含彈簧的物理模型

【模型概述】

縱觀歷年的高考試題，和彈簧有關(guān)的物理試題占有相當(dāng)大的比重。高考命題者常以彈簧為載體設(shè)計(jì)出

各類試題，這類試題涉及靜力學(xué)問(wèn)題、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題、動(dòng)量守恒和能量守恒問(wèn)題、振動(dòng)問(wèn)題、功能問(wèn)題等,

幾乎貫穿了整個(gè)力學(xué)的知識(shí)體系，能很好能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力。

【模型特點(diǎn)】

中學(xué)物理中的“彈簧”和“橡皮繩”也是理想化模型，具有如下幾個(gè)特性:

(1)彈力遵循胡克定律F=kx,其中x是彈簧的形變量。

(2)輕:即彈簧(或橡皮繩)的重力可視為零。

(3)彈簧既能受拉力，也能受壓力(沿著彈簧的軸線)，橡皮繩只能受拉力，不能受壓力。

(4)由于彈簧和橡皮繩受力時(shí)，其形變較大，發(fā)生形變需要一段時(shí)間，所以彈簧和橡皮繩中的彈力不能突

變。但是，當(dāng)彈簧和橡皮繩被剪斷時(shí)，它們產(chǎn)生的彈力立即消失。

【模型解題】

胡克定律、牛頓第二定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律

【模型訓(xùn)練】

【例1】如圖所示，一勁度系數(shù)為晨原長(zhǎng)為。的輕彈簧，上端固定在天花板上，下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為

m的小球，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。彈簧的形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)。已知重力加速度為g。下列判斷中正確的是()

A.彈簧的伸長(zhǎng)量為等B.彈簧的伸長(zhǎng)量為mgk

K

C.彈簧的總長(zhǎng)度為/°+ag左D.彈簧的總長(zhǎng)度為4-等

k

變式1.1如圖所示，將一輕彈簧上端懸掛在天花板上，下端連接物體A,A下面再用棉線掛一物體B,

A、B質(zhì)量相等，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。燒斷棉線，下列說(shuō)法中正確的是(

A.燒斷棉線瞬間，A的加速度大小為g

B.燒斷棉線之后，A向上一直加速

C.燒斷棉線之后，A在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒

D.在最高點(diǎn)彈簧彈力等于

變式L2兩根相同的輕彈簧的原長(zhǎng)均為I,將兩彈簧與兩相同物體按如圖所示的方式連接并懸掛于天花

板上，靜止時(shí)兩根彈簧的總長(zhǎng)為2.6/,現(xiàn)用手托著B物體，使下面的彈簧2恢復(fù)到原長(zhǎng)，則下面說(shuō)法正確

的有（）

A.懸掛穩(wěn)定時(shí)彈簧1的長(zhǎng)度為1.2Z,彈簧2的長(zhǎng)度為1.4/

B.彈簧2恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)彈簧1長(zhǎng)度為1.4/

C.物體A上升的距離為0.4/

D.物體B上升的距離為0.4/

【例2】如圖所示，內(nèi)壁光滑的半球形容器固定在水平面上。將一輕彈簧的一端固定在半球形容器底部

。處，。為球心。當(dāng)彈簧另一端與質(zhì)量為〃?的小球A相連時(shí)，小球A靜止于P點(diǎn)。已知OP與水平方向的

夾角為6=16。，則半球形容器對(duì)球的支持力和彈簧的彈力分別為（5出37。=0.6）

O

O'

A.mg,mgB.mg,1.2mg

C.1.2mg,mgD.1.2mg,1.2mg

變式2.1如圖所示，質(zhì)量均為加的A、B兩球，由一根勁度系數(shù)為左的輕彈簧連接靜止于半徑為R的

光滑半球形碗中，彈簧水平，兩球間距為R且球半徑遠(yuǎn)小于碗的半徑.則彈簧的原長(zhǎng)為（）

ms,

A.—+R

k

B.*+R

2k

2y/3mg

C.+R

3k

D.

3k

變式2.2如圖所示，在半徑為式的光滑半球形碗中，一根水平放置的輕彈簧兩端連接/、2兩球，兩球

靜止于半球形碗中。已知/、3球質(zhì)量均為相，輕彈簧的勁度系數(shù)為左，/、8兩球之間的距離為尺，球的半

徑遠(yuǎn)小于碗的半徑，求:

U）半球形碗對(duì)/球的支持力大小;

（2）彈簧的原長(zhǎng)。

【例3】如圖所示，質(zhì)量分別為如和吃的兩塊方木中間以輕彈簧相連，在空中設(shè)法使彈簧處于自然長(zhǎng)

度（即其中沒(méi)有彈力）后，給它們相同的初速度，向上拋出。在空中時(shí)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)始終保持豎直，且彈簧

