第14講函數(shù)與方程

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激活思維

1.(人A必一P143例1改Mx)=lnx+2x—6的零點(diǎn)個數(shù)是(B)

A.0B.1

C.2D.3

a

2.(人A必一P155習(xí)題T4改)函數(shù)y=2—Inx的零點(diǎn)所在區(qū)間是(B)

X

A.(3,4)B.(2,3)

C.(1,2)D.(0,1)

3.(人A必一P155習(xí)題T2改)(多選)已知函數(shù)歹=/3)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且

有如下對應(yīng)值表：

X123

於)136.13615.552-3.92

X456

八X)10.88-52.488-232.064

在下列區(qū)間中，函數(shù)加)必有零點(diǎn)的區(qū)間為(BCD)

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

【解析】由所給的函數(shù)值的表格可以看出，次2)負(fù)3)<0,火3)大4)<0,義4)負(fù)5)<0,所

以函數(shù)加)在(2,3),(3,4),(4,5)內(nèi)必有零點(diǎn).

4.(人A必一P160復(fù)習(xí)參考題T5(3))已知函數(shù)於)=2、+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x

的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為(B)

A.a>b>cB.b>c>a

C.c'>a>bD.b>a>c

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)》=2],J=log2X,>=%3及>=一工的

圖象，如圖所示，由圖象可知b>c>a.

(第4題答)

2%一]1>0

5.(人A必一P160復(fù)習(xí)參考題T4改)已知函數(shù)於)=,''若函數(shù)g(x)

一了2—2x,xW0,

=/(x)—%有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是(D)

A.(—8,0)

C.(1,+8)D.(0,1)

【解析】令g(x)=/(x)—加=0,得加)=加，根據(jù)分段函數(shù)段)的解析式，作出函數(shù)段)

的圖象，如圖所示.由題可知函數(shù)的圖象和直線>=冽有3個交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得實(shí)

數(shù)加的取值范圍是(0,1).

---y=m

Q0

(第5題答)

聚焦知識

1.函數(shù)零點(diǎn)

(1)概念：函數(shù)>=段)的零點(diǎn)就是方程加)=0的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)>=〃)的圖象與x

軸交點(diǎn)的一橫坐標(biāo)即：方程｛x)=0有實(shí)數(shù)根Q函數(shù)y=/3)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y

=外)有零點(diǎn).

(2)存在定理：①條件：(i)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,6］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；

(ii)<0.

②結(jié)論：函數(shù)>=段)在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在cG(a,b),使得必)=0.,

這個c也就是方程外)=0的解.

2.二分法

(1)方法：對于在區(qū)間［a,6］上連續(xù)不斷，且滿足人a)負(fù)6)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷

地把函數(shù)作)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似

值的方法叫做二分法.

(2)步驟：第一步：確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證00十6)<0.,給定精確度￡;

第二步：求區(qū)間［a,6］的中點(diǎn)c；

第三步：計算加)：①若八c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若｛a);/(c)<0,則令b=c(此

時零點(diǎn)xoG(a,c))；③若;(c)負(fù)6)<0,則令。=c(此時零點(diǎn)xoG(c,b))；④判斷是否達(dá)到精

確度e：即若依一臼<e,則得到零點(diǎn)近似值a(或6)；否則重復(fù)⑵?(4).

3.常用結(jié)論

(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)次x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則外)至多有一個零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)

不是一個“點(diǎn)”，而是方程人x)=0的實(shí)根.

(2)由函數(shù)y=/(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a,切上有零點(diǎn)不一定能推出人。)負(fù)6)<0,

如圖所示，所以八.)負(fù)6)<0是>=段)在閉區(qū)間口，可上有零點(diǎn)的充分不必要條件.

y=f(x)

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀u零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

例1已知函數(shù)/(x)=er—2%—5的零點(diǎn)位于區(qū)間(加，m+l)(m^Z)±,則冽=(A)

A.12B.11

C.0D.1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=er—2x—5是連續(xù)減函數(shù)，/(—2)=e2—1>0,八-l)=e—3<

0,所以八一2)負(fù)一1)<0,函數(shù)兀0=釘工一2x—5的零點(diǎn)位于區(qū)間(一2,-1),即(僅，%+1)

上，又所以〃?=—2.

