復習專題五關(guān)聯(lián)速度問題

——精剖細解細復習講義

知識點1:關(guān)聯(lián)速度

(1)模型特點

關(guān)聯(lián)體一般是兩個或兩個以上由輕繩或輕桿聯(lián)系在一起，或直接擠壓在一起的物體,

它們的運動簡稱為關(guān)聯(lián)運動。一般情況下，在運動過程中，相互關(guān)聯(lián)的兩個物體不是都沿繩

或桿運動的，即二者的速度通常不同，但卻有某種聯(lián)系，我們稱二者的速度為“關(guān)聯(lián)”速度。

(2)分析思路

①合速度：物體實際運動的方向就是合運動的方向，即合速度的方向；

②分速度

情形一：用輕繩或可自由轉(zhuǎn)動的輕桿連接的物體

沿繩或桿的分速度；垂直于繩或桿的分速度。

情形二：相互接觸的物體

沿接觸面的分速度；垂直于接觸面的分速度。

(3)模型圖如下

nrucos0

0

乙》心

rnin0

“。游os3“DcosO“cos0=Pgsin0

匕重唯點精桶牛

擴展情景如下：

關(guān)聯(lián)速度

解題思路:

關(guān)聯(lián)速度問沿繩（或桿）方向的速度分量大小相等。

題的特點

解題的思路合速度：物體實際運動的速度；分速度：①沿繩子或桿的分速度；

②與繩子或桿垂直的分速度。

解題的原則速度的合成和分解遵循平行四邊形法則。

解題的方法把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，

根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相等進行求解。

塞凡聞

一、單選題

**

,0（.桿連接物體運動的分析

1.2021年3月H日寧夏銀川，一家餐廳后廚起火后，三名顧客被困。如圖是火警設(shè)計的

一種快捷讓當事人逃離現(xiàn)場的救援方案：用一根不變形的輕桿支撐在樓面平臺上，

N端在水平地面上向右以％勻速運動，被救助的人員緊抱在M端隨輕桿向平臺B端靠近，

平臺高九當3N=2/z時，則此時被救人員向B點運動的速率是（）

CD

A.1B.2VoC.~^-v

0D.1v0

2

【答案】C

【詳解】設(shè)桿與水平面CO的夾角為0,由幾何關(guān)系可知

.八h1

sin6=——=—

2h2

即

8=30。

將桿上N點的速度分解成沿桿的分速度匕和垂直桿轉(zhuǎn)動的速度v2,由矢量三角形可知

而沿著同一根桿，各點的速度相同，故被救人員向8點運動的速率為3%。

20

故選C。

2.如圖所示，懸點。下方固定一光滑小圓環(huán)，水平光滑細長桿左端套有一小物塊Q?，F(xiàn)用

一輕質(zhì)細繩跨過小圓環(huán)，細繩一端連接物塊。另一端懸掛一物塊P?，F(xiàn)將P、。由靜止釋

放，當細繩左邊部分與水平方向的夾角為。時，下列說法正確的是（）

A.當。=30。時，P、。的速度大小之比為2:6B.當。=45。時，P、。的速度大小之比

為亞:2

C.當。=90。時，。的速度大小為零D.當。=90。時，P的加速度大小為零

【答案】B

【詳解】A.由題意可知，尸、。用同一根繩連接，則。沿繩子方向的速度與尸的速度相等,

則滿足

V

vQCOS0=P

當6=30。時，有

vQcos30°=vp

可知，P、。的速度大小之比為

—=cos30°=^-

VQ2

A錯誤；

B.當8=45。時，有

vQcos45°=vp

可知，P、。的速度大小之比為

—=cos45°=-^

ve2

B正確；

CD.當P的機械能最小時，即為。到達。點的正下方時，此時。的速度最大，即當6=90。

時，。的速度最大，尸的速度最小為零，但尸的加速度不為零，CD錯誤。

故選B。

有.斜牽引運動中的受力分析