長(zhǎng)度保持自然長(zhǎng)度。空氣阻力不計(jì)。則（）

A.冽/一定等于冽2

B.冽/一定大于加2

C.冽/一定小于加2

D.不能通過(guò)該現(xiàn)象判斷mi和m2的大小關(guān)系

變式3.1如圖所示，一小球從空中下落，從它剛接觸彈簧到把彈簧壓縮至最短的過(guò)程中，若不計(jì)空氣

阻力，則關(guān)于小球能量的變化，下列判斷正確的是（

A.動(dòng)能一直減小B.動(dòng)能先增加后減小

C.機(jī)械能先增加后減小D.機(jī)械能保持不變

變式3.2如圖所示，用輕彈簧將質(zhì)量均為m=lkg的物塊A和B連接起來(lái)，將它們固定在空中，彈簧處

于原長(zhǎng)狀態(tài)，A距地面的高度hi=0.15m.同時(shí)釋放兩物塊，設(shè)A與地面碰撞后速度立即變?yōu)榱?，由于B壓

縮彈簧后被反彈，使A剛好能離開(kāi)地面（但不繼續(xù)上升）.已知彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m,取g=10m/s2.求:

(1)物塊A剛到達(dá)地面的速度;

(2)物塊B反彈到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能;

(3)若將B物塊換為質(zhì)量為2m的物塊C（圖中未畫出），仍將它與A固定在空中且彈簧處于原長(zhǎng),

從A距地面的高度為h2處同時(shí)釋放，C壓縮彈簧被反彈后，A也剛好能離開(kāi)地面，此時(shí)h2的大小.

【例4】如圖所示，一質(zhì)量不計(jì)的彈簧原長(zhǎng)為xo=12cm,一端固定于質(zhì)量〃?=3kg的物體上，另一端一水

平拉力尸。物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)4=0.225,當(dāng)彈簧拉長(zhǎng)至x/=16.5cm時(shí)，物體恰好向右勻速運(yùn)動(dòng)（設(shè)

最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，g=10m/s2）；

（1）若將彈簧壓縮至X2=8cm,求物體受到的摩擦力大小及方向。

（2）若將彈簧拉長(zhǎng)至xs=18cm,求物體體受到的摩擦力大小及方向。

入見(jiàn)現(xiàn)尸

變式4.1如圖所示，一質(zhì)量加=3kg的物體靜止在水平面上，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.8,原

長(zhǎng)x-=15cm的輕質(zhì)彈簧一端固定于物體上，另一端施一水平拉力兒已知最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等,

彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度g取10m/s2。

（1）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為21cm時(shí),物體恰好向右勻速運(yùn)動(dòng)，求彈簧的勁度系數(shù);

（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為12cm時(shí),求物體受到的摩擦力;

（3）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為23cm時(shí),求物體受到的摩擦力。

—

//////////////////////////////////

變式4.2如圖所示，兩木塊A、B質(zhì)量分別為叫=20kg、咫=10kg,中間由水平輕質(zhì)彈簧相連，彈簧

勁度系數(shù)斤=200N/m,彈簧允許的最大形變量為15cm,水平拉力尸=60N作用在木塊A上，系統(tǒng)恰好在

水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小g取10m/s"已知木塊A、B與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同且

均為〃（大小未知）。求：

（1）〃的值；

（2）彈簧的伸長(zhǎng)量為多少；

（3）若將另一木塊C放置在木塊B上，施加拉力/"使系統(tǒng)仍做勻速運(yùn)動(dòng)（彈簧在彈性限度內(nèi)），拉

力產(chǎn)的最大值是多少？木塊C的質(zhì)量是多少？

B^7577075757^

【例5】如圖所示，傾角為30。的斜面固定在水平地面上，輕彈簧的一端固定在斜面的底端，彈簧處于

原長(zhǎng)時(shí)另一端與斜面上的6點(diǎn)平齊。質(zhì)量為機(jī)=1kg的小滑塊從斜面上的。點(diǎn)由靜止下滑，滑塊在b點(diǎn)接觸

彈簧并壓縮彈簧到。點(diǎn)時(shí)開(kāi)始彈回。已知。、6間的距離為0.4m,b、。間的距離為0.2m,彈簧始終處于彈

性限度內(nèi)，重力加速度g取店取3.87。

（1）若斜面光滑，求滑塊運(yùn)動(dòng)中彈簧彈性勢(shì)能的最大值：

（2）若滑塊第1次離開(kāi)彈簧后，沿斜面上升的最高點(diǎn)位于。、。的中點(diǎn)，求滑塊第2次經(jīng)過(guò)6點(diǎn)時(shí)的

速度大小。（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）

變式5.1如圖所示，一輕彈簧一端固定在傾角為0=37。的固定斜面的底端，另一端拴住質(zhì)量為加/=6kg

的物體p,Q為一質(zhì)量加2=10kg的物體，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧的壓縮量xo=（）.16mo現(xiàn)給物體Q施加一

個(gè)方向沿斜面向上的力R使它從靜止開(kāi)始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，已知在前0.2s時(shí)間內(nèi)，尸為變力，0.2s