<總結(jié)提煉A

確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程作)=0易解時，可先解方程，

然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在定理：首先看函數(shù)>=/)

在區(qū)間［a,6］上的圖象是否連續(xù)，再看是否有八0)負(fù)6)<0.若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)必有零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，判斷圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn).

變式1(2024?安慶期末)函數(shù)/(x)=ln(x—2)+x—4的零點(diǎn)所在區(qū)間為(B)

A.(2,3)B.(3,4)

C.(4,5)D.(5,6)

【解析】由條件知函數(shù)加)在(2,+8)上單調(diào)遞增，又丸3)=—1<0,義4)=ln2>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理知該函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(3,4).

目幀已零點(diǎn)個數(shù)的判定

例2(2024?贛州一模)已知函數(shù)40=、2—1則方程產(chǎn)㈤一加)-6=0的實(shí)

-------,x>0,

1x

根個數(shù)為(A)

A.3B.4

C.5D.6

【解析】由產(chǎn)(x)—Ax)—6=0,解得外)=-2或次x)=3.當(dāng)xVO時，令人x)=-2,解

得X=i令加)=3,解得舍去).當(dāng)x>°時'令正)-2,解得x=T+也或

13

x=—1—也<0(舍去)；令人x)=3,解得=二^十；或x=3一伊<(X舍去).綜上,方程/(X)

—/(X)—6=0的實(shí)根為x=—1或x=—1+也或即方程產(chǎn)(x)—/(x)—6=0的實(shí)根

個數(shù)為3.

，總結(jié)提煉A

函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理，應(yīng)注意：滿足條件的

零點(diǎn)可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點(diǎn).(3)作出兩函數(shù)的圖象，觀察其交點(diǎn)即得

零點(diǎn)個數(shù).

變式2(2024?湛江二模)已知函數(shù)於)=|2，一1|一0,g(x)=x2—4|x|+2—a,貝女D)

A.當(dāng)g(x)有2個零點(diǎn)時，/)只有1個零點(diǎn)

B.當(dāng)g(x)有3個零點(diǎn)時，加)有2個零點(diǎn)

C.當(dāng)人x)有2個零點(diǎn)時，g(x)有2個零點(diǎn)

D.當(dāng)於)有2個零點(diǎn)時，g(x)有4個零點(diǎn)

【解析】作出yi=Rx-1],了2=g一4|x|+2的大致圖象如圖所示，兩個函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)

轉(zhuǎn)化為圖象與y=a的公共點(diǎn)的個數(shù).由圖可知，當(dāng)g(x)有2個零點(diǎn)時，/)無零點(diǎn)或只有1

個零點(diǎn)；當(dāng)g(x)有3個零點(diǎn)時，火x)只有1個零點(diǎn)；當(dāng)兀r)有2個零點(diǎn)時，g(x)有4個零點(diǎn).

(變式2答)

目幀幻根據(jù)零點(diǎn)情況確定參數(shù)

%2~\~4x~|-ax]

例3-1已知函數(shù)加)=?''若函數(shù)y=/(x)—2只有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

lnx+1,

。的取值范圍是(D)

A.(—8,2)B.(-3,4)

C.(-3,6)D.(—8,-3]U{6}

【解析】當(dāng)時，由兀r)—2=lnx—1=0,得x=?,此時函數(shù)有一個零點(diǎn)，所以當(dāng)

x<l時，V=/(X)—2=X2+4X+Q—2有且僅有一個零點(diǎn)，即Q=—12—4X+2在(一8,1)上有

唯一解，即》=一/―4X+2(X<1)的圖象與直線有且僅有一個交點(diǎn).作出y=~x2—4x

+2(xVl)的圖象如圖所示，由圖象可知：當(dāng)aW—3或a=6時，歹=—N—4x+2(xVl)的圖

象與直線有且僅有一個交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍為(一8,—3]U{6}.

