數(shù)學(xué)試卷

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分為150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號填寫在答題卡密封線內(nèi)

相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號填涂在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指

定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫

上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔和平整.

第I卷（選擇題共58分）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題意要求的）

1.已知是兩個(gè)不同的平面，牡〃是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）

A.若m1a,nlla,則加B.若c_L/?,mu（z,“u/7,則加_L〃

C.若mlln,nua,則機(jī)//cz2.若mua,nua,mll/3,則

【答案】A

【解析】

【分析】可根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定定理逐一分析選項(xiàng).

【詳解】對于選項(xiàng)A,若加_L。，〃//a,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知〃z_L〃，該選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,若tz，，，mua,nuB,則機(jī)與〃可能平行、相交或異面，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C,若mlIn,nua,則加//?；騧utz,該選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,若mua,nua,mlI/3,nl1/3,當(dāng)機(jī)//〃時(shí)，a與夕可能相交，

根據(jù)面面平行的判定定理，需加與〃相交時(shí)才有。//，，該選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A

2.2025年蛇年春晚的武漢分會場地點(diǎn)設(shè)在黃鶴樓，樓的外觀有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層.為營造春節(jié)的喜

慶氣氛，主辦方?jīng)Q定在黃鶴樓的外部用燈籠進(jìn)行裝飾.這五層樓預(yù)計(jì)共掛186盞燈籠，且相鄰兩層中的下一

層燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的2倍，則最中間一層需要掛燈籠的數(shù)量為()

A.12盞B.24盞C.36盞D.48盞

【答案】B

【解析】

【分析】各層樓的燈籠數(shù)從上至下依次成等比數(shù)列，依據(jù)公比和前5項(xiàng)和可求得首項(xiàng)，即可求最中間一層的

燈籠數(shù)量.

【詳解】五層樓預(yù)計(jì)共掛186盞燈籠，且相鄰兩層中的下一層燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的2倍，

由題意知，各層樓燈籠數(shù)從上至下依次成等比數(shù)列，記為數(shù)列{4},

第5層樓所掛燈籠數(shù)為％=2,公比4=2.

由")=186,解得4=6.

1-q

則最中間一層的燈籠數(shù)為%=6x22=24.

故選：B.

y-bx+。+e

3.根據(jù)變量丫和x成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型后儲)=0￡>(e)=b2得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定進(jìn)行判斷.

【詳解】根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差e的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為er?的隨機(jī)變量的觀測

值.

對于A選項(xiàng)，殘差與了有線性關(guān)系，故A錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測時(shí)間變大而變小，故B錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，殘差與x有非線性關(guān)系，故C錯(cuò)；

對于D選項(xiàng)，殘差比較均勻地分布在以取值為。的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故D正確.

故選：D.

4.函數(shù)/'(x)=lnx—的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-1,1)B,(0,1)

C.(-oo,-l)D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)/'(九)，在定義域內(nèi)解不等式/'(x)>0可得單調(diào)遞增區(qū)間.

111—Y2

【詳解】因?yàn)椤▁)=lnx——x2,x>0,所以對函數(shù)求導(dǎo)得：==

2xx

令廣(%)>0,即1—%2>0，/<1,

解得0<x<1,

因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).

故選：B.

5.某單位選出3名黨員和5名民主黨派人士，并從中隨機(jī)選取4人組成代表隊(duì)參賽.在代表隊(duì)中既有黨員

又有民主黨派人士的條件下，黨員甲被選中的概率為()

11172

A.-B.—C.—D.一

215137

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.

【詳解】既有黨員又有民主黨派人士有C；C；+C；C；+C；C；=65種，

其中黨員甲被選中有?；+(2位+(2犯；=35種，

357

所以在代表隊(duì)中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，黨員甲被選中的概率為一=一.

6513

故選：C.

