函數(shù)的奇偶性重點考點專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

C2\

1.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,g(x)=/(x)-X+1是奇函數(shù)，"(%)=〃%)-短是偶函數(shù),則/33=

I7

()

A.-10B.-8C.8D.10

2.已知函數(shù)y=/(%)是偶函數(shù)，當(dāng)了￡(0,+8)時，)則該函數(shù)在(-8,0)上的圖像大

3.已知=下列選項中能使/(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A.g(%)=%B.g(x)=x2C.g(x)=e*D.g(x)=ln|x|

4.已知奇函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞減，若+則加的取值范圍為()

A.B.(-oo,l)C.［什00］D.(l,+oo)

5.已知函數(shù)/⑺定義域為R,且滿足〃x)=6-〃f),g(x)=〃可［J",若的圖象

m

與g(x)的圖象的交點分別為(％，K)(X2,y2),……,(xm,ym),則Z(%+?)=()

i=i

A.0B.加C.2mD.3m

6.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，若/(x)+d是奇函數(shù)，/(x)+2、是偶函數(shù)，則/'(-1)的值為()

7.函數(shù)y=|x|與函數(shù)y=-工的圖象的交點個數(shù)為()

X

A.0B.1C.2D.3

8.已知/(%)是定義域為(-4,4)的奇函數(shù).若以點(2,0)為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的部分恰好

是V=/(x)圖像的一部分，則，(x)的解析式為()

------------>J—x2+4x,xG[0,4)

A?f(x)=V-x2+4x,xe(-4,4)B.=j_-------

—y—x+4尤,xw(—4,0)

-A/-X2+4X,xe[0,4)J-無2+4x,xe[0,4)

C./(無)=<D./⑴=<

—J—/_4x,xe(-4,0—4-x,xe(-4,0)

9.已知函數(shù)/(無)的定義域為R,定義集合M={飛卜0eR,xe(-e,尤o),/(無)<〃％)},在使得

M=[T,U的所有/(尤)中，下列成立的是()

A.存在“X)是偶函數(shù)B.存在“X)在x=2處取最大值

C.存在“X)是增函數(shù)D.存在/(x)在x=T處取到極小值

10.已知偶函數(shù)/(“滿足：尸(同+尸(1+2)=4,且〃x)/(x+￡|>0,若〃2)<0,貝葉(2。25)=

()

A.1B.y/2C.-V2D.-1

二、多選題

11.已知函數(shù)〃尤)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=e-r(x-l),貝|()

A.當(dāng)x<0時，/(x)=ex(x+l)

B.函數(shù)/(x)有2個零點

C.函數(shù)/(X)在點(-L0)處的切線方程為x-ey+l=O

D.Vx1；x2eR,都有/(%)-/(蒼)|<2

12.已知定義域為R的函數(shù)/(%)對任意實數(shù)x,y,者R有(/(x+y))?=(/(x))2+(/(y)y+2盯一1成立,

則下列說法正確的是()

A.(/(1))2+(/(-1))2=4

B./(x)一定不是奇函數(shù)

C.若/(X)是偶函數(shù)，則了⑴二正工

〃13

D.若川T,則昌市鏟北

三、填空題

13.函數(shù)〃x)=ln(e，+l)可以表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)依無)之和，則心)的最小值

為.

14.若"x)=sin(x+e)l是偶函數(shù)，貝［|cos/+m=

15.已知/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，〃-2)=Y,若g(x)=3在(0,+w)上單調(diào)遞增，則不等式

X

/(x)<2x的解集為.

16.函數(shù)的定義域為R,且〃x+l)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，則八985)=.

四、解答題

17.已知嘉函數(shù)〃x)=(3m2-2m)xm的定義域不為R.

⑴求外力的解析式;

⑵若不等式〃。+1)+〃2。-3)<0恒成立，求a的取值范圍.

18.已知函數(shù)〃同=三等卜4-1,叫是奇函數(shù).

⑴求6的值.

(2)判斷函數(shù)/(X)在［-U］上的單調(diào)性并說明理由，并求/'(%)的最值；

(3)若函數(shù)/?(%)滿足不等式/3-1)+/(2。<0,求出f的范圍.