（例3-1答）

變式3-1(2024?湘潭3月質(zhì)檢)已知人工)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)工三0時，加)=(、

[一力2,若人X)有且僅有3個零點(diǎn)，則關(guān)于X的不等式八x)>/日的解集為(A)

+。）1

A.(—8,-2)u(2,+°0)

BE-猶,+3

c.(—8,-3)u(3,+8)

D.(—8,—4)U(4,+°0)

【解析】因?yàn)榘藊)為偶函數(shù)，有且僅有3個零點(diǎn)，所以｛0)=0,即(0+a)lfo-2A3=0,

解得。=0,所以當(dāng)x'O時，處0=』^一J?,所以Hx)的零點(diǎn)為一3，0,|,滿足題意.又當(dāng)

xNO時，兀v)=x[2^2=X3—3/+?,[2)=3.由兀>(：)>12),得工3—3x2-h^x—g>0,即1z)2(^

-2)>0,解得x>2.又如0為偶函數(shù)，所以/)>/[)的解集為(一8,-2)U(2,+°°).

視角2根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍

例3-2已知函數(shù)兀0=3，一上小，若存在刈^(—8,-1),使得-o)=O,則實(shí)數(shù)。

X

的取值范圍是(B)

A.卜”,B.9t]

p,+二|

c.(—8,0)D.13J

【解析】由於)=3工一?七也=0,可得0=3*—1，令g(x)=3*—1,其中xd(—8,—

XXX

1).由于存在X()e(—8,-1),使得八xo)=O,則實(shí)數(shù)。的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(一8,—

1)上的值域.因?yàn)楹瘮?shù)y=3",y=-1在(一8,—1)上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在(一8,

一1)上單調(diào)遞增.當(dāng)xC(—8,—1)時，g(x)=3x一1<g(—1)=3」+1=4,又g(x)=3'—1>0,

x3x

所以函數(shù)g(x)在(一8,—1)上的值域?yàn)閇aJ因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是[8d

變式3-2(2024?廣州期末)設(shè)函數(shù)/(x)=x+k)gN—加，若函數(shù)")在b'I上存在零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(B)

A.㈢(IB.H"I

cM*q

【解析】由函數(shù)?0=x+log2X一加在I'R上單調(diào)遞增，且函數(shù)人只在q上存在零

rmii

/UJ=Hog2—m<0,7

點(diǎn)，則“44解得--11.

4

/(8)=8+log28-m>0,

V總結(jié)提煉A

已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法：

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)取值

范圍；

(2)值域法：將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后利

用數(shù)形結(jié)合求解.

隨堂內(nèi)化

1.函數(shù)7(x)=lnx與函數(shù)g(x)=/—4x+4的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為(B)

A.3B.2

C.1D.0

【解析】由題知g(x)=x2—4x+4=(x—2)2,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y(x)=ln

x與g(x)=(x—2)2的圖象如圖所示.由圖可知兩個函數(shù)的圖象有2個交點(diǎn).

(第1題答)

2.已知函數(shù)'令人(x)=/(x)—左,則下列說法正確的是(D)

—2+lnx,x＞0,

A.市)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+°°)

B.當(dāng)左e(—4,—3)時，以勸有3個零點(diǎn)

C.當(dāng)左=—2時，4位)的所有零點(diǎn)之和為一1

D.當(dāng)左e(—8,—4)時，〃(x)有1個零點(diǎn)

【解析】作出加)的圖象如圖(1)所示，由圖象可知，丸x)的單調(diào)遞增區(qū)間為【—2，°),

(0,+8),故A錯誤.如圖(2),當(dāng)一號＜左＜一3時，y=/(x)的圖象與直線y=后有3個交點(diǎn)；

當(dāng)左=一些時，的圖象與直線了=左有2個交點(diǎn)；當(dāng)一4〈左C一"時，＞=於)的圖象與

44

直線了=先有1個交點(diǎn).綜上，當(dāng)左6(—4,—3)時，y=/(x)的圖象與直線有3個交點(diǎn)或

2個交點(diǎn)或1個交點(diǎn)，即〃（x）有3個零點(diǎn)或2個零點(diǎn)或1個零點(diǎn)，故B錯誤.當(dāng)左=一2時,

由爐+工一3=-2,xWO可得x=—\由一2+lnx=-2,x＞0可得x=l,所以〃（x）的

所有零點(diǎn)之和為故C錯誤.當(dāng)左6（—8,一町時，由圖（2）可知：y=

加）的圖象與直線y=后有1個交點(diǎn)，即〃（x）有1個零點(diǎn)，故D正確.