6.將4個(gè)編號為1,2,3,4的小球放入4個(gè)編號為1,2,3,4的盒子中，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.恰有一個(gè)空盒，有324種放法

B.把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有12種放法

C.有256種放法

D.每盒至多兩球，有204種放法

【答案】A

【解析】

【分析】對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，選項(xiàng)A先從4個(gè)盒子中選出一個(gè)空盒，再從4個(gè)球中選2個(gè)放入剩下3個(gè)

盒子中的1個(gè)，再將剩余2球各1個(gè)放入剩余2盒中，據(jù)此得出放法總數(shù)；選項(xiàng)B先從四個(gè)盒子中選出三

個(gè)盒子，再從三個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè).已知四個(gè)小球相同即沒有順

序，屬于組合問題；選項(xiàng)C根據(jù)分步乘法原理分析求解；選項(xiàng)D在選項(xiàng)C的基礎(chǔ)上減去每盒至少3個(gè)球的

情況可得.

【詳解】選項(xiàng)A：先從4個(gè)盒子中選出一個(gè)空盒，再從4個(gè)球中選2個(gè)放入剩下3個(gè)盒子中的1個(gè)，再將剩

余2球各1個(gè)放入剩余2盒中，故有C；C；C；A；=4x6x3x2=144種放法，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再從三個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一

個(gè).已知四個(gè)小球相同即沒有順序，屬于組合問題，故共有C；C；=12種放法，故B正確；

選項(xiàng)C：每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有4’=256種放法，

故C正確；

對于D：由C分析，不考慮盒中球個(gè)數(shù)，共有256種放法，

若一個(gè)盒中放3個(gè)球，另外1盒放1球，貝有?；（2；<2：=6><2*4=48種放法，

若1個(gè)盒中放4球，有4種放法，故每盒至少3個(gè)球的情況有48+4=52種，

所以每盒至多兩球，有256—52=204種放法，故D正確.

故選：A.

7.若半徑為2百的球與正六棱柱的各個(gè)面均相切，則該正六棱柱外接球的表面積為（）

A.48兀B.56兀C.96兀D.11271

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)半徑為2g的球與正六棱柱的各個(gè)面均相切，可得正六棱柱的高和底面正六邊形的內(nèi)切圓半

徑，可求出底面正六邊形的外接圓半徑，即可可求出外接球的半徑和表面積.

【詳解】因?yàn)榘霃綖?月的球與正六棱柱的各個(gè)面均相切，

所以正六棱柱的高力=2x26=4石，底面正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2旨，

如圖所示，正六邊形外心和內(nèi)心是同一點(diǎn)，根據(jù)內(nèi)切圓半徑和外切圓半徑的關(guān)系，

可得底面正六邊形的外接圓半徑r=2^-=4，

sin60°

所以該正六棱柱外接球半徑為R=卜+出2=,+(2可=2汨，

所以外接球的表面積為S=4TTR2=112兀.

故選：D.

8.若點(diǎn)P是曲線y=1+x+a上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線y=2x的距離的最小值,，則。的值為()

A.0B.4C.-6D.4或-6

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求曲線上一點(diǎn)到直線的最小距離，先在曲線上求與直線平行的直線，得到切點(diǎn)，再求切點(diǎn)

到直線的距離即可.

【詳解】由＞=1+%+。，求導(dǎo)得y'=e，+l,其中直線y=2光的斜率為2,

令了=d+1=2,解得：x=Q

當(dāng)x=0時(shí)，則y=a+l,故尸(O,a+l)到直線y=2x的距離最小，

I^Z+11r-

由點(diǎn)到直線的距離公式得最小值為=,解得a=4或a=-6,

6+1

且a=-6時(shí)，曲線與直線有交點(diǎn)，距離最小值為0,舍去.

故選：B.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.甲公司從某年起連續(xù)7年的利潤情況如下表所示.

第尤年1234567

利潤y（億元）2.93.33.64.4m5.25.9

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，=0.5X+2.3,則以下正確的是（）

A.加=4.8B.相關(guān)系數(shù)廠>0

C.第8年的利潤預(yù)計(jì)大約為&3億元D.第6個(gè)樣本點(diǎn)的實(shí)際值比預(yù)測值小0.1

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)線性回歸方程，逐項(xiàng)分析即可.

——253+m

【詳解】由表可知，x=4,y=]—,

253+z/z

根據(jù)回歸直線的性質(zhì)，樣本中心點(diǎn)必須在直線上，.?.二——=0.5義4+2.3,

7

解得%=4.8,故A正確；

由表可知，y是隨著x的增加而增加的，即是正相關(guān)，故B正確；

將x=8帶入回歸方程，得（=0.5x8+2.3=6.3,故C錯(cuò)誤；

將x=6帶入回歸方程，得（=0.5義6+2.3=5.3，由表可知，實(shí)際值為5.2,

故D正確；

故選：ABD.