3.貨車通過光滑輕質(zhì)定滑輪提升一箱貨物，貨箱質(zhì)量貨物質(zhì)量貨車以速度v向左

勻速運動，下列說法中正確的是（）

〃〃/〃，/

A.貨物向上勻速運動

B.箱中物體對箱底壓力大于〃若

C.此過程中貨車拉力小于（M+〃z）g

D.圖示位置時貨箱和貨物整體的速度為vsin。

【答案】B

【詳解】ABD.貨車沿繩子方向的分速度等于貨箱、貨物的速度匕，則有

匕=VCOS0

由于V不變，。變小，COS0變大，則貨物向上加速運動，貨物的加速度方向向上，可知箱底

對箱中物體的支持力大于加g,則箱中物體對箱底壓力大于，咫，故AD錯誤，B正確；

C.以貨箱、貨物為整體，設(shè)繩子拉力為T,由于加速度方向向上，根據(jù)牛頓第二定律可得

可得

T=（A/+m）g+（M+m）a＞（Af+〃?）g

可知此過程中貨車拉力大于（M+〃?）g,故C錯誤。

故選B。

4.如圖所示，小車拉著物體A以速度v向右勻速運動，小車與水平夾角為6時，在不計滑

輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，下列關(guān)于物體A說法正確的是（）

A.A的速度大小為vcos。，繩子拉力大于物體重力

B.A的速度大小為vcos。，繩子拉力小于物體重力

C.A的速度大小為」飛，繩子拉力大于物體重力

COS”

D.A的速度大小為娛，繩子拉力小于物體重力

cost/

【答案】A

【詳解】根據(jù)關(guān)聯(lián)速度，兩物體間的速度關(guān)系為

VA=VCOS0

小車與水平夾角為。逐漸減小，cos。逐漸增大，則A的速度逐漸增大，A做加速運動，根

據(jù)牛頓第二定律可知，繩子拉力大于物體重力。

故選Ao

0-

圖:.斜牽引運動中的運動分解

5.質(zhì)量為機的物體P置于傾角為伍的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著

尸與小車，尸與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動，當小車

與滑輪間的細繩和水平方向成夾角％時（如圖所示），下列判斷正確的是（）

A.繩的拉力等于“zgsin，

B.繩的拉力小于，"gsinq

C.P的速率為v

D.尸的速率為vcos%

【答案】D

【詳解】將小車的速度v分解為沿繩子方向的速度和垂直繩子方向的速度，如圖所示

小車沿繩方向的速度等于P的速度，即

VP=VCOS02

小車向右做勻速直線運動，U不變，仇減小，cos%增大，則V尸增大，則P做加速運動，對

物體P,根據(jù)牛頓第二定律可知

T-mgsm9i=ma

可知繩的拉力大于mgsindi

故選D。

6.如圖所示，A、5兩物體系在跨過光滑定滑輪的一根輕繩的兩端，當A物體以速度u向左

運動時，系A(chǔ)、B的繩分別與水平方向成a、4角，此時B物體的速度大小為（）

vsma

B，cos"

Cvcos（3VCOS6Z

D'cos"

cosa

【答案】D

【詳解】根據(jù)運動合成與分解得

VCOS。=耍=力cosP

所以

vcosa

v=---------

Rcos/3

故選D。

二、多選題

'尊（.桿連接物體運動的分析

7.如圖為車庫出入口的曲桿道閘，道閘由轉(zhuǎn)動桿與橫桿鏈接而成，在道閘抬起過程

中，桿48始終保持水平。桿。4繞。點從水平勻速轉(zhuǎn)動到豎直的過程中，下列說法正確的

是（）

A.A點的線速度不變B.A點的角速度不變

C.A、8線速度相等D.8點在豎直方向做勻速運動

【答案】BC

【詳解】AB.依題意，桿繞。點從水平勻速轉(zhuǎn)動到豎直的過程中，A點做勻速圓周運

動，所以A點的角速度不變，根據(jù)