3.（2024?鎮(zhèn)江模擬）若函數(shù)加）=戌一1|一6只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值集合是

+8）.

【解析】函數(shù)/（x）=|ex—1|一b只有一個零點(diǎn)，即歹=|e“一1|的圖象與直線y=b只有1

個交點(diǎn).作出〉=|e'—1|的大致圖象與直線＞=b如圖所示，由圖可知，實(shí)數(shù)6的取值集合是

{0}U[l,+oo）.

一/—2%,xW加,

4.已知函數(shù)人x）=?如果函數(shù)人x）恰有兩個零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)次的取

x—4,

值范圍為」—2,0）U[4,+8）_.

【解析】若冽V—2,則加）在（一8,加]上無零點(diǎn)，在（冽，+8）上有1個零點(diǎn)％=4,

不符合題意.若一2W切＜0,則於）在（一8,刈上有1個零點(diǎn)％=—2,在（加，+8）上有1

個零點(diǎn)％=4,符合題意.若0WmV4,則火x）在（一8,刈上有2個零點(diǎn)％=—2,x=0,在（冽,

+8）上有1個零點(diǎn)l=4,不符合題意.若加24,則人x）在（一8,加]上有2個零點(diǎn)％=—2,

x=0,在（加，+8）上無零點(diǎn)，符合題意.綜上所述，-2W冽＜0或冽》4,即實(shí)數(shù)冽的取值

范圍為[—2,0）U[4,+oo）.

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配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知方程尹+2%-10=0的解在（上4+1）伏GZ）內(nèi)，則左=（B）

A.0B.1

C.2D,3

【解析】設(shè)人x）=3x+2x—10,則兀0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故＜%）在定義域內(nèi)至多有

一個零點(diǎn).因?yàn)槿?）=3+2—10=—5＜0,{2）=9+4—10=3＞0,所以火x）僅在（1,2）內(nèi)存

在零點(diǎn)，即方程3"+2x—10=0的解在（1,2）內(nèi)，故左=1.

2.（2024?北京西城模擬）函數(shù)"）=例1!1吊一1的零點(diǎn)個數(shù)是（C）

A.0B.1

C.2D.3

【解析】由於）=0可得|lnx尸e）,作出函數(shù)y=|lnx^y=er的圖象如圖所示.由圖

可知，函數(shù)＞=[111引與＞=6二的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為2,故函數(shù)人乃的零點(diǎn)個數(shù)為2.

（第2題答）

3.（2024?河北模擬）已知函數(shù)外）=?！?是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)歹=加一2w）的零點(diǎn)

2葉1

在區(qū)間（-1,1）內(nèi)，則加的取值范圍是（A）

A.[rJB.（-I,i）

C.（-2,2）D.（0,1）

【解析】因?yàn)橥猓┦荝上的奇函數(shù)，所以{0）=。一百]=0,。=1,人工）=1—百u.易

知外）在R上是增函數(shù)，所以八x）有唯一零點(diǎn)0,函數(shù)夕=/一2m）的零點(diǎn)在區(qū)間（一1,1）內(nèi),

所以x—2冽=0在（一1,1）上有解，m=|,所以加2’2）.