以后尸為恒力。已知斜面光滑且足夠長(zhǎng)，5畝37。=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s2求：

⑴彈簧的勁度系數(shù)公

（2）物體Q做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小.；

（3）前0.2s內(nèi)拉力尸做的功。

變式5.2如圖所示，質(zhì)量加=1kg的物塊放在豎直彈簧上端并緊挨著豎直墻壁，水平向左、大小

尸=15N的力作用在物塊上，物塊恰好不下滑，此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度4=6cm。已知彈簧的勁度系數(shù)左=100N/m、

原長(zhǎng)10cm,物塊與豎直墻壁之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s2,求:

（1）彈簧對(duì)物塊的彈力大?。?/p>

（2）豎直墻壁對(duì)物塊的摩擦力大小和方向；

（3）物塊與豎直墻壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

F

【例6】如圖所示，質(zhì)量為10kg的物體M放在傾角為。=37。的固定斜面上，M與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)

〃=0.625,“用平行于斜面的輕繩繞過(guò)光滑定滑輪與質(zhì)量為8kg的物塊m相連。勁度系數(shù)4=200N/m的彈

簧與加相連，也與地面相連，設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等，重力加速度取g=10m/s2,求：

（1）若河靜止在斜面上，彈簧伸長(zhǎng)量為8cm,求"所受到的摩擦力;

（2）若"剛要開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)彈簧對(duì)物塊的彈力的大小。

變式6.1如圖所示，質(zhì)量為m的小球甲穿過(guò)一豎直固定的光滑桿拴在輕彈簧上，質(zhì)量為4m的物體乙

用輕繩跨過(guò)光滑的定滑輪與小球甲連接，開(kāi)始用手托住物體乙，輕繩剛好伸直，滑輪左側(cè)繩豎直，右側(cè)繩

與水平方向夾角為a=53。，某時(shí)刻由靜止釋放物體乙（足夠高），經(jīng)過(guò)一段時(shí)間小球甲運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)，。、。

兩點(diǎn)的連線水平且小球甲在P、。兩點(diǎn)處時(shí)彈簧的彈力大小相等。己知重力加速度為g,sin?=0.8,

cosa=0.6o求：

（1）彈簧的勁度系數(shù)公

（2）小球甲位于。點(diǎn)時(shí)的速度大小v；

（3）在小球甲從尸點(diǎn)上升到PQ中點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧彈力做的功少。

乙口甲◎尸

變式6.2如圖所示,質(zhì)量為10kg的物體M放在傾角為。=37。的斜面上,M與斜面間摩擦因數(shù)〃=0.375,

M用平行于斜面的輕繩繞過(guò)光滑定滑輪與質(zhì)量為5kg的物塊加相連。勁度系數(shù)4=200N/m的彈簧與m相連,

也與地面相連，設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等。

（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長(zhǎng)量為8cm,求此時(shí)繩子上的拉力大??；

（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，求M所受到的摩擦力的大小和方向；

（3）若M剛要開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)彈簧彈力的大小。

【例7】如圖所示，粗糙水平面長(zhǎng)為4a，與豎直面內(nèi)半徑為R的光滑半圓形軌道在8點(diǎn)相接。質(zhì)量

為加的物體甲（可視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮到A點(diǎn)后由靜止釋放，甲脫離彈簧后，在水平面滑行一段距離后

滑上豎直軌道，并恰好能通過(guò)C點(diǎn)。已知甲與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.5,重力加速度為g。

（1）求甲通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大??；

（2）求彈簧被壓縮到A點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能；

（3）若在B點(diǎn)放置另一個(gè)質(zhì)量為3加的物體乙（可視為質(zhì)點(diǎn)，圖中未畫出），使甲把彈簧仍然壓縮到A

點(diǎn)，由靜止釋放甲，甲、乙發(fā)生彈性正碰后，撤去甲，此后乙沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明乙離開(kāi)半

圓形軌道后將如何運(yùn)動(dòng)。

變式7.1—光滑水平面與豎直面內(nèi)的圓形粗糙軌道在8點(diǎn)相切，軌道半徑R=0.5m,一個(gè)質(zhì)量

加=2kg的小物塊在4處壓縮一輕質(zhì)彈簧，彈簧與小物塊不拴接。用手擋住小物塊不動(dòng)，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能

或。=36底如圖所示，放手后小物塊向右運(yùn)動(dòng)脫離彈簧，沿圓形軌道向上運(yùn)動(dòng)恰能通過(guò)最高點(diǎn)C,不計(jì)空

