的編號為.

952260004984012866175168396829274377236627096623

925809564389089006482834597414582977814964608925

【答案】14

【解析】由題意可知，第一支為01,以后依次為17,09,08,06,14,

所以第6支水筆的編號為14.故答案為：14

8.（23-24高一下.河北邢臺?月考）要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進行實驗，

利用隨機數表法抽取種子，先將850顆種子按001,002,850進行編號，如果從隨機數表第2行第2

列的數開始并向右讀，下列選項中屬于最先檢驗的4顆種子依次是.

（下面抽取了隨機數表第1行至第3行）

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97749467744281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

【答案】774,428,114,572

【解析】依據題意可知：向右讀數依次為：774,946,774,428,114,572,042,533,L,

所以最先檢驗的4顆種子符合條件的為：774,428,114,572.

故答案為：774,428,114,572.

【題型3分層抽樣的相關計算】

滿分技法

解決分層抽樣的兩個常用公式

先確定抽樣比，然后把各層個體數乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數.

一、北坪，，.樣本容量各層樣本容量

（1）抽杵比一總體容量一各層個體總量；

（2）層1的容量：層2的容量：層3的容量=樣本中層1的容量：樣本中層2的容量：樣本中層3的容量.

9.（23-24高一下.河北?期末）某公司共有940名員工，其中女員工有400人.為了解他們的視力狀況，用分

層隨機抽樣（按男員工、女員工進行分層）的方法從中抽取一個容量為47的樣本，則男員工的樣本量為（）

A.21B.24C.27D.30

【答案】C

YI940—400

【解析】設男員工的樣本量為〃,由分層隨機抽樣的定義可得行=飛4廠,解得“=27.故選：C.

10.（23-24高一下?湖南永州?期末）在杭州亞運會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者參與服務，據統(tǒng)計某高

校共有本科生4400人，碩士生400人，博士生200人參與志愿者服務.現用分層抽樣的方法從該高校志愿者

中抽取部分學生了解服務心得，其中博士生抽取了10人，則本科生抽取的人數為（）

A.250B.220C.30D.20

【答案】B

【解析】設本科生抽取的人數為了人，由分層抽樣每層中抽取樣本比例相同，

inx

可得礪=,’解得-22。.故選：B.

11.（23-24高一下?全國?月考）某高中的三個年級共有學生2000人，其中高一600人，高二600人，高三

800人，該?，F在要了解學生對校本課程的看法，準備從全校學生中抽取80人進行訪談，若采取按比例分

配的分層抽樣，且按年級來分層，則高一年級應抽取的人數是（）

A.24B.26C.30D.36

【答案】A

【解析】依題意高一年級應抽取的人數為80x線=24人.故選：A

12.（22-23高一下?山東聊城?期末）某校高一年級有女生504人，男生596人.學校想通過抽樣的方法估

計高一年級全體學生的平均體重，從高一女生和男生中隨機抽取50人和60人，經計算這50個女生的平均

體重為49kg,60個男生的平均體重為57kg,依據以上條件，估計該校高一年級全體學生的平均體重最合

理的計算方法為（）

49+57c50c60「

A.---------B.------x49+-------x57

211001100

c50c60”c504C596-

C.——x49+——x57D.------x49+-------x57

11011011001100

【答案】D

【解析】高一年級有女生504人，男生596人.總人數為504+596=1100,

從高一女生和男生中隨機抽取50人和60人，沒有按照比例分配的方式進行抽樣,

不能直接用樣本平均數估計總體平均數,

需要按照女生和男生在總人數中的比例計算總體的平均體重,

504小596

即-----x49+------x57,即D選項最合理.故選：D

11001100

【題型4幾種常見統(tǒng)計圖表的應用】

滿分技法

1、條形圖：一般與小長方形的寬無關，主要是高的值；要注意條形圖橫、縱坐標的含義；復合條形圖是不

同數據在同一條形圖中反映，對相同橫坐標含義進行對比，準確確定彼此間的差異；

2、折線圖：可以觀察點的個數，從而得到數據的數量，同時直觀得出數據變化趨勢以及變化幅度的大小，

也可得到所有數據中的最大值與最小值，因而容易得到所要解決的問題數值，如果不同的折線圖反映在同

一坐標系中，可以已通過比較觀察期波動程度大小，并進行優(yōu)劣判斷；

3、扇形圖：需要運用各個圓心角或弧長得百分比，同時可清楚得到各部分與總體檢的關系，用百分比X總

體個體數，估算某含義的個體數.

13.（23-24高二下?浙江紹興?學業(yè)考試）下圖為某同學兩次月考成績占總成績百分數的扇形統(tǒng)計圖，已知

該同學第一次月考總分低于第二次月考總分，則（）

第一次月考成績第二次月考成績

A.該同學數學學科成績一定下降B.該同學政治學科成績一定下降

C.該同學化學學科成績可能下降D.該同學語文學科成績一定提升

【答案】D

【解析】對于A：第一次月考數學成績占16%,第二次月考數學成績占17%,

且第一次月考總分低于第二次月考總分，

所以第二次月考數學成績比第一次數學成績要高，故A錯誤；

對于B：第一次月考政治成績占17%,第二次月考政治成績占16%,

由于只知道第一次月考總分低于第二次月考總分，

故無法判斷這兩次月考政治學科成績的變化，故B錯誤；

對于C：第一次月考化學成績占16%,第二次月考化學成績占17%,

且第一次月考總分低于第二次月考總分，

所以第二次月考化學成績比第一次化學成績要高，故C錯誤；

對于D：第一次月考語文成績占16%,第二次月考語文成績占18%,

且第一次月考總分低于第二次月考總分，

所以第二次月考語文成績比第一次語文成績要高，故D正確.故選：D

14.（23-24高一下?吉林通化?月考）2024年3月，樹人中學組織三個年級的學生進行黨史知識競賽.經統(tǒng)