10.下列說法正確的有（）

A.若隨機(jī)變量J~N（2,02）,且p（J<4）=0.8,則尸（0<4<4）=0.6

B.若隨機(jī)變量X?316,￡|,Y=2X+3,則E（N）=7,D（K）=|

C.已知事件A,B,若4=8,且尸（A）=0.4,P⑻=0.7,則P（5|X）=0.5

D.有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中一次摸三個(gè)球，記摸得白球數(shù)為X,則E（X）=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A:已知隨機(jī)變量的正態(tài)分布關(guān)于x=2對稱，得出尸＜0）=尸仔＞4）,結(jié)合題給條件求解；

選項(xiàng)B：根據(jù)題給條件求出隨機(jī)變量X的期望和方差，結(jié)合y=2X+3,根據(jù)期望和方差的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

選項(xiàng)C:根據(jù)事件的包含關(guān)系和互斥性進(jìn)行計(jì)算，求出條件概率值；選項(xiàng)D：根據(jù)超幾何分布的期望公式進(jìn)

行計(jì)算.

【詳解】選項(xiàng)A：?.?P（J＜4）=0.8,.?.P（4N4）=l—0.8=0.2,

因?yàn)閷ΨQ軸為%=2,尸代＜0）=尸心＞4）=0.2,

...P（0<^<4）=l-P（^>4）-P（^<0）=l-0.2-0.2=0.6,故A正確;

（）〃（）（）

選項(xiàng)B：由可得,EX=p=6xg=2,DX=?/?l-p=6xjXj=^,

對于y=2X+3,根據(jù)期望和方差的性質(zhì):

.?.￡（y）=2E（X）+3=7正確，￡＞"）=22。（乂）=修7|錯(cuò)誤，故B錯(cuò).

選項(xiàng)C：：4口8,.?.尸（5「4）=尸（4）,.?.P（5nM）=P（3）—尸（A）=0.7—04=0.3

0.3

PBA==0.5,故C正確;

（'P'（A）J1-0.4

選項(xiàng)D：X服從超幾何分布，總數(shù)N=6,白球數(shù)K=2,抽取數(shù)〃=3,根據(jù)超幾何分布期望公式計(jì)算可得,

E（X}—n——3x——l,選項(xiàng)D對.

N6

故選：ACD.

11.如圖所示，正方體ABC。-431GA的棱長為2,點(diǎn)P為側(cè)面AD2A內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)

瓦廠,6分別是線段3。、CG、8瓦的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AG〃平面AEFB.平面AEF截正方體所得的截面面積為萬

UUULULU11

c.P4-PF的最小值為aD.若則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡長度為2J5

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A,利用線面平行的判定定理，證明AG平行于平面內(nèi)的一條線即可；對于B,判斷截面

UUULUUL1

為等腰梯形，然后利用梯形的面積公式求解即可；對于c,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)，將。4?。尸

表示出來，利用二次函數(shù)求最值即可；對于D,利用而?兩=0確定點(diǎn)P的軌跡方程，然后利用兩點(diǎn)距離

公式求長度即可.

詳解】對于A,連接4A，n￡G〃，

因?yàn)辄c(diǎn)￡廠分別是線段3C、CG的中點(diǎn)，

所以EF〃BG〃AD],所以Abu平面人口，

點(diǎn)EG分別是線段eq、5用的中點(diǎn)，故Gf7/AA，G/=4A，

故四邊形A]GFDI為平行四邊形，所以Afi"D[F,且DrFU平面AEF，

故直線AG〃平面AE/L故A正確;

對于B,由A選項(xiàng)可知，平面AEF截正方體所得的截面為梯形A"F及

且由正方體可知，AD[=?AD=2A/2,EF=gAD]=e,AE=弋AB?+BE?=逐,

故梯形AlDiFE的高h(yuǎn)=

故梯形A.D.FE的面積s=；x（、歷+2班）x孚=|,故B錯(cuò)誤;

