限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間:一月一日天氣:

寒假作業(yè)05軸對(duì)稱(chēng)與垂直平分線(xiàn)

1.軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)的概念

軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿一直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁部分折疊后能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱(chēng)圖形,

這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸.

2.軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)

(1)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

(2)軸對(duì)稱(chēng)圖形上對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等、對(duì)應(yīng)角相等.

(3)畫(huà)一個(gè)與已知圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)圖形的步驟：①描出圖形關(guān)鍵點(diǎn)；②過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸垂線(xiàn)，并截

取對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度線(xiàn)段，端點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)；③按上述步驟確定所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④連線(xiàn).

3.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定

(1)垂直平分線(xiàn)(中垂線(xiàn))：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn).

(2)垂直平分線(xiàn)(中垂線(xiàn))的畫(huà)法：尺規(guī)作圖.

(3)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

(4)垂直平分線(xiàn)的判定：到一條直線(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.

(5)三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)；外心性質(zhì)：外心到該三角形三頂點(diǎn)的距離相等.

4.對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征已知點(diǎn)P(x,y).

①點(diǎn)P關(guān)于x軸(直線(xiàn)y=0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q\(尤，-y)；②點(diǎn)P關(guān)于〉軸(直線(xiàn)x=0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(-x,y)；

③點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)尤=："的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Qi(2w-x,y)；④點(diǎn)尸關(guān)于直線(xiàn)y=〃的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。2(無(wú)，2”-y).

wa鞏固提升練

i.在每一個(gè)學(xué)子心中或許都?jí)粝脒^(guò)自己心目中大學(xué)的模樣，很多大學(xué)的校徽設(shè)計(jì)也會(huì)融入數(shù)學(xué)元素，下列

大學(xué)的?；?qǐng)D案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是()

【答案】C

【解析】A,B,D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線(xiàn)，使直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合;

C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線(xiàn)，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形.故選C.

2.如圖，AABC和△A'B'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，連接A4'、BB\CC,其中A4,與直線(xiàn)/交于點(diǎn)。，點(diǎn)。為

直線(xiàn)/上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)。重合，連接AD、AD.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.ZACB=ZA'C'B'B,線(xiàn)段BB、CC被直線(xiàn)/垂直平分

C.為等腰三角形D.線(xiàn)段AC、AC所在直線(xiàn)的交點(diǎn)不一定在直線(xiàn)/上

【答案】D

【解析】A、；AABC和AA'3'C'關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，

AABC^AB'C,：.ZACB=ZACB',正確，不符合題意；

B、：AABC和AA'3'C'關(guān)于直線(xiàn)I對(duì)稱(chēng)，

線(xiàn)段A4*BB\CC被直線(xiàn)/垂直平分，正確，不符合題意；

C、???△ABC和AAB'C'關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，.?./是線(xiàn)段A4,的垂直平分線(xiàn)，

為等腰三角形，正確，不符合題意；

D、,；和AAB'C'關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，

...線(xiàn)段AC、A'C'所在直線(xiàn)的交點(diǎn)一定在直線(xiàn)/上，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意.故選D.

3.如圖為軸對(duì)稱(chēng)圖形，該圖形的對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)為（）

【答案】D

【解析】如圖,

一共有5條對(duì)稱(chēng)軸.故選D.

4.如圖，在八45。中，直線(xiàn)肱V為線(xiàn)段3C的垂直平分線(xiàn)，交AC于點(diǎn)D,連接班）.若AZ）=3cm,AC=10cm,

則3D的長(zhǎng)為（）

N

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【答案】B

【解析］：A￡>=3cm,AC=K）cm,C￡>=AC—AD=7cm,

;直線(xiàn)MN為線(xiàn)段3C的垂直平分線(xiàn)，，8。=CD=7cm.故選B.

5.在AWC中，用尺規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于刀的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)〃和

N.作直線(xiàn)交AC于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、E,連接AE.則下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.AB=AEB.AD=CDD.ZADE=ZCDE

【答案】A

【解析】由作圖可知，垂直平分線(xiàn)段AC,

AD=DC,EA=EC,ZADE=ZCDE=90°,故選項(xiàng)B,C,D正確，故選A.

6.如圖，AABC中，AB=AC,AB的垂直平分線(xiàn)交AC于￡,連接8E,AB+BC=16cm,則ABCE的

周長(zhǎng)是cm.