v=a>r

可知A點的線速度大小不變，方向改變，A錯誤，B正確；

C.依題意，桿始終保持水平，A、2兩點保持相對靜止，線速度相等，C正確；

D.桿0A繞。點從水平勻速轉(zhuǎn)動到豎直的過程中，2點做勻速圓周運動，其線速度與水平

方向夾角夕一直減小，如圖所示將B的速度分解為水平和豎直方向

則豎直方向的分速度

v±=vsin6,

一直在減小，D錯誤。

故選BCo

8.如圖所示為內(nèi)燃機中輕質(zhì)活塞和曲柄連桿結(jié)構(gòu)的示意圖和簡圖。汽缸內(nèi)高壓氣體推動活

塞使其往復運動，某時刻活塞的速度為％,連桿4?與活塞軸線2。垂直，汽缸中高壓氣體

及外部大氣對活塞作用力的合力大小為R已知AO=JAB,不計一切摩擦，則此刻（）

B.汽缸壁對活塞的作用力為由產(chǎn)

3

C.連桿的A端沿連桿A3方向的線速度為之叵%

3

D.連桿的A端繞。點轉(zhuǎn)動的線速度為%

【答案】BD

【詳解】AB.連桿AO與活塞軸線8。垂直時，由幾何關(guān)系可知與8。之間的夾角

6=30°

由于是輕質(zhì)活塞，所以活塞所受合外力為零，活塞受連桿對其的推力耳、汽缸壁對其的

彈力工和高壓氣體及外部大氣對活塞的作用力作用，如圖所示

根據(jù)平衡條件可得

F{cos0=F

耳sin6=每

解得

F^—^F

13

F2=—F

23

故A錯誤，B正確;

CD.%沿連桿AB方向和垂直于連桿AB方向分解，如圖所示

Qno百

VA=V0COS30=—V0

連桿04的A端繞O轉(zhuǎn)動的線速度

v

v=----A----=v

cos30°n

故C錯誤，D正確。

故選BD.

.斜牽引運動中的受力分析

9.用外力B通過如圖所示的裝置把一個質(zhì)量為m的小球沿傾角為30。的光滑斜面勻速向上

拉動。已知在小球勻速運動的過程中,拴在小球上的繩子與水平桿之間的夾角從45。變?yōu)?0。,

斜面體與水平地面之間是粗糙的，并且斜面體一直靜止在水平地面上。不計滑輪與繩子之間

B.外力尸一直在增大

C.某時刻繩子對水平桿上的滑輪的合力等于繩子的拉力

D.繩子移動的速度大小大于小球沿斜面運動的速度大小

【答案】BC

【詳解】B.設(shè)連接小球的繩子與水平方向的夾角為0,對小球，沿斜面方向，由平衡條件

有

rcos(6>-30°)=mgsin30°

解得繩子拉力為

T=mg

-2cos(6>-30°)

則當。角從45。變?yōu)?0。的過程中，繩子的拉力7變大，因為外力

F=T

則外力尸一直在增大，B正確；

A.將小球和斜面體視為整體，則地面對斜面體的靜摩擦力等于繩子拉力的水平分量，即

f=Tcos0

又因為

T:mg

-2cos(。-30。)

所以，地面對斜面體的靜摩擦力

mgcos0

2cos（6—30。）

故只有當。=90。時，地面對斜面體的靜摩擦力才等于零，A錯誤；

C.當6=90。時，滑輪兩邊繩子的夾角為120。，由受力分析可知，此時繩子對水平桿上的滑

輪的合力等于繩子的拉力，C正確；

D.將小球沿斜面運動的速度v分解可知，繩子的速度

匕=vcos(^-30°)

則繩子移動的速度大小小于小球沿斜面運動的速度大小，D錯誤。

故選BC。

10.如圖，輕質(zhì)不可伸長的細繩跨過光滑定滑輪C與質(zhì)量為機的物體A連接，A放在傾角

為6的固定光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體B連接，BC連線恰好沿水

平方向。若物體B從當前位置以速度％勻速下滑，重力加速度大小為g,設(shè)繩的張力大小

為T,在此后的運動過程中()

B.物體A處于失重狀態(tài)

C.物體A做加速運動

D.繩的張力大小T大于mgsin6

【答案】CD

【詳解】由題意可知，將B的實際運動，分解成兩個分運動，如圖所示

根據(jù)平行四邊形定則，有

因物體B以速度“勻速下滑，a增大,所以物體A的速度增大，則物體A做加速運動，物

體A有向上的加速度，處于超重狀態(tài)，可得繩子對A的拉力一定大于A的重力沿斜面向下

的分力，即

T>mgsin0

CD正確，AB錯誤。

故選CD?

