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寒假作業(yè)08相似三角形的性質與判定

1、比例的相關概念及性質

1）線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

2）比例中項：如果g=%即〃=收，我們就把。叫做a,c的比例中項.

3）黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使生=生，那么點C叫做線段AC的黃金分割點，

ABAC

AC是BC與AB的比例中項，AC與的比叫做黃金比.

4）比例的性質

性質1:—=—^ad=bc（a,b,c,存0）；性質2：如果巴='，那么"一"='一"；

bdbdbd

UH,acm,,八,a+c+...+mm,丁田、

性質3：如果m一=一=...=—（zb+d+...+/￥0）,貝n,U------------=一（不唯一）.

bdnb+d+...+nn

2、相似三角形的判定及性質

1）定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做相似比.

2）性質：（1）相似三角形的對應角相等；（2）相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比

例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3）判定：（1）有兩角對應相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）

三邊對應成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似.

3、相似多邊形

1）定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫它們的相似比.

2）性質：（1）相似多邊形的對應邊成比例；（2）相似多邊形的對應角相等；（3）相似多邊形周長的比

等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

4、位似圖形

1）定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2）性質：（1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為左，那么位似圖形對應點的

坐標的比等于左或-匕（2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

3）找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即

是位似中心.

4）畫位似圖形的步驟：（1）確定位似中心；（2）確定原圖形關鍵點；（3）確定位似比，即將圖形放大

或縮小的倍數；（4）作出原圖形中各關鍵點的對應點；（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點.

wa鞏固提升練

1.在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比,

可以增加視覺美感.如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（）

（結果精確到0.01m.參考數據：0=1.414,石=1.732,75?2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【解析】設雕像的下部高為xm,則上部長為（2-x）m,

???雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m,

=1.24（負值已舍去），即該雕像的下部設計高度約是1.24m,故選B.

2x

2.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A,B,C都在橫線上.若

線段AB=3,則線段BC的長是（）

B.1

【答案】C

【解析】過點A作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于。、E,根據題意得=

4RAr)13

VBD//CE,：.——二——=2,XVAB=3J5C=—AB=—.故選C.

BCDE2f2

nAi

3.如圖，以點。為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形AB'C'D,已知^^二鼻，若四邊形ABCD的面

CzA3

積是2,則四邊形49。'。的面積是（）

A.4B.6C.16D.18

【答案】D

【解析】由題意可知，四邊形ABC。與四邊形AECD相似，

由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：守衛(wèi)=鬻=普

又四邊形ABCD的面積是2,.?.四邊形AaCD的面積為18,故選D.

4.下列命題中，正確命題的個數為.

①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③邊長相等的兩個菱形都相似；④對角線相等的兩個矩形

都相似.

【答案】1

【解析】所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯誤；

邊長相等的兩個菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個菱形不一定相似，所以③錯誤；

對角線相等的兩個矩形，對應邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯誤，故答案是L

2

—XVZ八孫

5.已知一二上=一。0,則-----=________.

234yz

【答案】I

6

YVZ

【解析】設一=)=—=左,則x=24，y=3k,z=4k,

234"

1+孫_(20)2+2左X3左_4k2+6k210左27，故答案為3.

yz3kx4k12k212k166

AF1

6'如圖'在矩形.8中，若加3,AC=5，H="則的的長為一一

【答案】1

【解析】在矩形ABCD中，AD//BC,NA5C=90。,

A17AP1,__________,______AF1

?*?—=-=7，BC=JAC?—AB?=《52—32=4，?*--=-，AAE=lr故答案為1.

BCFC444

7.如圖，AABC中，點E、/分另ij在邊A3、AC上，Z1=Z2.若5C=4,AF=2,CF=3,貝ijEF=

Q

【答案】I

【解析】VZ1=Z2,ZA=ZA,Z.AAEF^^ABC,

.EFAFEFAF

??----=-----，即nn----=----------，

BCACBCAF+CF

EF2QQ

VBC=4,AF=2,CF=3,：.——二-----，:.EF),故答案為短

42+3

8.如圖，在△ABC中，點。，E,E分別在邊AB,AC,8c上，連接。E,EF,已知四邊形瓦咕。是平行

DF1

四邊形，茄=4

BC

F

(1)若48=8,求線段的長;

(2)若ZXADE的面積為1,求平行四邊形BFED的面積.

【解析】(1)：四邊形8FED是平行四邊形，￡)石〃3。，△ADESAMC,;.DEAD

BCAB

:篝=；'???AD=93=卜8=2.

(2)：四邊形8FED是平行四邊形，小〃^。，EF/IAB,DE=BF,

：.ZAED=NECF2EAD=NCEF,；.AADE^EFC：.

