江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

試題（A卷）

一、單選題

1.如圖，圖中的幾何體是圓柱沿豎直方向切掉一半后得到的，則該幾何體的左視圖是（）

2.已知點(diǎn)q呂（尤2，%）都在反比例函數(shù)〉=a的圖象上，若再<0<%,貝！|（）

A.必<%<。B.必<0<》2C.D.%>°>>2

2

3.已知反比例函數(shù)》=—,下列結(jié)論中，不正確的是（）

x???

A.圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）

B.圖象在第一、三象限內(nèi)

c.在圖象的每個(gè)象限內(nèi)，夕隨x的增大而增大

D.若x>l,貝ljo<y<2

4.如圖，已知/1=/2,點(diǎn)。在8C上，添加下列條件后，仍無(wú)法判定V/BC與V/DE相似的是（）

A.NB=NEB.Z2=ZEDC

AB_AD

c-前=至D.DE//AB

5.在RtZ\/5C中,ZACB=90°f設(shè)4,NB,/C所對(duì)的邊分別為。，b,c,則（)

A.a=b-sia4B.b=c-cosBC.a=b-tark4D.a=b-tan5

6.現(xiàn)有甲、乙兩款電壓不同的蓄電池，蓄電池的電壓都為定值，使用蓄電池時(shí)，電流4（單位：A）

與電阻R（單位：。）是反比例函數(shù)關(guān)系，它們的圖象如圖所示.若平行于縱軸的直線/交人的圖象于點(diǎn)。，

交A的圖象于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸，。分別作縱軸的垂線，垂足為N,M,則矩形跖的面積表示的實(shí)際意義是

A.經(jīng)過(guò)用電器的電流的差值

B.兩款蓄電池的電壓的差值

C.當(dāng)經(jīng)過(guò)用電器的電流相同時(shí)的電阻的差值

D.當(dāng)用電器的電阻相同時(shí)的電流的差值

二、填空題

7.已知點(diǎn)（1,-2）在反比例函數(shù)的圖象上，則心.

X

sincia+B

8.若角辦/是直角三角形的兩個(gè)銳角，則^-2sin—■的值為_(kāi)_____.

cosp2

9.如圖，與v45。是位似圖形，且OG：GC=2：I,則△44G與V45C的面積比為

10.在兩條直角邊長(zhǎng)分別是20和15的直角三角形的內(nèi)部作矩形45C。，如果43、分別在兩條直角邊上

（如圖所示），AD:AB=1:2,那么矩形/8CZ）的面積是

11.如圖，在A/3C中，AD是A/3C的中線，BC=2BD,AC=645,tan/=；,那么㈤？的長(zhǎng)為.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形CMBC為矩形，。/=8,OC=6,連接/C,。為/C的中點(diǎn)，點(diǎn)

尸在坐標(biāo)軸上，若以尸，A,。為頂點(diǎn)的三角形與V/BC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

三、解答題

13.計(jì)算：tan300cos300+sin260°?sin245°tan45°

AE1

14.如圖，在V/BC中，AB=AC,。是4C的中點(diǎn)，E在45上，且一連接DE,求證:

AD2

△AEDs小ADB.

15.如圖，在頂角乙4=30。的等腰三角形/8C中，A8=/C,若過(guò)點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)D,則NBCD=15。.根

據(jù)圖形計(jì)算tan15。的值.

c

16.用洗衣粉洗衣物時(shí)，漂洗的次數(shù)與衣物中洗衣粉的殘留量近似的滿足反比例函數(shù)關(guān)系.小紅、小敏用

同一種洗衣粉各自洗一件同樣的衣服，漂洗時(shí)，小紅每次用一盆水（約10L）,小敏每次用半盆水（約5L）,

如果她們都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小紅的衣服中殘留的洗衣粉還有1.5g,小敏的衣服中殘留的洗

衣粉還有2g.

（1）分別求出小紅、小敏衣服中洗衣粉的殘留量y與漂洗次數(shù)x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)洗衣粉的殘留量降至0.5g時(shí)，便視為衣服漂洗干凈，從節(jié)約用水的角度來(lái)看，你認(rèn)為誰(shuí)的漂洗方法值

得提倡，為什么？

17.周末小明同學(xué)與父親爬山，在停車場(chǎng)附近看到了一棵銀杏樹(shù)垂直于地面，滿樹(shù)金燦燦的葉子

非常好看，小明同學(xué)想測(cè)量這棵樹(shù)的高度，他發(fā)現(xiàn)陽(yáng)光下樹(shù)的影子恰好落在地面和一斜坡上（如圖所示），

此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)3C為8米，坡面上的影長(zhǎng)CZ）為4米，斜坡與水平地面所成的銳角為30。，同一時(shí)

刻，一根長(zhǎng)為1米垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米.（參考數(shù)據(jù)百。1.732）

（2）求樹(shù)的高度（結(jié)果精確到0.1米）.