■*

.斜牽引運動中的運動分解

11.如圖所示，物體A和B分別與跨過定滑輪的輕繩兩端連接（不計繩與滑輪之間的摩擦），

當用水平變力廠拉著物體B沿光滑水平面向右做勻速直線運動時,下列判斷正確的是（）

A.物體B的速度小于物體A的速度

B.物體B的速度大于物體A的速度

C.輕繩的拉力小于物體A所受的重力

D.輕繩的拉力大于物體A所受的重力

【答案】BD

【詳解】AB.設(shè)物體B的運動速度為％,將B的速度沿繩和垂直繩的方向進行分解，沿繩

方向的速度大小等于物體A的速度大小，則有

vA=vBcos0

可知物體B的速度大于物體A的速度，故A錯誤，B正確；

CD.根據(jù)

vA=vBcos0

在物體B運動過程中，。不斷變小，則以不斷增大，物體A向上做加速運動；以A為對象,

根據(jù)牛頓第二定律可得

T-m^g=maA>0

可知輕繩的拉力大于物體A所受的重力，故C錯誤，D正確。

故選BD。

12.如圖所示，水平地面上做勻加速直線運動的汽車，通過定滑輪用繩子吊起一個物體。若

某一時刻汽車的速度大小為匕，汽車與定滑輪之間的繩子與水平方向的夾角為仇則（）

e

A.物體做加速運動

B.物體做減速運動

C.物體此時的速度大小嶺=匕cos。

D?物體此時的速度大小彩=5?