19.已知函數(shù)/(同=官是定義在區(qū)間［-1J上的函數(shù).

⑴判斷的奇偶性；

(2)證明在區(qū)間［T1］上是增函數(shù)，并求不等式/卜+￡|+/"-1)<0的解集.

參考答案

題號12345678910

答案CBBDDABDBC

題號1112

答案ACDABD

1.C

【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可得出關(guān)于“X)、"-X)的等式組，求出“X)的解析式，代值

(2\

計算可得了3務(wù)的值.

【詳解】因為函數(shù)g(x)=〃x)-x+l為奇函數(shù)，即g(-x)=—g(x),

所以”-x)+x+l=-〃x)+x-l,可得”x)+/(—x)=-2①，

因為函數(shù)為(x)=〃尤)-丁是偶函數(shù)，即=

所以〃一同一(一天)3=f(x)-x3,可得〃X)-/(-X)=2x3②，

聯(lián)立①②可得/(X)=V—1,因止匕/?(31=-1=32-1=8.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識確定正確選項.

【詳解】當(dāng)xe(O,+s)時，y=ax[O<a<l),所以〃尤)在(0,口)上遞減，

了(無)是偶函數(shù)，所以〃x)在(f,。)上遞增.

注意到a°=1,

所以B選項符合.

故選：B

3.B

【分析】作出函數(shù)圖象判斷即可.

【詳解】

對于A選項：如圖,

對于B選項：如圖,

對于C選項：如圖,

對于D選項：如圖,

故選：B.

4.D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)遞減解關(guān)于機(jī)的不等式，求出機(jī)的取

值范圍.

【詳解】因為奇函數(shù)/（X）在R上有定義，所以/（。）=0,

所以“〃?一2）＜—/（〃?）=/（一〃?）

所以加一2＞-根，解得相＞1.

所以加的取值范圍為（1,+8）.

故選：D.

5.D

【分析】判斷/（力與g（x）圖象的對稱性，從而求得之a(chǎn)+y）.

i=l

【詳解】對于/(x),/(x)=6-/(-x),/(-x)=6-/(x),

所以/(x)的圖象關(guān)于點(0,3)對稱.因為M—x)==_f(x)-/(-x)=.MM

所以Mx)="x)[(-x)是奇函數(shù),為(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

所以g⑺="⑺+3的圖象關(guān)于點(0,3)對稱，

所以/(x),g(x)的圖象的交點關(guān)于(0,3)對稱,

所以￡&+y)=￡匕+Z%=0+3m=3m.

i=li=li=l

故選：D

6.A

【分析】由題意得出/\1，解出這個方程組可得出了(-1)的值.

【詳解】由于函數(shù)y=y(x)+d是奇函數(shù)，函數(shù)y=/(x)+2”為偶函數(shù)，

所以，<,化簡得，

/(-1)+2-1=/(1)+2/(-1)+1=/(1)+2

解得

故選：A.

7.B

【分析】分析函數(shù)y=ln(A/7W-尤)的性質(zhì)，再按x>0,x<0分段并結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理推

理判斷.

【詳解】令函數(shù)/(%)=ln(J?W—X)—g,777i-x>|x|-x>0,則/(%)定義域為｛XERIXW。｝,

f(-x)+f(x)=ln(y/x2+l+x)+—+ln(7^v2+1-x)--=0,/(x)是奇函數(shù)，

xx

當(dāng)x<0時，/(x)=ln^x2+l-.xj-->lnl-->0；

由/(x)為奇函數(shù)可得當(dāng)尤>0時，/?<0,

而函數(shù)y=1x1是偶函數(shù)，且當(dāng)x>o時，y>0,

則函數(shù)/(x)與》=1尤1的圖象在x>0時無交點；

當(dāng)x<0時，令g(x)=ln(+1-尤)一!+尤,求導(dǎo)得g'(x)=p+l_j，+]>0,

函數(shù)g。)在(-8,0)上單調(diào)遞增，又g(-l)=ln(V2+1)>0,

g(-3)=ln(V10+3)-1<ln7-1<2-1<0,因此g(x)在(-℃,0)上只有一個零點,

所以函數(shù)與y=|x|的圖象交點只有一個.