計，得到前200名學生分布的餅狀圖（如圖）和前200名中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖），則

下列命題錯誤的是（）

前200名學生分布的餅狀圖前200名中高一學生排名分布的頻率條形圖

A.成績在前200名的學生中，高一人數比高二人數多30

B.成績在第1~50名的學生中，高三最多有32人

C.高一學生成績在第101~150名的人數一定比高三學生成績在第1~50名的人數多

D.成績在第51~100名的學生中，高二人數比高一人數多

【答案】D

【解析】由餅狀圖可知，成績在前200名的學生中，高一人數比高二人數多200x（45%-30%）=30,A正確;

成績在第150名的學生中，高一人數為200x45%x0.2=18,因此高三最多有32人，B正確;

由條形圖知高一學生的成績在第101150名的人數為200x45%xQ4=36,

而高三的學生成績在第150名的人數最多為32人,

故高一學生的成績在第101150名的人數一定比高三的學生成績在第150名的人數多，C正確;

成績在第51100名的學生中，高一人數為200x45%x0.3=27,

高二成績在第51100名的人數最多為23,

即成績在第51~100名的學生中，高一的人數一定比高二的人數多，D錯誤.故選：D.

15.（23-24高一下.四川?期末）（多選）某校為更好地支持學生的個性化發(fā)展，開設了學科拓展類、創(chuàng)新素

質類、興趣愛好類三種類型的校本課程，每位學生從中選擇一門課程學習.現對該校4000名學生的選課情況

進行了統(tǒng)計，如圖①，并用分層抽樣的方法從中抽取2%的學生對其所選課程進行了滿意率調查，如圖②.

下列說法正確的是

/學科創(chuàng)新、

拓展類I產質類

興趣\40%

、愛好類\/

V35%V

①

A.抽取的樣本容量為4000

B.該校學生中對興趣愛好類課程滿意的人數約為700

C.若抽取的學生中對創(chuàng)新素質類課程滿意的人數為24,則“=70

D.該校學生中選擇學科拓展類課程的人數為1000

【答案】BD

【解析】對于A,抽取的樣本容量為4000x2%=80,故A錯誤；

對于B,該校學生中對興趣愛好類課程滿意的人數約為4000x35%x50%=700人，故B正確;

對于C,抽取的學生中對創(chuàng)新素質類課程滿意的人數為24,

貝U80x40%xa%=24,解得°=75,故C錯誤；

對于D,由扇形統(tǒng)計圖知該校學生中選擇學科拓展類課程的頻率為1-35%-40%=25%,

則該校學生中選擇學科拓展類課程的人數為4000x25%=1000人，故D正確；故選：BD.

16.（23-24高一下?湖南?月考）如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根

據該圖，下列結論正確的是（）

（注：同比，指當前的數據與上一年同期進行比對；環(huán)比，指當前數據與上個月的數據進行比對.）

%）按消費類巾分零笆顫同比增速

?■新品軍售一餐飲收入

20

-401-----------------------------------------------------------------------------

2023年3月4月5月6月7月8月9月10月II月12月2024"

L2月L2月

A.23-24年1_2月份，商品零售總額同比增長9.2%

B.2023年312月份，餐飲收入總額同比都降低

C.2023年6~10月份，商品零售總額同比都增加

D.2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為-14.1%

【答案】C

【解析】對于A,23-24年12月份，商品零售總額同比增長2.9%,故A錯誤;

對于B,2023年8月份，餐飲收入總額同比增加，故B錯誤；

對于C,2023年6~10月份，商品零售總額同比都增加，故C正確；

對于D,2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速并未告知，故D錯誤.故選：C

【題型5頻率分布直方圖及其應用】

滿分技法

1、由頻率分布直方圖進行相關計算需掌握的2個關系式

頻率

（1）組函x組距=頻率.

頻數頻數

（2）樣康|量=頻率,此關系式的變形為建=樣本容量，樣本容量x頻率=頻數.

2、利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征的方法

（1）中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數的值.

（2）平均數：平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和.

（3）眾數：最高的矩形的中點的橫坐標.

17.（23-24高一下?海南?期中）如圖是某校高一年級1000名男生體檢時身高的頻率分布直方圖，現用分層

隨機抽樣的方法從身高在160?175cm的男生中抽取130名，則抽取到的身高在165?170cm的人數為（）

頻率

A.20B.30C.40D.50

【答案】C

【解析】由頻率分布直方圖可知，高一年級身高在160?175cm的人數有1000x5x（0.03+0.04+0.06）=650,

高一年級身高在165?170cm的人數1000x5x0.04=200,

設抽取到的身高在165?170cm的人數為〃，則/=解得“=40,故選：C

130650

18.（23-24高一下?山西大同?期末）某部門為了了解一批樹苗的生長情況，在4000棵樹苗中隨機抽取400

棵，統(tǒng)計這400棵樹苗的高度（單位：cm）,將所得數據分成7組：[70,80）,[80,90）,[90,100）,[100,110）,

[110,120）,[120,130）,[130,140],并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，那么根據該圖可推測，在這4000

棵樹苗中高度小于110cm的樹苗棵數約是（

頻率

0.028

0.024

0.020

0.012

0.008

0.006

0.002

Z.-VJ————————————————?

°708090100110120130140高度/cm

A.1680B.1760C.1840D.1920

【答案】B

【解析】由頻率分布直方圖可得，小于110cm的樹苗的頻率尸=(0.002