【答案】AC

【詳解】繩子末端的速度可分解為沿繩方向和垂直于繩方向的兩個速度，而物體的速度大小

與沿著繩子方向的分速度大小相等，由幾何關(guān)系有

匕COS。==V2

因汽車做勻加速直線運動，匕均勻增大，汽車向左運動的過程中，。逐漸減小，COS0增大,

匕逐漸增大，即物體做加速運動，選項AC正確BD錯誤。

故選AC。

■

一、單選題

1.如圖所示，長為/的輕桿，一端固定一個質(zhì)量為根的小球，另一端有固定轉(zhuǎn)動軸。，桿

可在豎直面內(nèi)繞轉(zhuǎn)動軸。無摩擦轉(zhuǎn)動；質(zhì)量為機的物塊放置在光滑水平面上，開始時，使

小球靠在物塊的光滑側(cè)面上，輕桿與水平面夾角45。，用手控制物塊靜止，然后釋放物塊，

在之后球與物塊運動的過程中，下列說法正確的是（）

B.球與物塊分離前，球與物塊的速度相等

C.球與物塊分離前，物塊的速度先增大后減小

D.球與物塊分離時，球的加速度等于重力加速度

【答案】D

【詳解】AD.對小球和物塊整體受力分析，受重力，桿的彈力凡地面的支持力如圖

1所示,

圖1

在水平方向由牛頓第二定律得

Fcos3=(^M+nt)ax

分離后物塊的加速度為零，可知在球與物塊分離前，物塊的加速度逐漸減小，而小球水平方

向的分加速度與物塊的加速度相等，所以物塊的水平方向分加速度逐漸減小，而cos。逐漸

增大，所以彈力逐漸減小，當恰好分離時，水平加速度為零，彈力為零，球只受重力，加速

度等于重力加速度g,故A錯誤，D正確；

B.設(shè)球的速度為V,球與物塊分離前，物塊與球的水平速度相等，球的速度與桿垂直向下，

圖2

將球的速度分解為水平方向和豎直方向兩個分速度，由圖可知，球的速度大于物塊的速度,

故B錯誤；

C.由于地面光滑，桿對物塊的彈力始終向左，物塊的加速度始終向左，所以物塊一直加速,

故C錯誤。

故選D。

2.如圖所示，建筑工人用輕質(zhì)動滑輪和定滑輪將質(zhì)量為機的貨物拉到高處，人豎直向下勻

速拉繩，速度為也某時刻動滑輪兩側(cè)繩的夾角為物體向上運動的速率為"，不計一切

V

A.貨物上升的速度為"=-e

cos—

2

0

B.貨物上升的速度為"=2VCOS5

_mg_

c.人的拉力e

2cos—

2

F>mg

D.人的拉力°e

2cos—

2

【答案】D

【詳解】AB.人豎直向下勻速拉繩，速度是V,因為右端固定，相當于動滑輪兩側(cè)繩的速

度是］，則有貨物向上的運動速度〃沿繩方向的分速度

0V

ucos——=——

22

解得

c§

2cos—

2

AB錯誤；

CD.物體向上運動過程中，兩側(cè)繩的夾角為夕變大，由上述計算可知，物體向上運動的速

度變大，加速度方向向上，根據(jù)牛頓第二定律得

2rcos--mg=ma

解得人的拉力

2cos—2cos—

22

故C錯誤，D正確。

故選D

3.如圖所示，物塊B套在傾斜桿上，并用輕繩繞過定滑輪與物塊A相連（定滑輪體積大小

可忽略），今使物塊B沿桿由J點勻速下滑到N點，運動中連接A、B的輕繩始終保持繃

緊狀態(tài)，在下滑過程中，下列說法正確的是（）

A.物塊A的速率先變大后變小B.物塊A的速率先變小后變大

C.物塊A始終處于失重狀態(tài)D.物塊A先處于失重狀態(tài)，后處于超重狀態(tài)