S“EFC

DE1

*/—=-,DE=BF,：.FC=BC-DE=4DE-DE=3DE,

BC4

DE_DE

7T~3DE~3

△ADES/XABC,

?S/XADE=?，SqEfc=9,S4ABe=16,..SaBFED=—5i￡/.c—St^DE=16—9—1=6.

9.如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，ZACD=ZABE.

⑴求證：△ABCs^AEB；

(2)當AB=6,AC=4時，求AE的長.

【解析】(D：四邊形AB。為菱形，

/.CD//AB,AB=CB,：.ZACD=ZCAB,ZCAB=ZACB,

'：ZACD=ZABE,：.ZACD=ZABE=ZCAB=ZACB,：.AABC^AAEB.

(2)VAABC^AAEB,，??—=—,§P—--解得AE=9.

AEABAE6

10.如圖所示，在網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，把小正方形的頂點叫做格點，。為平

面直角坐標系的原點，矩形0A2C的4個頂點均在格點上，連接對角線。反

(1)在平面直角坐標系內，以原點。為位似中心，把△OAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似

圖形與AOAB的相似比等于二;

2

(2)將4。48以O為旋轉中心，逆時針旋轉90。，得到△044,作出△。4月，并求出線段03旋轉過

程中所形成扇形的周長.

【解析】（1）位似圖形如圖所示:

（2）作出旋轉后圖形△。4片，=2屈，周長是'。"X.而+2義2而=4而+而乃.

1

180

wa能力培優(yōu)練

11.魏時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點￡,H,G

在水平線AC上，OE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，

GC和E”都稱為表目距“，GC和E”的差稱為"表目距的差”，則海島的高AB=（）

C

表高X表距表高X表距表高X表距表高X表距

表目距的差表向表目距的差表同C表目距的差表距D-表目距的差表距

【答案】A

［解析:］根據題意得：AB//DE//FG,AAABH^^EDH,ACFG^^CBA,

DEEHFGCG.EHCGEHCG

AB~AH'BA~CAAHCA…AE+EH-AE+EG+GC"

：.CG?AE+CG?EH=EH?AE+EH?EG+EHGC,

FHPC1

；?（CG—EH>AE=EHEG,：.AE=——?:AH=AE+EH,

'7CG-EH

DEEHEG

.DEAHDE（AE+EH）DEAEDEEH.

??AD——=ICG-EH,DE-EH

EHEHEHEH

EHEH

EHEG

DEEG表IWJX表距七百MvkA

=DE.CG-EH+DE-EH=和而+'=袤1施既+表團故選A.

EHEH

12.如圖，已知菱形A3co的邊長為2,ZZMB=60°,E為A5的中點，b為CE的中點，AF與。￡相交于

點、H,則H/的長等于.

【答案】乎

【解析】如圖，連接作CGLAB交A3的延長線于點G.

四邊形ABCD是邊長為2的菱形，JAD//BC,AD=AB=BC=CD=2f

VZZMB=60°,ZCBG=ZDAB=60°,:?CG=BCsin/CBG=2又是=6,

2

BG=BCcosZCBG=2x1=l,?.?石為AB的中點，：.AE=EB=1,

：.BE=BG,即點5為線段EG的中點，又???尸為CE的中點,

.^.尸B為AECG的中位線，.?.EB〃CG,FB=-CG=—,：.FB±AB,即AAB尸是直角三角形,

22

、2巫-在AAED和ABGC中,

???AF=^JAB2+BF2=

2

7

AD=BC

<ZDAE=ZCBG,：.MED^ABGC,：.ZAED=ZBGC=90°,：.ZAEG=ZABF=90°,

AE=BG

.??AHAE11M

又?：ZHAE=/FAB,AAA￡H-A4BF,AAH=-AF=—,

AFAB224

：.HF=AF-AH^—.故答案為巫.

44

13.問題提出：如圖(1),Z\A3C中，AB^AC,。是AC的中點，延長BC至點E,使DE=DB,延長EO

交A3于點尸，探究A用F的值.

AB

問題探究：

(1)先將問題特殊化.如圖(2),當NS4c=60。時，直接寫出”的值；

AB

(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結論仍然成立.

問題拓展：

CG1

如圖(3),在aABC中，AB=AC,。是AC的中點，G是邊2C上一點，—=-(?<2),延長BC至點E,

BCn

AF

使。石=DG,延長交AB于點尸.直接寫出大的值(用含幾的式子表示).