—2x-\~3,JC0,

4.（2024?溫州三模）已知函數(shù)4）=,'’則關(guān)于'的方程八工）="+2的

x＜0,

根的個數(shù)不可能是（C）

A.0B.1

C.2D.3

【解析】作出函數(shù)＞=加）的圖象如圖所示.將原問題轉(zhuǎn)化為直線＞="+2（過定點(diǎn)（0,

2））與函數(shù)＞=/）的圖象交點(diǎn)的個數(shù).由圖可知，當(dāng)。＜0時，直線＞=辦+2與函數(shù)

的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)。=0時，直線》=2與函數(shù)》=危）的圖象有1個交點(diǎn)；當(dāng)q＞0時，直

線＞="+2與函數(shù)》=/3）的圖象有3個交點(diǎn).所以直線＞=辦+2與函數(shù)》=/3）的圖象不可

能有2個交點(diǎn).

4=0

X

（第4題答）

二、多項(xiàng)選擇題

5.已知函數(shù)人x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表:

X-11357

於）-1172-38

則一定包含〃）的零點(diǎn)的區(qū)間是（ACD）

A.（-1,1）B.（1,3）

C.（3,5）D.（5,7）

【解析】因?yàn)閧x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且八一1雙1）＜0,八3次5）＜0,{5）/（7）

＜0,所以一定包含加）的零點(diǎn)的區(qū)間是（一1,1）,（3,5）,（5,7）.

6,若關(guān)于x的方程a/—困+。=0有四個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的值可能是

（BCD）

A.-B.-

23

clI

C.—L）.—

46

【解析】在方程辦2—兇+。=0中，當(dāng)。=0時，只有一個解X=0,所以當(dāng)方程辦2—國

1丫211

+。=0有四個不同的解時，qWO,xWO,因此，方程可變?yōu)?=----=|x|H"一.作出函數(shù)〉=

a|x||x|

博+工的圖象和直線y=l如圖.函數(shù)》=網(wǎng)+工的最小值為2,所以當(dāng)1>2時，直線）=1與

|x|a|x|aa

函數(shù)V=|x|+L的圖象有四個不同的交點(diǎn)，即原方程有四個解，滿足1>2的有B,C,D.

|x|a

（第6題答）

|x+1|,xWO,

7.已知函數(shù)加）="、八則關(guān)于x的方程段）一左=0,則下列判斷正確的是

，XdU,

X

（ACD）

A.k=\時方程y（x）—后=0有3個不同的實(shí)數(shù)根

B.方程兀c）一左=0至少有2個不同的實(shí)數(shù)根

C.若方程/（x）—后=0有3個不同的實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍為（0,1]

D.若方程兀V）—后=0有3個不同的實(shí)數(shù)根Xl，X2,X3,則X1+X2+X3的取值范圍為[―1,

+0°）

【解析】作出Hx）的圖象如圖所示，方程兀0—左=0根的問題可以轉(zhuǎn)換成y=4和y=/（x）

圖象的交點(diǎn)問題.對于A,由圖象可知，當(dāng)人=1時，方程｛x）—左=0有3個不同的實(shí)數(shù)根,

故A正確；對于B,當(dāng)左<0時，結(jié)合圖象可知，方程無解，故B錯誤；對于C,由圖象可

知夕=后和夕=y（x）的圖象有3個交點(diǎn)時，后的取值范圍為（0,1],故C正確；對于D,設(shè)XI

<X2<X3,結(jié)合圖象可知Xl+x2=-2,X3、l,所以X1+X2+X32-1,故D正確.

（第7題答）

三、填空題

8,函數(shù)y（x）=sinx—logN的零點(diǎn)個數(shù)為

【解析】注意到log22=l,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出了Msinx與y=log2X的圖象

如圖所示，易知零點(diǎn)個數(shù)為1.

（第8題答）

9.(2024?濰坊二模)請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式#x)=2x(答案

不唯一)..

①/U—x)=/u+x)；②/)至少有兩個零點(diǎn)；③/)有最小值.

【解析】取於)=，-2x,其對稱軸為x=l,滿足①/(I—x)=/(l+x)；令/)=X2—2x

=0,解得x=0或x=2,滿足②/(x)至少有兩個零點(diǎn)；段)=/一2x=(x—I/—1,當(dāng)x=l時，

/(X)min=-1,滿足領(lǐng)X)有最小值.

,f|x+m|,xWm,

10.已知函r數(shù)人x)=?，

x2,x>m.