對于C,以。為原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸，2軸建空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),A(2,0,0),5(2,2,0),4(2,2,2)，廠(0,2,1),〃(0,0,2),

點(diǎn)P為側(cè)面AD2A內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)(含邊界)，故設(shè)尸(X,0,Z),XG[0,2],Z€[0,2],

所以甌=(2-x,2,2—z),而=(f,2,l—z),

所以居.而=—x(2—x)+4+(2—z)(l—z)=(x—ij+(z—|)+?<?，

當(dāng)x=l,z=|時(shí)，即等號成立，故C正確；

則麗?叫=2x—4+2—2z=0,即x—z—1=0,

因?yàn)閤e[0,2],ze[0,2],故當(dāng)％=2時(shí)，z=1,此時(shí)尸(2,0,1),

當(dāng)z=0時(shí)，x=L此時(shí)P(l,0,0),

故點(diǎn)P運(yùn)動軌跡為從點(diǎn)(2,0,1)到點(diǎn)(1,0,0)的一條線段，軌跡長度為“2-+0+儼=夜,故D錯(cuò)

誤.

故選：AC

第II卷(非選擇題共92分)

三、填空題：(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.在I)，的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-319

【解析】

【分析】寫出所求式子的展開式的通項(xiàng)，令通項(xiàng)X的次數(shù)為2即可求解.

6

【詳解】⑵-1)的展開式通項(xiàng)Tr+1=C.(2切(-廣=(-曠2y,

則+—J(2x-1)6的展開式的通項(xiàng)為：

北]二(-1)6-2「C"/，+2)=(T6f2rCX+2+(-l)6"r2川鼠￡一1,

x

所以所求/項(xiàng)的系數(shù)為(—『02y+(—1廣23+1C^=1-320-=-319.

故答案為：-319

13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要

著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差

數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前

4項(xiàng)為1,3,7,13,則該數(shù)列的第10項(xiàng)為.

【答案】91

【解析】

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及累加法即可求解.

詳解】設(shè)該二階等差數(shù)列為｛為｝,則4=1,%=3，%=7,4=13,

由二階等差數(shù)列的定義可知，。2-。1=2,。3一。2=4,。4一。3=6，…，

所以數(shù)列｛。m-4｝是以。2-=2為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列，

即?！?1-4=2"，

所以。2-。1=2,%一2=4,a4-a3^6,…，an+l-an=2n,

將所有上式累加可得a.=見+“(2；2〃)="2+”+1,

所以％0=9?+9+1=91.

故答案為：91.

e*-eV1

14.%,羽e[1,e],且X]W%,不等式------>m恒成立，則m的取值范圍為.

馬—玉

【答案】(f,e]

【解析】

【分析】不妨設(shè)1<%<々<e,通過分析即I?一m%2>e*1-啊，令=則/(%)>/(%)，

即〃刈=/-g在[1,目上單調(diào)遞增，求導(dǎo)分析即可.

e馬-ex,

【詳解】不妨設(shè)1＜%＜x,＜e,則％2-西＞0，由-------＞相可得e*—6為＞加（羽一七），

/一七

所以e^2—mx?〉e』—mX],4"f（x）=ex-mx,則/（%）＞/（%）

因?yàn)?＜玉＜%＜e,所以/（%）=6、一如在[1,6]上單調(diào)遞增，

所以/'（x）=eX—mNO對于xe[l,eH亙成立，可得對于xe[l,e1恒成立，所以加We.

故答案為：（-8,e]

四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

（1）求函數(shù)＞=/（九）在（0"（0））處的切線方程；

（2）當(dāng)無目0,兀]時(shí),求函數(shù)“力的極值.

【答案】（1）y=-^x+1

（2）極小值烏—@+1,無極大值.

62

【解析】

【分析】（1）對/（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式，即可

求解；

（2）先求出導(dǎo)數(shù)為0的x的值，即為極值點(diǎn)，然后進(jìn)行討論,根據(jù)/'（九）＞0的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，/'（尤）＜0

的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，判斷極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，再代入原函數(shù)求出極值即可.