AB

【解析】［問題探究］(1)?「△ABC中，AB=AC,。是AC的中點，ZBAC=6O0,.?.△回(?是等邊三角形，

AD=-AB,..ZABD=ZDBE=300ZA=60°,?:DB=DE,,ZE=ZDBE=30。，

29

-ZDCE=180°-ZACB=120°,/.ZADF=ZCDE=180°-ZE-ZDCE=30°,

1J_AD

???ZA=60。，ZAFD=9Q0,/.AF=-AD,AF1.

2—r=—2—=-

(2)如圖，取BC的中點H,連接是AC的中點，OH〃AB,DH=^AB.

VAB=AC,:.DH=DC,：.ZDHC=ZDCH.

AAEB3

VBD=DE,:./DBH=/DEC,：.ZBDH=ZEDCAADBH^ADEC.：.BH=EC.：.——=-.

EH2

FBEB3.FB_3AF

.DH//AB,：.AAEDH^AAEFB.：.——=——=-

DHEH2*AB-4AB4

［問題拓展］如圖，取5C的中點H,連接DH.???￡＞是AC的中點,/.DH//AB,DH=-AB.

2

VAB^AC,：.DH=DC,：.ZDHC=ZDCH.

?：DE=DG,：.ZDGH=ZDEC.：.ZGDH=NEDC.

ADGH'DEC.：.GH=EC.HE=CG.

?.?黑=：("<2),;.BC=nCG,:.BG=(n-1)CG,

CE=GH=；BC-BG=gnCG-(n-l)CG=\CG.

nCG+\l--\CG

：.EBBC+CE\2.n2+n

EHEHCG22

FBEB2+n

,：DH//AB，/./\EDH^/\EFB.：.——

DHEH2

.FB_2+n.AF4-2-〃2-nAF_2-n

*AB4.??AB44AB4

14.綜合與實踐

【問題提出】勾股定理和黃金分割是幾何學中的兩大瑰寶，其中“黃金分割”給人以美感.課本這樣定義“黃

RPAp

金分割點”：如圖1,點P將線段"分成兩部分（”g若k布貝格點尸為線段,勺黃金分割

點，這個比值稱為黃金比.

圖3

的值.

【類比探究】⑵如圖2,在△A3c中，。是8C邊上一點，AD將△△3c分割成兩個三角形（2.與八⑺），

ss

若產L=*也，則稱9為的黃金分割線.①求證：點。是線段BC的黃金分割點；②若△ABC

、4ABD^Z\ABC

的面積為4,求△ACD的面積.

【拓展應用】（3）如圖3,在△ABC中，。為上的一點（不與A,8重合），過D作DE〃BC,交AC

于E,BE,CD相交于尸，連接AF并延長，與DE,3c分別交于M,N.請問直線AN是△ABC的黃金

分割線嗎？并說明理由.

RPAP1—YX

【解析】（1）設”=兀，貝IJ族=1—%,由題意，—,??.」=；,整理得f+x—i=o,

APABx1

解得再=±且，（不合題意，舍去），=.?.四=±1.

12222AB2

（2）①設中邊上的高為力，

oOLcD.fi-BDh

..口△ACD_,22：.2=黑，，點。是3（7的黃金分割點.

△AW44ABe-BDh-BChDUnC

22

②設AACD的面積為s,則△ABD的面積為4-s,

qq

??-△AC。_QAABD

.q―q73r''整理得d-12s+16=。,

Q4ABDa/\ABC

解得S]=6-2行，"=6+2石（不合題意，舍去），二△ACD的面積為6-2百.

（3）直線⑷V不是AABC的黃金分割線.理由如下：

VDE//BC,：.ADMFS0F,NEMFEBNF,^ADM^^ABN,AAEM^AAOV,

DMMFMEDMAM_MEDM_NCDM_BN

，elvc-FW-B7V，~BN~^N~1^C，??樂―麗’~ME~7/C

NCBN1

"^77=?即BN?=NC?，??BN=NC，??S^ABN=S^ACN=~^SAABC,

DIN7VCZ

直線AN不是MBC的黃金分割線.

wa拓展突破練

15.《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門

一百步立一表，出西門二百二十五步適可見之，問邑方幾何?”它的意思是：如圖，M、N分別是正方形A3CD

的邊相＞、AB的中點，MEYAD,NF1AB,跖過點A,且ME=100步，NF=225步,那么該正方形

城邑邊長AO約為（）步

A.300B.260C.225D.185

【答案】A

【解析】VMELAD,NFLAB,:.NFNA=ZAME=90。,

,正方形ABC。中，ZMAN=90°,"過點A,

:.FN//AM,.則/F=/EAM,?AME^FNA,——=——，

ANEM

:M、N分別是正方形ABCD的邊AZX鉆的中點，設AO=2a,A〃=AN=a,

???ME=100步，冊=225步，=-^-,即“2=100x225,解得。=150,

a100

，正方形城邑邊長AD=2a=300步，故選A.