(1)函數(shù)於)的零點(diǎn)個數(shù)為」L_.

【解析】當(dāng)別>0時，可知/(x)有一個零點(diǎn)X=—加；當(dāng)加=0時，兀0有一個零點(diǎn)x=0；

當(dāng)加<0時，可知/(X)有一個零點(diǎn)x=0.綜上，函數(shù)兀0的零點(diǎn)個數(shù)為1.

(2)若存在實(shí)數(shù)人使得關(guān)于x的方程於)=6有三個不同的根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

(0,2)U(—8,—2).

【解答】如圖(1)所示，當(dāng)機(jī)>0時，若要滿足題意需2加>加2,得機(jī)e(o,2)；當(dāng)a=0

時，不符合題意；如圖(2)所示，當(dāng)加<0時，若要滿足題意需小>—2m,得加<—2.綜上,

實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,2)U(——2).

圖⑵

(第10題答)

四、解答題

11.已知函數(shù)")是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，負(fù)x)=/—4x+l.

(1)求函數(shù)於)的解析式；

【解答】當(dāng)x<0時，-x>0,八-x)=(—x)2+4x+l=/+4x+l.由｛x)為奇函數(shù)，可

得八-x)=-/(x),所以當(dāng)x<0時，於)=一x)=-N—4x—1.當(dāng)x=0時，八0)=0,則")

-%2—4x—1,x<Q,

--0,x=0,

x2—4x+1,x>0.

(2)討論函數(shù)g(x)=/(x)—mx零點(diǎn)的個數(shù).

【解答】由g(x)=/(x)—冽X,且小)為奇函數(shù)，》=一機(jī)X也為奇函數(shù)，可得g(x)為奇函

數(shù).可令g(x)=O,即於)=機(jī)乂當(dāng)x=0時，顯然g(x)=O,無論冽取何值，x=0均為g(x)的

零點(diǎn).當(dāng)％＞0時，由/(%)=切%,即——4x+l=wx,可得加=x+1—4,作出y=x+l—4的

XX

圖象，如圖所示.當(dāng)加=—2時，函數(shù)g(x)在(0,+8)上有1個零點(diǎn)；當(dāng)初＞—2時，函數(shù)

g(x)在(0,+8)上有2個零點(diǎn)；當(dāng)加V—2時，函數(shù)g(x)在(0,+8)上無零點(diǎn).根據(jù)奇函數(shù)

的對稱性可得，當(dāng)冽=—2時，函數(shù)8(%)在(一8,十8)上有3個零點(diǎn)；當(dāng)冽＞—2時，函數(shù)

g(x)在(一8,十8)上有5個零點(diǎn)；當(dāng)加〈一2時，函數(shù)g(x)在(一8,+8)上有1個零點(diǎn).

(第11題答)

12.已知函數(shù)人x)為二次函數(shù)，段)的圖象過點(diǎn)(0,2),對稱軸為了=—函數(shù)於)在R

上的最小值為1

4

(1)求/(%)的解析式；

【解答】由同圖象的對稱軸為kf函數(shù)作)在口上的最小值為:，可設(shè)於尸

』十才+：,將點(diǎn)(0,2)代入人X)得4=1,故式x)=t+j+j

(2)當(dāng)［加-2,m］,時，求函數(shù)?r)的最小值(用加表示)；

【解答】人工)圖象的對稱軸為1=—；，當(dāng)冽W-；時，?r)在阿一2,加］上單調(diào)遞減，所

以4X)min=A加尸卜+J+；；當(dāng)—%加＜9,")在"一'—2)上單調(diào)遞減，在卜2'm_

上單調(diào)遞增，所以")3=1I：;當(dāng)后上啟)在g2,刈上單調(diào)遞增，所以加扃

"斗7

=/(m-2)=12J+1綜上，/(X)min=

(3)若函數(shù)尸(x)=/(x)—ax在(0,3)上只有一個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【解答】若函數(shù)尸(x)=/(x)—ax在(0,3)上只有一個零點(diǎn)，則外)的圖象和直線y