故選：B

8.D

【分析】以點(2,0)為圓心，半徑為2的圓在X軸上方的部分的方程為y=J—上+4元xe(0,4)，由/(的

是定義域為(-4,4)的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出“X)的解析式.

【詳解】以點。0)為圓心，半徑為2的圓的方程為(x-2>+y2=4,

則該圓在x軸上方的部分的方程為y=，—/+4x(0<x<4)，

由/(元)是定義域為(T,4)奇函數(shù)，得/(0)=0,

當(dāng)xe(-4,0)時，一xe(0,4),/(x)=-/(-x)=-^-(-x)2+4(-x)=-yj-x2-4x,

J-尤2+4x,xe[0,4)

/W=--------L)

_v_x"_4x,xe(-4,0)

故選：D

9.B

【分析】A選項利用偶函數(shù)的性質(zhì)找到矛盾即可；B選項找到合適函數(shù)即可；C選項由定義得到集合

M與已知條件矛盾；D選項由集合M的定義找到矛盾.

【詳解】對于A選項：尤時，

當(dāng)升=1時，％e[-1,1],任意的xe(-e,l),⑴恒成立,

若了(尤)時偶函數(shù)，此時/⑴=/(-1)矛盾，故A選項錯誤；

對于B選項：若函數(shù)圖像如下：

當(dāng)x<—l時,/(x)=-2,—14x41時，/(x)e[-l,l],當(dāng)x>Lf(x)=l,

；?存在/'(x)在尤=2處取最大值，故B選項正確；

對于C選項：在x<T時，若函數(shù)/(X)嚴(yán)格遞增，則集合M的取值不會是[T』，

而是全體定義域，故C選項錯誤；

對于D選項：若存在外力在x=T處取到極小值，則在x=-l在左側(cè)存在％=",與

集合M定義矛盾，故D選項錯誤.

故選：B

10.C

【分析】用無代換無+2,可得產(chǎn)(x+2)+r(x+4)=4,聯(lián)立方程組，求得了(x+4)=±〃x),結(jié)合

函數(shù)為偶函數(shù)，且“司/卜+￡|>0,得到〃x+4)=〃x),可則/(x)是周期為4的函數(shù)，令

x=-l,求得/(1)=一及，結(jié)合“2025)="506x4+1)=/(1),即可求解.

【詳解】由尸(同+尸(》+2)=4,用x代換x+2,可得r(X+2)+#(X+4)=4,

聯(lián)立方程組，可得/(x+4)=/(力，即仆+4)=±仆)，

又由函數(shù)”力為偶函數(shù)，且〃力/卜+￡|>0,可得與〃x+g)同號，

所以〃x+4)=〃x),可得函數(shù)/'(x)是周期為4的函數(shù)，

因為〃2)<0,〃1)與〃2)同號,則/⑴<0,

令x=T,可得r(-1)+尸(1)=2產(chǎn)(1)=4,所以=

則/(2025)=/(506x4+l)=/(1)=-72.

故選：C.

11.ACD

【分析】對于A,由奇函數(shù)性質(zhì)驗算即可；對于B,由零點定義解方程即可；對于C,只需求出尸(-1)

即可；對于D,只需算出函數(shù)/(x)的值域即可.

【詳解】對于A,當(dāng)x<0時，則r>0,〃T)=e"c?(-x-l),因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以

/(^)=-/(-^)=-[ex-(-x-1)]=ex-(^+1),故A對.

對于B,尤>0時，令〃力=6-工《-1)=0,解得》=1,由是定義在R上的奇函數(shù)，所以x=-l時

fM=0,又40)=0；故函數(shù)/(無)有3個零點，故B不對.

對于C,對/(x)=eJ(x+l),(x<0)求導(dǎo)得_f(x)=eK(x+2),(x<0),

11

所以:(-1)=)故所求切線為y—0=&(x+1),即x—ey+l=O,所以C對.