16.請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論

著.黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值.

如圖①，在線段上找一個點C,C把AD分為AC和CO兩段，其中AC是較小的一段，如果

AC-.CD=CD.AD,那么稱線段被C點黃金分割，點C叫做線段4）的黃金分割點，AC與C。的比值

叫做黃金分割數.

為簡單起見，設AD=l,CZ）=x,則AC=1-x.

VAC:CD=CD.AD,：....

①②

任務：

⑴請根據上面的部分解題過程，求黃金分割數.

(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點：①設A3是已知線段，過點3作且使

②連接ZM,在ZM上截取小=夏8；③在AB上截取AC=AE,則點C即為線段AB黃金分割點.你能說

說其中的道理嗎？

(3)已知線段4?=1,點C,。是線段上的兩個黃金分割點，則線段8的長是.

【解析】(1)^AD=\,CD=x,貝|JAC=1-x.

22l±

VAC:CD=CD:AD,：.CD=ACAD,x=l-x,Ax=~^,-：x>o,.?.》=叵土

22

47:8=必二]即黃金分割數為由二

22

(2)能，道理如下：設A5=2wi,則3￡>=m，DE=BD=m,

,：BDA.AB,：.ZABD=90°，,AD=^AB2+BD2=7(2/w)2+m2=^5m，

AE=AD-DE=y/5m-m=(A/5-V)m,：.AC=AE=(y/5-l)m,

AC:AB=(非=3二1,點c是線段AB的黃金分割點.

2m2

(3)如圖，設AB=1,C5=〃,AC=1-〃，

II_

ACDB

VAC:CB=CB:AB,：.CB2=ACAB,：.rr=l-n,；.“=一"，,

2

'：n>0,：.n=,,/AD=CB=,/.CD=AD+BC-AB=y[5-2,故答案為：火一2.

22

wa仿真考場練

17.(2023?四川遂寧?中考真題)在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.在如圖所示的平面

直角坐標系中，格點△ABC、成位似關系，則位似中心的坐標為()

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【解析】由圖得：A（L2）,D（3,4）,

設直線的解析式為：y=kx+b,

2=k+b乙,k=i

將點代入得4=3k+bf解得?.?直線.的解析式為：y=x+i，

AD所在直線與所在直線x軸的交點坐標即為位似中心,

.,.當y=o時，x=-i,二位似中心的坐標為（一1,0）,故選A.

18.（2023?山東東營?中考真題）如圖，AWC為等邊三角形，點。，E分別在邊BC,上，ZADE=60°,

若BD=4DC,DE=2.4,則AD的長為（

A.1.8B.2.43.2

【答案】C

【解析】為等邊三角形，N3=NC=60。,

ZADB=ZADE+ZBDE=ZC+ZDAC,ZADE=60°,

.ADAC

AZBDE=ZDAC,：.Z\ADC^^DEB,

'~DE~~BD

BC5

4.ADAC

BD=4DC,:.BD=—BC,4X,

5"DE~BD-BC

5

VDE=2.4,AAD=-xDE=3故選C.

4f

19.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）如圖，AC,5。相交于點。，AB//DC,M是的中點，MN//AC,

交BD于點、N.若00:05=1:2,AC=12f則的V的長為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

DOCO1

【解析】?.?AB〃OC,?△B4O,,CO=-OA,CO=-AC

BOAO223f

BMMN

?.?MN〃AC,:.^BNM^BOA,/.

BAOA

MN1、…；xl2=4,故選B.

?「MM3的中點，，旅\MN=-OA,:.MN=CO,:.MN=-AC=

OA223

20.（2023?山東濟南?中考真題）如圖，在△回（?中，AB=AC,NB4C=36。，以點。為圓心，以3C為半

徑作弧交AC于點。，再分別以8,。為圓心，以大于g劭的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射線CP

交于點E,連接。石.以下結論不正確的是（)

S/xAEC_+]

A./BCE=36。B.BC=AEC.

AC2?！鰾EC2

【答案】C

【解析】由題意得，BC=DC,CE平分/AC3,

??,在中，AB=AC,ZBAC=36°,

,.,CE1平分/ACS,AZBCE=36°,故A正確;

?「CE平分/AC5,ZACB=72°,AZACE=36°=ZA,：.AE=CEf

VZABC=72°,NBCE=36。，：./BEC=7T=ZB