【小問1詳解】

11

因?yàn)?（x）=5]—sinx+1,所以/（0）=5x0—sin0+l=0—0+1=1,切點(diǎn)為（0,1）,

因?yàn)?'（X）=；—COSX,所以左=（⑼=g-cos0=g-l=_g,

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y-1=-即y=-gx+1.

【小問2詳解】

由（1）可知，有了'（%）二:—cosx,

當(dāng)工^［。，兀］時(shí)，令/'（犬）=，一COS犬=0,得了=二

23

當(dāng)X變化時(shí)，/'（龍）和f（x）的變化情況如下表：

兀

I

/'（力—0+

/（X）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

lx|-sin|l=^-^l,無極大值.

所以當(dāng)X目0,可時(shí),/（%）有極小值/71++

16.已知數(shù)列｛4｝中，可=4,?！?a“_］+2”T+3（〃之2,“eN*）.

（1）證明數(shù)列｛%-2"｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a=袈—1,求2的前〃項(xiàng)和7；.

n

【答案】（1）證明見解析，an=2+3n-l

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義判斷-2〃｝是等差數(shù)列,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求｛an｝的通項(xiàng)公式.

（2）利用錯(cuò)位相減求和法求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.

【小問1詳解】

當(dāng)“22時(shí)，%=%_]+2"T+3=4T+2n-2"T+3,

所以，4—2"—（%_1—2"T）=3,又q=4,所以q—2=2,

故｛4-2"｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.

n

故%—2r=2+（〃-1）義3=3〃一1,所以，a,t=2+3n-l.

【小問2詳解】

2"+3〃一1,3n-l

呆

2=1=----------1二---------

2"2"

253n-l

令,=5+級+…+①

253n—43n—1

H--------------------1----------------

級+廣r\nc〃+l

曰13333n—1

①-②侍：/=1+方+9+…+J7―-癡鏟

3n—153〃+5

=l+3x

2"1—22"+i

2

3〃+5

故北=5—

2"

17.深圳一高中為了解學(xué)生周末使用手機(jī)的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)周末使用手機(jī)的時(shí)長，現(xiàn)隨

機(jī)抽取了60名同學(xué)在某個(gè)周末使用手機(jī)的時(shí)長，結(jié)果如下表:

周末使用手機(jī)時(shí)長

0123456>7合計(jì)

(h)

男生人數(shù)1245654330

女生人數(shù)4556432130

合計(jì)579111086460

(1)若將周末使用為3小時(shí)及3小時(shí)以上的，稱為“經(jīng)常使用”，其余的稱為“不經(jīng)常使用”.

請完成以下2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與使用的經(jīng)常性有關(guān)系;

使用手機(jī)

性別合計(jì)

不經(jīng)常經(jīng)常

男生

女生

合計(jì)

(2)對于周末使用手機(jī)6小時(shí)及以上的同學(xué)，學(xué)校想要為進(jìn)一步了解他們的手機(jī)使用情況:

(i)在樣本的10名周末使用手機(jī)6小時(shí)及以上的同學(xué)中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，求恰好抽中1名男生的

概率；

(ii)在和小明的訪談中得知，他有5款喜愛的手機(jī)游戲，并且在周五周六周日三天中，每天隨機(jī)選擇一款

玩一個(gè)小時(shí)，每天的選擇互相獨(dú)立.記至少選中過一次游戲的數(shù)目為y,求y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc\

附：z2=-、/、/-n=a+b+c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【答案】(1)表格見解析，性別因素與學(xué)生使用的經(jīng)常性有關(guān)系

(2)(i)—；(ii)分布列見解析，E(Y}=—

40'’25

【解析】

【分析】(1)完善2x2列聯(lián)表，提出零假設(shè)H。：性別與使用手機(jī)情況獨(dú)立，計(jì)算出力2的觀測值，結(jié)合臨界

值表可得出結(jié)論；

(2)(i)利用超幾何分布的概率公式求解即可；

(ii)由題意得，y的所有可能取值為1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量y在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量

y在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量y的分布列，進(jìn)而可求得石(丫)的值.