氣阻力，g=10m/s2o求：

（1）物塊在3點(diǎn)時(shí)半圓軌道對(duì)它的支持力大??；

（2）小物塊從2到C過(guò)程，阻力做的功叫；

（3）小物塊離開(kāi)C點(diǎn)后落回水平面的位置到B點(diǎn)的水平距離X。

變式7.2如圖所示，豎直面內(nèi)、半徑為R=lm的光滑圓弧軌道底端切線水平，與水平傳送帶左端3靠

近，傳送帶右端C與一平臺(tái)靠近，圓弧軌道底端、傳送帶上表面及平臺(tái)位于同一水平面，圓弧所對(duì)的圓心

角為53。，傳送帶長(zhǎng)為1m,以尸4m/s的恒定速度沿順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一輕彈簧放在平臺(tái)上，彈簧右端固

定在豎直墻上，彈簧處于原長(zhǎng)，左端與平臺(tái)上。點(diǎn)對(duì)齊，CD長(zhǎng)也為1m,平臺(tái)。點(diǎn)右側(cè)光滑，重力加速

度為g=10m/s2,讓質(zhì)量為1kg的物塊從圓弧軌道的最高點(diǎn)N由靜止釋放，物塊第二次滑上傳送帶后，恰好

能滑到傳送帶的左端2點(diǎn)，不計(jì)物塊的大小，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5.

（1）求物塊運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最底端時(shí)對(duì)軌道的壓力大小;

（2）物塊第一次到達(dá)。點(diǎn)的速度

（3）物塊第一次壓縮彈簧，彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能是多少？

含彈簧的物理模型

【模型概述】

縱觀歷年的高考試題，和彈簧有關(guān)的物理試題占有相當(dāng)大的比重。高考命題者常以彈簧為載體設(shè)計(jì)出

各類試題，這類試題涉及靜力學(xué)問(wèn)題、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題、動(dòng)量守恒和能量守恒問(wèn)題、振動(dòng)問(wèn)題、功能問(wèn)題等,

幾乎貫穿了整個(gè)力學(xué)的知識(shí)體系，能很好能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力。

【模型特點(diǎn)】

中學(xué)物理中的“彈簧”和“橡皮繩”也是理想化模型，具有如下幾個(gè)特性：

(1)彈力遵循胡克定律F=kx,其中x是彈簧的形變量。

(2)輕:即彈簧(或橡皮繩)的重力可視為零。

(3)彈簧既能受拉力，也能受壓力(沿著彈簧的軸線)，橡皮繩只能受拉力，不能受壓力。

(4)由于彈簧和橡皮繩受力時(shí)，其形變較大，發(fā)生形變需要一段時(shí)間，所以彈簧和橡皮繩中的彈力不能

突變。但是，當(dāng)彈簧和橡皮繩被剪斷時(shí)，它們產(chǎn)生的彈力立即消失。

【模型解題】

胡克定律、牛頓第二定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律

【模型訓(xùn)練】

【例1】如圖所示，一勁度系數(shù)為晨原長(zhǎng)為。的輕彈簧，上端固定在天花板上，下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為

m的小球，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。彈簧的形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)。已知重力加速度為g。下列判斷中正確的是()

A.彈簧的伸長(zhǎng)量為等B.彈簧的伸長(zhǎng)量為mgk

k

C.彈簧的總長(zhǎng)度為7°+ag左D.彈簧的總長(zhǎng)度為4-等

k

【答案】A

【詳解】AB.由小球靜止，可知彈簧的彈力

F=mg

根據(jù)胡克定律尸=Ax,得彈簧的伸長(zhǎng)量

整

人一

故A正確，B錯(cuò)誤;

CD.彈簧的總長(zhǎng)度為

mg

+x=/。

k

故CD錯(cuò)誤。

故選Ao

變式1.1如圖所示，將一輕彈簧上端懸掛在天花板上，下端連接物體A,A下面再用棉線掛一物體B,

A、B質(zhì)量相等，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。燒斷棉線，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.燒斷棉線瞬間，A的加速度大小為g

B.燒斷棉線之后，A向上一直加速

C.燒斷棉線之后，A在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒

D.在最高點(diǎn)彈簧彈力等于加g

【答案】A

【詳解】A.設(shè)A、B質(zhì)量均為加，燒斷棉線前，對(duì)A、B整體受力分析，知彈簧的彈力

F=2mg

燒斷棉線瞬間，彈簧的彈力不變，對(duì)A,根據(jù)牛頓第二定律可得

F-mg=maA

解得

。產(chǎn)g

故A正確；

B.燒斷棉線后，A在彈力和重力的作用下向上運(yùn)動(dòng)，彈力先大于重力，后小于重力，所以物體A向上

先加速后減速，故B錯(cuò)誤；

C.燒斷棉線后，彈簧彈力對(duì)A做功，故A的機(jī)械能不守恒，故C錯(cuò)誤；

D.燒斷棉線后，A在重力和彈力的作用下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)回復(fù)力大小為

F=2mg-mg=mg

方向向上，根據(jù)對(duì)稱性可知，在最高點(diǎn)回復(fù)力大小為

F=mg

方向向下，即

mg-F產(chǎn)ng

解得

尸行0

故在最高點(diǎn),速度為零時(shí)，彈簧彈力為零，即彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤。