【答案】B

【詳解】AB.將物體B的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，如圖，

根據(jù)平行四邊形定則，沿繩子方向的速度為

vA=vBcosO

可知9在增大到90。的過程中，物體A的速度方向向下，且逐漸減??；由圖可知，當物體B

到達P點時，物體B與滑輪之間的距離最短，繩子長度最小，此時

8=90°

VA=°

此后物體A向上運動，且速度增大；所以在物體B沿桿由點M勻速下滑到N點的過程中，

物體A的速度先向下減小，然后向上增大，故A錯誤，B正確；

CD.物體A向下做減速運動和向上做加速運動的過程中，加速度的方向都向上，所以物體

A始終處于超重狀態(tài).故CD錯誤。

故選B。

二、多選題

4.如圖所示，A8桿以恒定角速度。繞A點轉(zhuǎn)動，并帶動套在光滑水平桿OC上的質(zhì)量為

M的小環(huán)運動，運動開始時，AB桿在豎直位置，則（）

A.小環(huán)M的速度將逐漸增大B.小環(huán)M的速度將先減小后增大

C.小環(huán)M的加速度速度將逐漸增大D.小環(huán)M的加速度速度將逐漸減小

【答案】AC

【詳解】AB.設(shè)小環(huán)速度為V,由運動的分解知識

h

CD—

COS①t=-COSO)t

V

得

coh

y=2

coscot

可知，小環(huán)做加速運動，A正確，B錯誤；

CD.因cosof隨,減小，并且變化越來越快；故說明速度增大的越來越快；故加速度逐漸增

大，C正確，D錯誤。

故選ACo

5.如圖所示，船停在平靜的河水中，人在岸上拉船，人勻速向左的速度為丫，則（）

A.船在河中做勻速直線運動，速度也為v

B.船在河中做勻減速直線運動

C.船在河中做加速度增加的加速直線運動

D.斜繩與水平成30。時，以：v船=括:2

【答案】CD

【詳解】AB.由題意知，船的速度方向水平向左?，F(xiàn)在將船的速度分解到兩個方向，沿著

繩子向上的匕和垂直于繩子向下的打,其中

匕二U

則根據(jù)幾何關(guān)系可知

VjWl——

'ncos。cos6

隨著人向左拉繩子，船也在水平向左運動，。角逐漸變大，則可知V船逐漸增大，所以船在

河中做加速運動，所以AB錯誤；

C.由AB選項分析可知，船在河中做加速運動。設(shè)河岸高為H傳到岸邊的繩長為/,岸到

船的距離為x,則由數(shù)學知識推導為

ucos6

v2=a）l,v2=vtan0

由加速度的定義式可得

dv-°）vsin0v2sin20

a=——-----------------------4------------

Atdtcos20/cos30

又由幾何關(guān)系可得

sin=—,cos0--

II

得

v2h2

a=—z-

所以當船在河中向左運動時，x逐漸減小，a逐漸增大，則船在河中做加速度增加的加速直

線運動，所以C正確；

D.由AB選項分析可知

二以

cos。

則當

e=3o°

時

所以D正確。

故選CD?

6.將質(zhì)量為2根的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為根的小環(huán)，小環(huán)套在

豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為乩現(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處由

靜止釋放，當小環(huán)沿直桿下滑距離也為d時（圖中B處），下列說法正確的是（重力加速度

為g）（）

A.小環(huán)剛釋放時輕繩中的張力大于3%g

B.小環(huán)在B處的速度與此時重物上升的速度大小之比等于應(yīng)

C.小環(huán)在B處的速度與此時重物上升的速度大小之比等于正

2

D.小環(huán)到達8處時，重物上升的高度為（血一1）1

【答案】BD

【詳解】A.環(huán)剛開始釋放時，環(huán)有向下的加速度，而該加速度沒有沿繩子方向的分量，所

以重物在瞬間加速度為零，則繩子的張力等于重物的重力，即

T=2mg

所以A錯誤；

BC.根據(jù)題意，繩子兩端沿繩方向的分速度大小相等，將小環(huán)速度沿繩子方向與垂直于繩

子方向正交分解，應(yīng)有

u環(huán)cos45°二y物

得

哇=母

%

所以B正確，C錯誤；

D.小環(huán)到達2處時，重物上升的高度應(yīng)為右邊繩子縮短的長度，即

Ah=0d-d

所以D正確；

故選BD?

三、解答題

7.如圖所示，一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為和“ZB的兩個小球A和B（可視為質(zhì)點），將

其放在一個直角形光滑槽中。已知當輕桿與槽左壁成a角時，A球沿槽下滑的速度為VA,

求此時B球的速度VB的大小。

A

B

【答案】

tan<7

【詳解】如圖所示

A球沿槽下滑的速度為期時，VA可分解為沿桿方向的分速度VA/和垂直桿方向的分速度VA2.

而B球沿槽上滑的速度叫可分解為沿桿方向的分速度U即和垂直桿方向的分速度出2.由圖可

知

5二%

即

vBsinoc=vAcosa

故

VB=-^~

tana

8.如圖所示，質(zhì)量都為1kg的兩個物體A、B,用輕繩跨過定滑輪相連接，在水平力作用

下，物體B沿水平地面向右運動，物體A恰以速度2m/s勻速上升，已知物體B與水平面間

的動摩擦因數(shù)為0.1,重力加速度為g=10m/s2。當物體B運動到使斜繩與水平方向成a=37。

時。(已知sin37°=0.6,cos37°=0.8)求：

(1)輕繩對B物體的拉力T的大?。?/p>

(2)物體B的摩擦力了的大??；

(3)B物體的速度w；的大小。

A

BF

【答案】(1)ION；(2)0.4N；(3)2.5m/s

【詳解】(1)物體A勻速運動，則有輕繩對B物體的拉力

T=mg=10N

(2)當斜繩與水平方向成。角時，設(shè)B物體受支持力樂，摩擦力為力有

mg=FN+Tsina

/=〃然

解得

f=//mg(1-sina)-0.4N

(3)將B的運動分解為沿繩子方向的運動和垂直于繩子方向的運動，如圖

根據(jù)平行四邊形定則有

%=vBcosa

沿繩子方向上的分速度等于A的速度則有