A

【答案】16

【解析】????！晔?8的垂直平分線(xiàn)，，隹=3萬(wàn),

A3CE的周長(zhǎng)為班故答案為：16.

7.尺規(guī)作圖：如圖，某地有兩個(gè)小區(qū)A,8和兩條相交的供水管道0C,0。.現(xiàn)計(jì)劃在S區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)

蓄水池，要求到兩個(gè)小區(qū)的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請(qǐng)確定蓄水池的位置.(保留作圖痕跡,

不寫(xiě)作法)

【解析】如圖所示，點(diǎn)尸即為所求.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZkABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為40,4),5(-3,3),C(-3,l).

(1)在圖中畫(huà)出/XABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形△ABC，并寫(xiě)出頂點(diǎn)4的坐標(biāo).

(2)若以4G所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△A瓦G關(guān)于直線(xiàn)B,c,對(duì)稱(chēng)的圖形△ABzG,并寫(xiě)出頂點(diǎn)人的

坐標(biāo);

(3)觀察△ABC與△4坊。2的位置關(guān)系，思考：若點(diǎn)P(〃?，〃)為△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，它在△A與G的

內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為鳥(niǎo)，則鳥(niǎo)的坐標(biāo)為.(用含切和"的式子表示)

【解析】(1)/XABC關(guān)于，軸對(duì)稱(chēng)的圖形為與G，則△ABC各點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于△A與G各點(diǎn)到y(tǒng)

軸的距離，如圖，即為所求圖形.

???△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形為△aqG，4(0,4),4(0,4),故答案為：(0.4).

(2)△AB|G關(guān)于直線(xiàn)與G對(duì)稱(chēng)的圖形為△4鳥(niǎo)C?,則△?14G各點(diǎn)到與G的距離等于各點(diǎn)到BG的

距離，如圖，?,.△4&G即為所求圖形.

?/5(-3,3),C(-3,l),4(3,3),G(3,l),

???4G所在直線(xiàn)是X=3,則點(diǎn)4到x=3的距離是3,

；?點(diǎn)4到x=3的距離是3,4(6,4),故答案為：(6,4).

(3)由上述計(jì)算可得，4(0,4),4(6,4),即點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，

???△ABC內(nèi)部的點(diǎn)尸(微小向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得巴，.?.『(利+6,〃),故答案為：(祇+6㈤.

9.如圖①、圖②、圖③都是3x3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).A,B,C均為格點(diǎn).在

給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫(huà)圖.

(1)在圖①中，畫(huà)一條不與AB重合的線(xiàn)段MN,使與A3關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且“，N為格點(diǎn).

圖①圖②圖③

（2）在圖②中，畫(huà)一條不與AC重合的線(xiàn)段PQ,使PQ與AC關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且P,。為格點(diǎn).

（3）在圖③中，畫(huà)一個(gè)AD￡F,使AZ）跖與AABC關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且。，E,尸為格點(diǎn).

【解析】（1）如圖①，3義3的正方形網(wǎng)格的對(duì)稱(chēng)軸/,描出點(diǎn)42關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,連接即

為所求.

（2）如圖②，同理（1）可得，P。即為所求.

（3）如圖③，同理（1）可得，AD砂即為所求.

10.如圖，NBAC的角平分線(xiàn)與線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)DG交于點(diǎn)。，DE±AB,DF±AC,垂足分別為點(diǎn)

E、F.

⑴求證：BE=CF；

⑵求證：AB-AC=2BE.

【解析】（1）如圖，連接C￡）,

A

DG垂直平分8C,，3D=CD,

?.?AD平分-54C,DE±AB,DFrAC,：.DE=DF,

在RtABDE和RtACDF中，〈，

[DE=DF

：.RtZkBDE之RtACDF(HL),;.BE=CF.

(2)在RtZvWE和RUAZW中，

f

|RtAADE&RtAAPF(HL),:,AE=AF.

[DE=DF'7

\'AE=AB-BE,AF=AC+CF,:.AB-BE=AC+CF,:,AB-AC=2BE.