【小問1詳解】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：

使用手機(jī)

性別合計(jì)

不經(jīng)常經(jīng)常

男生72330

女生141630

合計(jì)213960

零假設(shè)為H0:性別與使用手機(jī)情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生使用手機(jī)的經(jīng)常性無關(guān);

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得力?=60x(7x16—14x23)2=%°3590>2706=，

21x39x30x3039'°」

根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，

即性別因素與學(xué)生使用的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1.

【小問2詳解】

(i)設(shè)抽取的三人中男生的人數(shù)為X,易知10名周末使用手機(jī)6小時(shí)及以上的同學(xué)中有7名男生，3名

女生，

所以X的所有可能取值為0、1、2、3,

C1C2217

且X服從超幾何分布：P(X=I)=-^=—=—,

J.ZJxJ1

7

則恰好抽中1名男生的概率為一；

40

(ii)由題意得，y的所有可能取值為1、2、3,

則P『I)=K「『2)=岑4=3「(1)=**

則Y的分布列如下

Y123

11212

P

252525

所以E（y）=lxL+2xU+3xU=旦.

'125142525

18.如圖，四邊形ABCD是正方形，平面平面ABC。，PA±AB,EB//PA,

AB=PA^4,EB=2.

(1)求證：BD//平面PEC；

(2)求二面角O—PC—E的大小.

(3)點(diǎn)。在直線8。上，直線PQ與直線CE的夾角為a,二面角￡)—PC—E為是否存在點(diǎn)Q,使

得。+a=兀.如果存在，請求出忸。；如果不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（/2）、——5兀

6

⑶存在忸Q|=46忘;2師

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，取PC的中點(diǎn)M,利用向量的坐標(biāo)公式計(jì)算可得而=2而即可得出結(jié)

果；

（2）通過求兩個(gè)平面法向量，利用向量法計(jì)算即可求得二面角的大小；

（3）設(shè)的=4麗，結(jié)合異面直線夾角與二面角的向量公式，通過等式。+〃=兀轉(zhuǎn)化為向量夾角余弦關(guān)

系，求解參數(shù)力,進(jìn)而得忸

【小問1詳解】

如圖，以A為原點(diǎn)，AD，AB，Q為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

依題意，得4（0,0,0）,5（0,4,0）,C（4,4,0）,￡>（4,0,0）,P（0,0,4）,E（0,4,2）,

取PC的中點(diǎn)連接EM,則M（2,2,2）,EM=（2-2,0）,麗=（4,T,0）,

所以麗=2兩，貝U60//EM,又石A/u平面PEC，3。二平面PEC,

所以3。//平面PEC.

【小問2詳解】

取尸￡>中點(diǎn)E，則尸（2,0,2）,又A￡）=AB=E4，則

由48,24,48，40且八4^^40=4都在面？，40內(nèi)，則AB_L面PAD,

由CD//AB,則CD,面？AD,Mu面？AD,故CDLAF,

由PDcCD=D,PD、CDu平面尸CD,所以"J_平面PCD,

故Ab=(2,0,2)為平面PCD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面PCE的法向量為=(%,%z),且無=(4,4,T),PE=(O,4,-2),

n-PC=04x+4y-4z=

所以《令y=-l,得為=(-1,—L—2).

n-PE-04y-2z=

所以cos(正外=與與i=-且,

\/2A/2XV62

由圖，二面角O—PC—E為鈍二面角，所以二面角O—PC—E的大小為.

6

【小問3詳解】

---?---?_J兒

設(shè)BQ=ABD,由(2)可知二面角。一夕C—石的大小為尸二——，&+/?=兀.

6

JT

所以直線尸。與直線CE的夾角為a=

6

5(0,4,0),D(4,0,0),則0(42,4-42,0),pg=(42,4-42,-4),CE=(-4,0,2).

\PQ-CE\1-162-81亞

cosa=；.；=/---=——

尸沖國J(4X『+(4-4X『+(-4)2.回2

化簡可得7萬一23/1+13=0，

解得2=23±7165；此時(shí)|加卜4&,~BQ=ABD

即存在點(diǎn)Q,闡=23：尸,40=46收師.

19.已知函數(shù)/(%)=辦一匕一"，g(x)=x2+xiwc.

(1)討論外”的單調(diào)性；

(2)證明：g(%)＞一~—;

16

(3)若g(x)N〃x),求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析(3)(-8,1]

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)。的取值，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)