18.如圖，在V/3C中，。為3c上一點(diǎn)，￡為4D上一點(diǎn)，如果=CD=CE.

(1)求證：AACEsLBAD.

(2)若CE=3,BD=4,AE=2,求￡7)的長(zhǎng).

19.2025年春晚名為《秧8。7》的舞蹈，機(jī)器人們以精準(zhǔn)的動(dòng)作和熱情的表演讓觀眾體驗(yàn)到了傳統(tǒng)文化與

現(xiàn)代科技完美的跨界融合.機(jī)器人為了完美的轉(zhuǎn)動(dòng)手絹，表演時(shí)需要和舞者保持一定的間距.圖2是其側(cè)面

示意圖，胳膊與機(jī)器人身體的夾角=45。，胳膊48=40cm,05=30cm,旋轉(zhuǎn)的手絹近似圓形，半

徑OC=25cm,OC與手臂保持垂直.肘關(guān)節(jié)3與手絹旋轉(zhuǎn)點(diǎn)。之間的水平寬度為12cm(即8。的長(zhǎng)度).

(1)求乙430的度數(shù)；

(2)機(jī)器人跳舞時(shí)規(guī)定手絹端點(diǎn)。與舞者安全距離范圍為30~40cm.在圖2中，機(jī)器人與舞者之間距離為

100cm.問(wèn)此時(shí)手絹端點(diǎn)C與舞者距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說(shuō)明理由.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)

據(jù)：sin66.4°?0.92,cos66.4°?0.40,sin23.6°~0.40,72*1.414)

20.如圖，點(diǎn)/反比例函數(shù)卜=￡(x>0)的圖象上，點(diǎn)C在x軸上，487.x軸，垂足為2,OC=6,AC=，6，

//CS=45。，4C交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵求點(diǎn)D的坐標(biāo).

21.如圖-1,一個(gè)細(xì)水杯的主視圖為矩形EFG”,其內(nèi)有液體，液面近似筋，液面的最低點(diǎn)C即為薪的

中點(diǎn)，荔所在圓的圓心為O,48=10.

水平線

(2)如圖-2,已知。。交昉■于點(diǎn)尸，連接3c并延長(zhǎng)交E〃于點(diǎn)。，EQ=n,EP=38,求的長(zhǎng).

22.如圖，正方形/0C3的邊長(zhǎng)為4,反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)E(3,4).

(2)反比例函數(shù)的圖象與線段8c交于點(diǎn)。，直線y=x+6過(guò)點(diǎn)D,與線段相交于點(diǎn)R求點(diǎn)下的

坐標(biāo);

⑶連OF,OE,探究“OF與"0C的數(shù)量關(guān)系并證明(提示：OE^yJOA2+AE2).

23.嘗試：如圖①，V48C中，將V4BC繞點(diǎn)/按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到A/9。，點(diǎn)3、C的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)分別為4、C,連接3夕、CC,直接寫出圖中的一對(duì)相似三角形」

拓展：如圖②，在V/BC中，ZC=90°,/C=8C,將V4BC繞點(diǎn)/按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到

點(diǎn)及C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4、C,連接2夕、CC,若BB，=8,求CC的長(zhǎng)；

應(yīng)用：如圖③，在Rt^NBC中，ZACB=90°,AB=2,ZABC=30°,將V48c繞點(diǎn)/按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)皮恰好落在RtZX/BC的邊所在的直線上時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的運(yùn)

動(dòng)路徑長(zhǎng).

圖③

參考答案

1.C

解：該幾何體的左視圖是.

故選：C.

2.D

解：,**y——,—6<0,

x

???反比例函數(shù)的圖象過(guò)二，四象限，

:點(diǎn)月（國(guó),%），己（3,%）都在反比例函數(shù)y="的圖象上，且再<0<%，

M>0>為;

故選D.

3.C

解：A、?.?2x1=2,

圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）,正確，不符合題意；

B、k=2>0,

???圖象在第一、三象限內(nèi)，正確，不符合題意；

C、???左二2〉0,

???圖象在第一、三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)歹隨x的增大而減小，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

D、?.?當(dāng)x>l時(shí)，y=2,

?-0<y<2,正確，不符合題意，

故選：C.

4.D

解：A.'/Nl=N29

Zl+ZDAC=N2+ADAC,

即=

又/B=/E,符合相似三角形的判定定理，能推出故本選項(xiàng)不符合題意;

B.?/Z2=ZEDC,

/E=/C,

又NBAC=NDAE,符合相似三角形的判定定理，能推出,故本選項(xiàng)不符合題意；

ARjn

C./BAC=/DAE,—=符合相似三角形的判定定理，能推出故本選項(xiàng)不符合題

ACAE

忌；

D.DE//AB,NBAC=NDAE,不符合相似三角形的判定定理，不能推出△48CS4/DE,故本選項(xiàng)符合

題意；

故選：D.