M能力培優(yōu)練

11.如圖，直線(xiàn)AB,CO相交于點(diǎn)O,P為這兩條直線(xiàn)外一點(diǎn)，連接OP.點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB,CO的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)分別是點(diǎn)匕，P2.若8=3.5,則點(diǎn)片，鳥(niǎo)之間的距離可能是（）

A.0B.5C.7D.9

【答案】B

【解析】如圖,連接oqoR/A，

:點(diǎn)尸關(guān)于直線(xiàn)A3,。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是點(diǎn)4，P2,MOP=3.5,：.O^=OP=3.5,OP2^OP=3.5,

在△qog中，o《-og<4￡<o《+o鳥(niǎo)，：.0<ptp2<y,故選B.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中.(每個(gè)方格表示一個(gè)單位長(zhǎng)度)

⑴畫(huà)出ZkABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△AB￡；

(2)在y軸上找一點(diǎn)P,使R4+PC最小，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)P；

⑶若"8與△ABC全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解析】(1)如圖所示，即為所求；

(2)如圖所示，點(diǎn)尸即為所求,mi)；

(3)如圖所示，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-3)或(1,5)或(-3,5).

13.如圖，在八鉆。中，ZBAC>90°,AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB,BC于點(diǎn)E,F,AC的垂直平分線(xiàn)

分別交AC,8C于點(diǎn)N,直線(xiàn)E廠，即V交于點(diǎn)尸.

(1)求證：點(diǎn)尸在線(xiàn)段3c的垂直平分線(xiàn)上；

(2)連接AP,求證：AP平分NE4N；

(3)設(shè)NE4N=(z,其他條件不變時(shí)，求ZFPN的度數(shù).(用含a的式子表示)

A

E.'M

【解析】（1）如圖，連接用，PC,

：PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,...上4=尸3,PA=PC,

,PB=PC,.?.點(diǎn)P在線(xiàn)段3c的垂直平分線(xiàn)上；

(2)由(1)知，PB=PC,：.ZPBF=ZPCN,

垂直平分AB,/.PA=PB,FA=FB,AZPAB=ZPBA,ZFAB=ZFBA,

ZPAF=ZPBF,同理/B47V=/PCN,AZPAF=ZPAN,即AP平分/E4N.

(3)「PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,二R4=FB,NA=NC,ZAEP=ZAMP=90°,

設(shè)ZABC=x,ZACB=y,：.ZABC=x=ZBAF,^ACB=y=ZCAN,

在AABC中，ZABC+ZACB+ZCAB=1SO°,4FAN=a,

x+y+尤+y+a=180°,即然。？々=x+y,

在四邊形AEPM中，ZAEP+ZAMP+ZEAM+ZFPN=360°,

/.ZFPN=360°-90°-90-(x+y+a)=180°-+?V笑一-.

wa拓展突破練

14.如圖的四個(gè)圖案中，具有一個(gè)共有的性質(zhì)，那么在下列各數(shù)中也滿(mǎn)足上述性質(zhì)的是（）

A.212B.444C.535D.808

【答案】D

【解析】???五角星是軸對(duì)稱(chēng)圖形，三圓兩兩相切圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,

心形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，箭頭是軸對(duì)稱(chēng)圖形，.??他們的共有性質(zhì)是軸對(duì)稱(chēng),

在四個(gè)選項(xiàng)中只有D是軸對(duì)稱(chēng)圖形.故選D.

15.定義：兩點(diǎn)關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這條直線(xiàn)為這兩個(gè)點(diǎn)的“幸福直線(xiàn)”.若點(diǎn)4(1,2),幸福直線(xiàn)是x=-2,

則點(diǎn)A關(guān)于這條幸福直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8的坐標(biāo)是()

A.(-5,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

【答案】A

【解析】由題意知,3(-2x2-1,2),即網(wǎng)-5,2),故選A.

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)我們將經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,0)且垂直于x軸的直線(xiàn)記為直線(xiàn)x=a,

將經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,6)且垂直于y軸的直線(xiàn)記為直線(xiàn)y=b.

對(duì)于點(diǎn)尸給出如下定義，將點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)P',再將點(diǎn)P'關(guān)于直線(xiàn)y=b對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)Q,稱(chēng)

點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于〃的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

對(duì)于圖形G給出如下定義，將圖形G關(guān)于直線(xiàn)％。對(duì)稱(chēng)得到圖形G',再將圖形G'關(guān)于直線(xiàn)y=b對(duì)稱(chēng)得到

圖形W,稱(chēng)圖形W為圖形G關(guān)于M的“對(duì)應(yīng)圖形”.