對于D,當(dāng)xvO時，/(x)=ex-(x+1),ff(x)=ex-(x+2),

當(dāng)—2<x<0時，/(無)>0,函數(shù)在(一2,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)彳<一2時，尸(無)<0,函數(shù)在(一8,-2)

上單調(diào)遞減，

且當(dāng)尤f-8時，/(無)-0,尤.0-時，y(x)->1所以〃尤)e[-e-2,1)

由/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，故當(dāng)x>0時，/(x)e(-l,e-2],因此對都有

D

|/(X1)-/(X2)|<2,故對.

故選：ACD.

12.ABD

【分析】在(/(x+y))2=(7(x))2+(/(y))2+2孫一1中，令彳=>=。，求出(7(0))2=1,再令x=l,>=T,

即可判斷A；根據(jù)/(0)=±12。即可判斷B；假設(shè)函數(shù)/(元)是偶函數(shù)，推出/(x)=±^/?1T即可判斷C；

利用累加法得到。⑺尸=("+1)2(/(0)2(W(/?(〃叫2,利用放縮法

即可證明D.

【詳解】對于選項A：在(/(尤+〉))2=(70))2+(/(>))2+2孫-1中,

令*=y=0,則(〃0)尸=1,①

再令X=l,y=T,貝U(/(l))2+(/(-l))2=(/(0))2-2xlx(-l)+l=4,A正確;

對于選項B：由①得：/(0)=±1*0,

故"X)一定不是奇函數(shù)，B正確；

對于選項C：若了(無)是偶函數(shù)，則/(-x)=f(x),

所以(A。))?=(〃動2+(/(動2一2d-1=1,

整理得：(〃動2=/+1,故〃x)=±V?IT,C錯誤；

對于選項D：在于(x+y))?=(/(幻)2+(/(歷)2+2孫-1申,

令X=",y=l,

可得(/(?+1))2=(/(?))2+(/(I))2+2"-1=(/(?))2+2〃+3,

所以(/(n+1))2-(/(")>=2"+3,又/(I)=2,

所以(/⑴)2-(/(0))2=3,

(/(2))2-(/(1))2=5,

(/(<-(/(?-I))2=2?+1,

以上各式累加，得(/(〃))2=("+1)2,

弋[_]]1

故舒而了一而廣西/…十西f

11111111

4916(n+1)42x33x4巾+1)

1門111111313c十.

=—+----1-----F…H-------=-------<—,D正確.

4(2334nn+1)4n+\4

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項D的關(guān)鍵是通過對尤,V的適當(dāng)賦值、對

11111111

a+§+丘+…+再了<1+詬+^Z+…+而包的放縮，裂項求和來求解.

13.In2

【分析】首先根據(jù)已知條件列出相關(guān)等式求出6(x)的表達(dá)式，然后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)

算即可求得最小值.

【詳解】由題意g(￡)+Mx)=ln(e'+l),①

貝|Jg(-X)+/z(-X)=-g(x)+/z(x)=In(e-A+1),②

所以兩式相加得：2/z(x)=ln(el+l)+ln(e-x+l),

則Mx)=mn(e，+D(eT+l)=mnN+(+2),

又。'+-*-+222//」+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=4=尤=0時取等號，

e*Ve*e*

所以〃(無).=)^4=1112.

故答案為：In2.

14.0或2

【分析】由偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可求機(jī)，再證明g(x)=ln]Ej為奇函數(shù)，由此可得函數(shù)

y=sin(x+°)為奇函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求。，由此可得cos。，再求結(jié)論即可.