故選Ao

變式1.2兩根相同的輕彈簧的原長(zhǎng)均為I,將兩彈簧與兩相同物體按如圖所示的方式連接并懸掛于天花

板上，靜止時(shí)兩根彈簧的總長(zhǎng)為2.6/,現(xiàn)用手托著B物體，使下面的彈簧2恢復(fù)到原長(zhǎng)，則下面說(shuō)法正確

的有（）

A.懸掛穩(wěn)定時(shí)彈簧1的長(zhǎng)度為1.2Z,彈簧2的長(zhǎng)度為1.4/

B.彈簧2恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)彈簧1長(zhǎng)度為1.4/

C.物體A上升的距離為0.4/

D.物體B上升的距離為0.4/

【答案】D

【詳解】A.懸掛穩(wěn)定時(shí)，彈簧1的彈力等于A、B兩個(gè)物體的總重量，而彈簧2的彈力等于B物體的

重量，根據(jù)平衡條件

kxx=2mg

kx2=mg

而

玉+々+2/=2.6/

解得

x,=0.4/,x2—0.2/

因此彈簧1的長(zhǎng)度為1.4Z,彈簧2的長(zhǎng)度為1.2/,A錯(cuò)誤;

BCD.彈簧2恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，彈簧1的彈力等于A物體的重力，彈簧1的伸長(zhǎng)量變?yōu)?.2/,因此長(zhǎng)度變

為1.2/,這樣A物體上升的距離為0.2/,B物體上升的距離為0.4/,BC錯(cuò)誤，D正確。

故選D。

【例2】如圖所示，內(nèi)壁光滑的半球形容器固定在水平面上。將一輕彈簧的一端固定在半球形容器底部

。處，。為球心。當(dāng)彈簧另一端與質(zhì)量為〃?的小球A相連時(shí)，小球A靜止于尸點(diǎn)。已知OP與水平方向的

夾角為。=16。，則半球形容器對(duì)球的支持力和彈簧的彈力分別為（5m37。=0.6）（）

A.吟mg

C.1.2mg,mgD.1.2mg,1.2mg

【答案】B

【詳解】作出小球的受力分析圖，由相似三角形法可得

G'FN

l)o'~lyp~~op

其中。尸=&。'尸=1.23

可得支持力

N=mg

彈簧的彈力

F=12mg

故選B。

變式2.1如圖所示，質(zhì)量均為加的A、B兩球，由一根勁度系數(shù)為左的輕彈簧連接靜止于半徑為R的

光滑半球形碗中，彈簧水平，兩球間距為R且球半徑遠(yuǎn)小于碗的半徑.則彈簧的原長(zhǎng)為（）

B.果+R

C.2^mg+R

3k

D.叵&+R

3k

【答案】D

【詳解】以A球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受三個(gè)力：重力、彈力和球殼的支持力如圖所示

mg

由平衡條件，得到

tang*

kx

解得

.mg

A——

ktanO

根據(jù)幾何關(guān)系得

-R1

cosO=——

R2

則

tan9=6

所以

mg751ng

x——

ktan63k

故彈簧原長(zhǎng)

V3mg

=x+Rn=---------卜Rn

3k

故選D

變式2.2如圖所示，在半徑為R的光滑半球形碗中，一根水平放置的輕彈簧兩端連接N、8兩球，兩球

靜止于半球形碗中。已知/、B球質(zhì)量均為加，輕彈簧的勁度系數(shù)為左，4、8兩球之間的距離為尺，球的半

徑遠(yuǎn)小于碗的半徑，求：

(1)半球形碗對(duì)/球的支持力大小;

(2)彈簧的原長(zhǎng)。

【答案】⑴乎磔；⑵—

【詳解】(1)如圖，設(shè)=半球形碗對(duì)/球的支持力大小為N,彈簧的原長(zhǎng)為與，形變量為?

0

mg

由幾何關(guān)系得

a=60。

由平衡條件得

N=-

sina

聯(lián)立得

N=￥^g

(2)由平衡條件得

F=kS=9

tana

=H+Ax

聯(lián)立得

Lo=R+^S

°3k

【例3】如圖所示，質(zhì)量分別為加/和加2的兩塊方木中間以輕彈簧相連，在空中設(shè)法使彈簧處于自然長(zhǎng)

度(即其中沒(méi)有彈力)后，給它們相同的初速度，向上拋出。在空中時(shí)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)始終保持豎直，且彈簧

長(zhǎng)度保持自然長(zhǎng)度?？諝庾枇Σ挥?jì)。則（)

A.根/一定等于

B.一定大于加2

C.%/一定〃、于“22

D.不能通過(guò)該現(xiàn)象判斷mi和m2的大小關(guān)系

【答案】D

【詳解】?jī)蓧K方木以相同的初速度，向上拋出，彈簧沒(méi)有彈力，只受重力作用

mg=ma

解得

"g

具有相同的重力加速度，同步做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，與質(zhì)量大小無(wú)關(guān)，不能通過(guò)該現(xiàn)象判斷沖和小的大