5.C

解：由題意，可畫圖如下：

A、a=c-sirU,選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；

B、a=c-cosB,選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意;

C、a=b-tanA,選項(xiàng)結(jié)論正確，符合題意；

D、b=a-tan8,選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意;

故選：C.

6.B

解：如圖所示：

對(duì)于。所在的曲線，a=s四邊形。蛆8；對(duì)于尸所在的曲線，U2-S四邊形0NP8；

矩形MNP。的面積二S四邊形—S四邊形0N尸§二。1—。2,

即矩形“八？。的面積表示的實(shí)際意義是兩款蓄電池的電壓的差值,

故選：B.

7.-2

解：將點(diǎn)(1,-2)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=',得-2=。,

X1

解得，k=-2

故答案是：-2.

8.1-V2/-V2+1

sinac?a+0

解:---------2sin.......-

cos夕2

sina_.._

=---------2sin45°o

sina

=l-2x----

2

=1—^/2，

故答案為：1-夜

9.4:9

解：?..OC|：CC=2:1,

0C]:OC=2:3,

與V4BC是位似圖形，

AA^C^AABC,相似比為：2:3；

△44G與vABC的面積比為4:9；

故答案為：4:9.

10.72

解：如圖所示，

,/兩條直角邊長(zhǎng)分別是20和15的直角三角形的內(nèi)部作矩形ABCD,

ZDAB=90°=ZBCD,AD=BC,AB=CD,CD||AE,

:?/DCF=/BEC,且/CQb=/￡5C=90。，

???AFDCSKBE,

.FD_CD

99~CB~^E"

:AD:AB=1:2,

???設(shè)4。=BC=x,AB=CD=2x,則DF=15-x,BE=20—2%,

.15-x_2x

x20-2xf

解得，x=6,

??.AD=6,AB=\2,

：.矩形ABCD的面積是6x12=72,

故答案為：72.

11.8

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。48于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF，/B延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

：8。是A48c的中線，AC=645,

：.AD=CD=-AC=-x6>/5=3A/5,

22

DE1

在Rt^ADE中，tan/==一,

AE2

AE=IDE,

222

???AD=AE+DE=（2。城+。爐，即g碼2=5￡）^2

解得，DE=3（負(fù)值舍去），

AE=6,

?：DEVAB.CFLAB,

???DE\\CF,

???八ADEs八ACF,

.ADDE4E311

"7C~'CF~7F^&45^2,

：.CF=2DE=6,AF=2AE=n,則EF==12-6=6,

設(shè)BE=x,則BF=EF-BE=6-x,

在RMBDE中,BD2=BE2+DE2=X2+9,

:BC=2BD,

BC2=4BD2=4（X2+9）,

在比ABC/中，SC2=BF2+CF2=（6-x）2+62,

/.4（X2+9）=（6-X）2+62,

整理得，X2+4X-12=0,

解得，5=2,X2=-6（不符合題意，舍去），

，BE=2,

：.AB=AE+BE=6+2=8,

故答案為：8.

12.（4,0）或\,o］或

解：,??四邊形CMBC為矩形，

/B=90°,AB=CO=6,BC=OA=S,

:.AC7AB2+BC?=10,

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且/D尸/=90。時(shí)，

PA

圖①

此時(shí)△DP/S4/BC,

APAD

BC~AC

???。為NC的中點(diǎn),

APAD

正一就一丁

AP=4,OP=AO—AP=4,

尸（4,0）；

此時(shí)△。尸4s△gzc,

.AP_AD

,,就一京’

???。為4C的中點(diǎn)，

/.AD=5,

.4尸__5

.?就一茲一晨

257

AP=-,OP=AO-AP=~,

44

????。?/p>

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在＞軸上，且/尸。/=90。時(shí),

:.AABCsACDP,

???CD=AD,

：.尸。是/C的垂直平分線,

NDCP=ZDAP,

:.AABC^AADP,

CDCP

~AB~^C

7

:.OP=CP-CO=-,

當(dāng)點(diǎn)P在〉軸上，且/。/尸=90。時(shí)，不成立,

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）或［：，0］或［°，-］，

故答案為：（4,0）或

【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】原式=且、蟲(chóng)+（@）2一（正下xl

3222

3

4

14.詳見(jiàn)解析

證明：是力。的中點(diǎn)，

.AD-1

??=一，

AC2

「AE1

AD2

,AD_AE

一布一茄’

ZA=AA,

：AAEDS"DB.