【詳解】因為/(X)是偶函數(shù)，所以它的定義域關(guān)于原點對稱，

m——V

所以不等式^—>0的解集關(guān)于原點對稱，

1+x

所以不等式(X-〃7)(x+l)<0的解集關(guān)于原點對稱,

所以方程(尤-間(x+l)=O的根互為相反數(shù),

所以〃2=1,此時定義域為

設(shè)g(x)=ln[E],則函數(shù)g(x)的定義域為(-1,1),定義域關(guān)于原點對稱，

又g(一=所以g(x)+g(-x)=ln[^^[+ln[^^[=lnl=O,

所以g(-X)=-g(x),所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，又“X)是偶函數(shù)，

所以sin(X+°)g(X)=sin(-X+(p)g(-x)=-sin(-x+0)g(x)恒成立，

所以y=sin(x+0)是奇函數(shù)，于是夕=/(左eZ),

此時cos0=±l,于是COS°+〃2=0或2.

故答案為：0或2

15.E-2]UO2]

【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)奇偶性定義及性質(zhì)分段求解不等式.

【詳解】由Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，得g(-尤)=/0=￡(D=g(x),

-XX

g(x)是(T?,O)U(O，—)上的偶函數(shù)，由/■(一2)=-4,得/⑵=4,

則g(-2)=g(2)=/F=2,由g(x)在(0,+co)上遞增,得g(x)在(-吃。)上遞減，

當(dāng)x=0時，/(0)=0,不等式/(x)42x成立，因此尤=0；

當(dāng)x>0時，/(x)42x=3v20g(x)Wg(2),解得0<x42；

當(dāng)x<0時，f(x)<2x<=>>2<=>g(x)>g(—2),解得尤V—2,

x

所以不等式f(x)<2x的解集為(f,-2]U[0,2].

故答案為：(-?,-2]U[0,2]

16.0

【分析】結(jié)合函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的周期性，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得/。)=0,即可得解.

【詳解】由/(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù),

則有〃x+l)=-〃X+2)=〃T+2),

故〃無+2)=-/(t-1+1)=-〃T)=/(T+2),

Bp-/(-x)=/(-x+2),

即有〃x)=-/(x+2)=-(-/(x+4))=/(x+4),

故函數(shù)”X)周期為4,故“985)=”4x246+1)=〃1),

由/(x+l)=-/(—X+1),則有/(1)=_/(1),即/。)=0,

故"985)=”4x246+1)=〃1)=0.

故答案為：0.

17.(DM)/

(ZM-SLDUA，"!

【分析】(1)由累函數(shù)定義求得加=1或〃2=-；，再結(jié)合尋函數(shù)定義域不為R驗證即可;

(2)結(jié)合累函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性列不等式求解.

【詳解】(1)由幕函數(shù)的定義可得3--2加=1,解得〃2=1或〃?=-；,

若〃2=1,則〃x)=x的定義域為R,不符合題意，

1_11

若陽=J,則以尤)=X3=正的定義域為(-8,0)50,+8),符合題意，

所以〃x)的解析式為“X)=J.

(2)由⑴得，〃尤)的定義域(-8,0)“0,+”)關(guān)于原點對稱，且"r)=Z=-點=-〃尤),

所以“X)為奇函數(shù),

由〃a+l)+〃2a_3)<0可得〃a+l)<_〃2q_3)=/(3_2q),

因為/(x)在(-咫0)上遞減且恒負(fù)，在(0,+動上遞減且恒正,

4+1〉0〃+1<0

ftz+l<0

所以《3-2〃>0或<3-2〃<0或(3-2a>0

Q+1>3—2〃a+1〉3—2Q

23

解得a<T或

所以a的取值范圍為(-s,T)u

18.(l)b=l

(2)增函數(shù)，理由見解析，最大值為:，最小值為-1

N2

⑶收

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得b的值;

（2）判斷出函數(shù)/"）=七是區(qū)間［-1』上的增函數(shù)，然后任取4、馬目-1，1］且西＜々，作差

/（%）-/'（%），因式分解后判斷差值的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得出結(jié)論；

（3）由/Q-1）+“2?！础Ｗ冃蔚贸鰈）v/（-20,結(jié)合函數(shù)〃尤）的定義域、單調(diào)性可得出關(guān)

于實數(shù)f的不等式組，由此可解得實數(shù)t的取值范圍.

【詳解】⑴因為了（X）在［-1』是奇函數(shù)，則/（一X）=—/（力，

-x+b-1X+Z?—1丫

即。下石-,可得20