小關(guān)系。

故選D。

變式3.1如圖所示，一小球從空中下落，從它剛接觸彈簧到把彈簧壓縮至最短的過(guò)程中，若不計(jì)空氣

阻力，則關(guān)于小球能量的變化，下列判斷正確的是（）

A.動(dòng)能一直減小B.動(dòng)能先增加后減小

C.機(jī)械能先增加后減小D.機(jī)械能保持不變

【答案】B

【詳解】AB.從接觸彈簧到壓縮至最短的過(guò)程中，彈簧的彈力逐漸增大，小球所受重力不變，開(kāi)始小

球受到的合力豎直向下，合力大小逐漸減小，則小球的加速度減小，速度增加；當(dāng)彈力大于重力后小球所

受合力方向豎直向上，合力大小逐漸增大，即加速度向上增加，速度減小，即動(dòng)能先增加后減小，故A錯(cuò)

誤，B正確。

CD.整個(gè)過(guò)程中，彈簧的彈力一直對(duì)小球做負(fù)功，則小球的機(jī)械能一直減小，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤。

故選B。

變式3.2如圖所示，用輕彈簧將質(zhì)量均為m=lkg的物塊A和B連接起來(lái)，將它們固定在空中，彈簧處

于原長(zhǎng)狀態(tài)，A距地面的高度hi=0.15m.同時(shí)釋放兩物塊，設(shè)A與地面碰撞后速度立即變?yōu)榱悖捎贐壓

縮彈簧后被反彈，使A剛好能離開(kāi)地面（但不繼續(xù)上升）.已知彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m,取g=10m/s2.求:

(1)物塊A剛到達(dá)地面的速度;

(2)物塊B反彈到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能;

(3)若將B物塊換為質(zhì)量為2m的物塊C（圖中未畫出），仍將它與A固定在空中且彈簧處于原長(zhǎng),

從A距地面的高度為hz處同時(shí)釋放，C壓縮彈簧被反彈后，A也剛好能離開(kāi)地面，此時(shí)h2的大小.

【答案】（1）1.73m/s；

(2)0.5J；

(3)0.125m

【詳解】試題分析：（1）依題意，AB兩物塊一起做自由落體運(yùn)動(dòng)①（1分）

設(shè)A物塊落地時(shí)速度為vi,此時(shí)B的速度也為V1

則有V1=y]2ghi=抬m/sx1.73m/s②(1分)

（2）設(shè)A剛好離地時(shí)，彈簧的形變量為x,此時(shí)B物塊到達(dá)最高點(diǎn)

對(duì)A物塊，有mg=kx③（1分）

A落地后到A剛好離開(kāi)地面的過(guò)程中，對(duì)于A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,

2

mV]=mgx+AEP④(3分)

由②③④可得：△號(hào)=0.5J⑤（1分）

（3）換成C后，設(shè)A落地時(shí)，C的速度為V2,

則有匕=d2gh2⑥（1分）

A落地后到A剛好離開(kāi)地面的過(guò)程中，A、C及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,

則有=2/gx+AEp⑦（3分）

聯(lián)立解得〃2=0125m（1分）

【例4】如圖所示，一質(zhì)量不計(jì)的彈簧原長(zhǎng)為XL12cm,一端固定于質(zhì)量"?=3kg的物體上，另一端一水

平拉力尸。物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)“=0.225,當(dāng)彈簧拉長(zhǎng)至力=16.5cm時(shí)，物體恰好向右勻速運(yùn)動(dòng)（設(shè)

最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，g=10m/s2）；

（1）若將彈簧壓縮至X2=8cm,求物體受到的摩擦力大小及方向。

（2）若將彈簧拉長(zhǎng)至處=18cm,求物體體受到的摩擦力大小及方向。

FMw效l產(chǎn)

///////////////////77

【答案】（1）6N,方向向右；（2）6.75N,方向向左

【詳解】（1）勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平衡條件得

上（%一%）=

解得

k=1.5N/cm

最大靜摩擦力為

/m=jg=6.75N

若將彈簧壓縮至X2=8cm,彈簧的彈力為

F2=A;（X0-X2）=6N<6.75N

則物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，物體所受的摩擦力為靜摩擦力，大小為6N,彈力方向向左，摩擦力方向向右；

（2）若將彈簧拉長(zhǎng)至X3=18cm,彈簧的彈力為

F3=A:（X3-X0）=9N>6.75N

物體向右運(yùn)動(dòng)，物體受到滑動(dòng)摩擦力，大小為6.75N,方向向左。

變式4.1如圖所示，一質(zhì)量機(jī)=3kg的物體靜止在水平面上，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.8,原

長(zhǎng)x6=15cm的輕質(zhì)彈簧一端固定于物體上，另一端施一水平拉力兒已知最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等,

彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度g取10m/s-

（1）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為21cm時(shí)，物體恰好向右勻速運(yùn)動(dòng)，求彈簧的勁度系數(shù)；

（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為12cm時(shí)，求物體受到的摩擦力；

（3）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為23cm時(shí)，求物體受到的摩擦力。

【答案】（1）400N/m；（2）12N,方向向右；（3）24N,方向向左

【詳解】（1）滑動(dòng)摩擦力

戶〃冽g=0.8x3x10N=24N

物體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件可知

尸吩24N

根據(jù)胡克定律彈力

Fi=k（xi-xo）

代入數(shù)據(jù)可得

A=400N/m

（2）若將彈簧壓縮至12cm,彈力的大小

F2=k（xo-X2）=400x（0.15-0.12）N=12N＜戶24N

可知物體仍然靜止，受到向右的靜摩擦力，大小等于彈簧的彈力，為12N。

（3）若將彈簧拉長(zhǎng)至23cm,彈力的大小

F3=k（X3-X0）=400x（0.23-0.15）N=32N＞戶24N

物體不能保持靜止，所以物體受到的摩擦力為向左的滑動(dòng)摩擦力，大小是24N。

變式4.2如圖所示，兩木塊A、B質(zhì)量分別為叫=20kg、咫=10kg,中間由水平輕質(zhì)彈簧相連，彈簧

勁度系數(shù)1=200N/m,彈簧允許的最大形變量為15cm,水平拉力尸=60N作用在木塊A上，系統(tǒng)恰好在

水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小g取lOm/s?,已知木塊A、B與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同且

均為〃（大小未知）。求：

（1）〃的值；

（2）彈簧的伸長(zhǎng)量為多少；

（3）若將另一木塊C放置在木塊B上，施加拉力產(chǎn)，，使系統(tǒng)仍做勻速運(yùn)動(dòng)（彈簧在彈性限度內(nèi)），拉

力尸’的最大值是多少？木塊C的質(zhì)量是多少？

【答案】（1）〃=02；（2）10cm；（3）尸'=70N,mc=5kg

【詳解】（1）設(shè)木塊與水平面間動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，選AB整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)做勻速運(yùn)動(dòng)，則有

尸=〃（機(jī)1+機(jī)2）g

解得

〃=0.2

（2）設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為Ax,選B為研究對(duì)象，B做勻速運(yùn)動(dòng)，則有

左Ax=2g

解得

Ax=0.1m=10cm

（3）選A為研究對(duì)象

產(chǎn)，=〃7%g+左f

選B和C整體為研究對(duì)象

左?m=〃（加2+'"c）g

解得

mc=5kg,F'=70N

【例5】如圖所示，傾角為30。的斜面固定在水平地面上，輕彈簧的一端固定在斜面的底端，彈簧處于

原長(zhǎng)時(shí)另一端與斜面上的。點(diǎn)平齊。質(zhì)量為機(jī)=1kg的小滑塊從斜面上的。點(diǎn)由靜止下滑，滑塊在b點(diǎn)接觸

彈簧并壓縮彈簧到。點(diǎn)時(shí)開(kāi)始彈回。已知。、6間的距離為0.4m,b、。間的距離為0.2m,彈簧始終處于彈

性限度內(nèi)，重力加速度g取lOm/s?,后取3.87。

（1）若斜面光滑，求滑塊運(yùn)動(dòng)中彈簧彈性勢(shì)能的最大值：

（2）若滑塊第1次離開(kāi)彈簧后，沿斜面上升的最高點(diǎn)位于。、b的中點(diǎn)，求滑塊第2次經(jīng)過(guò)6點(diǎn)時(shí)的

速度大小。（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）

【答案】（1）丸=3人（2）v=1.55m/s

【詳解】（1）若斜面光滑，滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則當(dāng)滑塊壓縮彈簧到c點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性

勢(shì)能最大，由能量守恒定律可得

綜=，"g（S"+sQsin30。

解得

丸=3J

（2）設(shè)滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，滑塊由。點(diǎn)下滑，壓縮彈簧彈回后運(yùn)動(dòng)到。、6中點(diǎn)的過(guò)程,

由動(dòng)能定理有

—mgsabsin30°-卬喈(：0530°(1.55融+2sbc)=0

對(duì)滑塊由。點(diǎn)下滑到第2次經(jīng)過(guò)b點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理可得

mv

mgsabsin300-/jmgcos30°(s金+2sbc)=^^

聯(lián)立解得

v=1.55m/s

變式5.1如圖所示，一輕彈簧一端固定在傾角為0=37。的固定斜面的底端，另一端拴住質(zhì)量為機(jī)/=6kg

的物體P,Q為一質(zhì)量〃?2=10kg的物體，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧的壓縮量xo=O.16m?，F(xiàn)給物體Q施加一

個(gè)方向沿斜面向上的力R使它從靜止開(kāi)始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，已知在前0.2s時(shí)間內(nèi)，尸為變力，0.2s