已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,0),3(4,0),C(3,-3).

⑴如圖1,若點(diǎn)”(1,1).

①由定義知，將點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)(0,0),再將點(diǎn)(。,0)關(guān)于直線(xiàn)y=l對(duì)稱(chēng)，得到點(diǎn)(0,2),則點(diǎn)

A關(guān)于M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(0,2).那么，點(diǎn)3(4,0)關(guān)于"的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C關(guān)于"的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.

②已知點(diǎn)《(-1,n)和點(diǎn)P.(-1,〃+1),若線(xiàn)段4鳥(niǎo)關(guān)于M的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段QQ2位于AABC的內(nèi)部(不含三角形的

邊)，求”的取值范圍.

(2)若y軸上存在點(diǎn)O,使得點(diǎn)。關(guān)于M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在ZkABC的邊上，直接寫(xiě)出M點(diǎn)橫坐標(biāo)。的取值

范圍.

【解析】(1)①將點(diǎn)3(4,0)關(guān)于直線(xiàn)％=1對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)(-2,0),

再將點(diǎn)(-2,0)關(guān)于直線(xiàn)y=1對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)(-2,2),則點(diǎn)3(4,0)關(guān)于M的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為(-2,2),

將點(diǎn)C(3,-3)關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)(T-3),再將點(diǎn)(一.3)關(guān)于直線(xiàn)y=1對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)(-1,5),

則點(diǎn)C(3,-3)關(guān)于M的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為故答案為：(-2,2),(-1,5)；

②由上述可得點(diǎn)A（-1,n）關(guān)于M的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”0i為（3,2-〃），

點(diǎn)旦+關(guān)于M的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（3』-明

如圖，線(xiàn)段在44BC的內(nèi)部，此時(shí)只需2在X軸下方，Q在C（3,-3）的上方,

I2—n<0

即〈解得2〈幾<4,???〃的取值范圍是：2<n<4.

（2）設(shè)點(diǎn)。（O,d）,.?.點(diǎn)。關(guān)于M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（2a,%—d）,

丁點(diǎn)。關(guān)于M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在AABC的邊上，

則2W2aW4,：.l<a<2,即。的取值范圍是1WaW2.

Hl仿真考場(chǎng)練

17.（2023?江蘇?中考真題）剪紙是中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化.下列剪紙圖案中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【答案】B

【解析】選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖

形；

選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線(xiàn)，使直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形.故選B.

18.（2023?山東聊城中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC各點(diǎn)坐標(biāo)分別為&（-2,1）,B（-l,3）,

C（T,4）.先作人鉆。關(guān)于X軸成軸對(duì)稱(chēng)的44月G，再把44月G平移后得到△為與Q.若巴（2,1）,則

點(diǎn)人坐標(biāo)為（）

A.（1,5）B.（1,3）C.（5,3）D.（5,5）

【答案】B

【解析】???三點(diǎn)4（-2,1）,B（-l,3）,C（T,4）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)分別為A（-2,-l）,^（-1,-3）,C（T,T）,

結(jié)合不（2,1）,.?.得到平移規(guī)律為向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，故&的坐標(biāo)為（1,3）.故選B.

19.（2023?吉林長(zhǎng)春?中考真題）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)E重合，折痕為展

開(kāi)后，再將紙片折疊，使邊A3落在線(xiàn)段AM上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8,折痕為AP,則NAF3'的大小為

度.

【答案】45

【解析】:.正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為gx（5-2卜180。=108。，

.?.將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)5與點(diǎn)E重合，折痕為AM,貝ij/BAM=1/瓦/=（、108。=54。，

22

:將紙片折疊，使邊AB落在線(xiàn)段AM上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)e，折痕為AF,

ZFAB'=-ZBAM=-x54°=27°,ZAB'F=N3=108°,

22

在VAFB'中，ZAFB=180°-ZAB'F-ZFAB'=180°-108°-27°=45°,故答案為：45.

20.（2023?山東棗莊?中考真題）（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，

圖②，圖③三幅圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫(xiě)出三個(gè)圖案都具有的

兩個(gè)共同特征：___________

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