以后尸為恒力。已知斜面光滑且足夠長(zhǎng)，5畝37。=0.6,cos37°=0.8,g取10為s?求:

（1）彈簧的勁度系數(shù)依

（2）物體Q做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小.；

（3）前0.2s內(nèi)拉力下做的功。

【答案】（1）600N/m；

【詳解】（1）開(kāi)始時(shí)，對(duì)整體受力分析，平行斜面方向有

(加］+m2)gsin0=kxo

代入數(shù)據(jù)，解得

^=600N/m

（2）前0.2s時(shí)間內(nèi)尸為變力，之后為恒力，表明0.2s時(shí)刻兩物體分離，此時(shí)P、Q之間的彈力為零且

加速度大小相等，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為方，對(duì)物體P,有

kx{-m{gsmd=mxa

前0.2s時(shí)間內(nèi)兩物體的位移

聯(lián)立解得

0=%/屋

3

（3）前0.2s內(nèi)，對(duì)P、Q整體根據(jù)動(dòng)能定理

2

Wp+W^-{mx+m-1^gxsin0=+

其中

kx0+N

2-%

速度

v=at

位移

x=-at2

2

代入數(shù)據(jù)得

44

WF=-J

9

變式5.2如圖所示，質(zhì)量%=1kg的物塊放在豎直彈簧上端并緊挨著豎直墻壁，水平向左、大小

尸=15N的力作用在物塊上，物塊恰好不下滑，此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度4=6cm。已知彈簧的勁度系數(shù)左=100N/m、

原長(zhǎng)/。=10cm,物塊與豎直墻壁之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s"求:

(1)彈簧對(duì)物塊的彈力大小;

(2)豎直墻壁對(duì)物塊的摩擦力大小和方向;

(3)物塊與豎直墻壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

【答案】（1）與=4N；（2）4=6N,方向豎直向上；（3）〃=0.4

【詳解】（1）根據(jù)胡克定律有

解得

盤=4N

（2）對(duì)物塊受力分析，豎直方向上有

Ff+F^^mg

解得

耳=6N

方向豎直向上。

（3）物塊在水平方向上有

F=FN

物塊與豎直墻壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)

解得

//=0.4

【例6】如圖所示，質(zhì)量為10kg的物體M放在傾角為a=37。的固定斜面上，M與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)

〃=0.625,M用平行于斜面的輕繩繞過(guò)光滑定滑輪與質(zhì)量為8kg的物塊m相連。勁度系數(shù)4=200N/m的彈

簧與加相連，也與地面相連，設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等，重力加速度取g=10m/s2,求:

（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長(zhǎng)量為8cm,求M所受到的摩擦力;

（2）若M剛要開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)彈簧對(duì)物塊的彈力的大小。

【答案】（1）36N,方向沿斜面向下；（2）30N或70N

【詳解】（1）對(duì)物塊加分析受力情況如圖1所示

口

mg

瑜

圖1

根據(jù)平衡條件可得

T=mg+F彈

解得

月單=6=200x0.08=16N

聯(lián)立解得輕繩的拉力為

T=96N

以物體〃為研究對(duì)象，受到重力、支持力、輕繩拉力，由于%sin37o<T,摩擦力方向沿斜面向下,

沿斜面方向的平衡方程為

Mgsin37°+f^T

代入數(shù)據(jù)解得

/=36N

摩擦力的大小為36N,方向沿斜面向下

(2)物體M與斜面間的最大靜摩擦力為

fm=//TWgcos37°=0.625x10x10x0.8=50N

物體M剛要向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)輕繩的拉力為?；，對(duì)物體M沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得

[=竭sin37°+幾

解得

7；=110N

對(duì)物塊加，根據(jù)平衡條件可得

7]=mg+F^

解得

4=30N

物體〃剛要向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)輕繩的拉力為石，沿斜面方向的平衡方程為

T2+fm=Mgsm3r

解得

7；=10N

對(duì)物塊如根據(jù)平衡條件可得

丁2+與2=mg

解得

辱2=70N

變式6.1如圖所示，質(zhì)量為m的小球甲穿過(guò)一豎直固定的光滑桿拴在輕彈簧上，質(zhì)量為4m的物體乙

用輕繩跨過(guò)光滑的定滑輪與小球甲連接，開(kāi)始用手托住物體乙，輕繩剛好伸直，滑輪左側(cè)繩豎直，右側(cè)繩

與水平方向夾角為a=53。，某時(shí)刻由靜止釋放物體乙（足夠高），經(jīng)過(guò)一段時(shí)間小球甲運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)，。、。

兩點(diǎn)的連線水平，,且小球甲在尸、。兩點(diǎn)處時(shí)彈簧的彈力大小相等。已知重力加速度為g,sina=0.8,

cos?=0.6?求：

（1）彈簧的勁度系數(shù)k-,

（2）小球甲位于Q點(diǎn)時(shí)的速度大小v