15.2-V3

CDLAB,ZA=30°,

.,.40)=90°-30°=60°,

在母△ZCD中，設(shè)CD=1,

CD=-AC,

AD,V3

---=cosA=——

AC2

AD=VJ,

???/BCD=15。,

ZACB=ZACD+/BCD=60。+15。=75。，

ZB=1800-ZA-ZACB=l80°—30?！?5。=75°,

/.ZB=ZACB=15°,

AC=AB,

:.BD=AB-AD=AC-AD=2-43,

在RSCD中

D7')'_反

tan/SCO=tan15。=——=^^-=2—6，

CD1

/.tan15°=2-百.

3

16.(1)小紅衣服中洗衣粉殘留量V與漂洗次數(shù)'的函數(shù)表達(dá)式為＞=三，小敏衣服中洗衣粉殘留量V與漂洗

2x

次數(shù)X的函數(shù)表達(dá)式為y=*2；

X

(2)把y=0.5分別代入這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，可得小紅共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡.

kk

(1)解：設(shè)小紅、小敏衣服中洗衣粉的殘留量與漂洗次數(shù)的函數(shù)關(guān)系式分別為：％=',%=」，

國(guó)x2

fXi—1fXQ—1_

將II0和,分別代入兩個(gè)關(guān)系式得：

〔M=L51%=2

1.5=牛,2=牛，解得:占=1.5,萬(wàn)2=2,

3

???小紅衣服中洗衣粉殘留量》與漂洗次數(shù)x的函數(shù)表達(dá)式為＞=三，

2x

小敏衣服中洗衣粉殘留量V與漂洗次數(shù)x的函數(shù)表達(dá)式為V=42;

X

(2)把歹=0.5分別代入兩個(gè)函數(shù)得：

32_

--=05—=0.5,解得：X1=3,x2=4,

2%jx2

10x3=30(L),5x4=20(L).

答：小紅共用30L水，小敏共用20L水，所以小敏的方法更值得提倡.

17.(1)2米

(2)樹(shù)高7.7米

(i)解：過(guò)。作于〃，

在RtzXC”?■中，NCHD=90°,ZDCH=30°

：.DH=-CD=-x4=2(米)；

22

(2)解：過(guò)"作證||/。交N3于￡,

VAELBC,DH1BC,

：.AE//DH

...四邊形AEHD為平行四邊形

AE=DH=2米

在中，NCHD=9Q°,

CH=VCD2-DH2=V42-22=273(米)

:.BH=BC+CH=8+243(米)

BE1BE1

即-------=~

BH28+2V3r2

解得2E=4+6

：.AB=AE+BE=2+4+yf3=6+43a1.1(米).

答：樹(shù)高7.7米.

18.(1)見(jiàn)解析

(2)4

(1)?:CD=CE,

：.ZCDE=ZCED,

,：ZADB=180°-ZCDE,ZAEC=180°-ZCED,

ZADB=ZAEC,

ZDAC=ZB,

AACE^ABAD；

(2)?.?在(1)中已證明

.AEBD

*'cF

■:CE=3,BD=4,AE=2,

.，nBDxCE4x3,

AE2

???￡。=/?！?￡=6—2=4.

19.⑴68.6度

(2)此時(shí)手絹端點(diǎn)C與舞者距離在規(guī)定范圍內(nèi)，見(jiàn)解析

(1)解：VZANB=90°,ZNAB=45°,

ZABN=45°,

DF)1)

在RtZkBDO中，cosNOBD=---=一=0.4,

OB30

???ZOBDh66.4°,

???ZABO=180°-45°-66.4°=68.6°；

(2)解：在規(guī)定范圍內(nèi)，理由如下：

過(guò)點(diǎn)。作CE_L。。于E,貝|/OEC=90。,

???ZBOC=90°,

*.*/OBD=664。，

：./BOD=90°-ZOBD=90°-66.4°=23.6°

???ZCOE=90°-/BOD=90°-23.6°=66.4°,

???在RtAOEC中，CE=OOsin/COE?25x0.92=23cm,

???在RtZXOEC中，/NAB=45。,45=40cm,

6

BN=/BsinZNAB=40x—?28.28cm，

2

此時(shí)手絹端點(diǎn)C與舞者距離為100-(28.28+12+23卜36.7cm,

?.?機(jī)器人跳舞時(shí)規(guī)定手絹端點(diǎn)C與舞者安全距離范圍為30~40cm,

A此時(shí)手絹端點(diǎn)C與舞者距離在規(guī)定范圍內(nèi).

O

20.⑴)=一(%>0)

⑵(4,2)

(1)解：VABlx^,ZACB=45°,

：.ZACB=ZBAC=45°,

：.AB=BC,

設(shè)AB=BC=x,

/.2/=(4可，

解得：x=4,

???AB=BC=4,

9：OC=6,

：.OB=2,

???力(2,4),

k

代入>=1(x>0)得：k=8,

o

(2)設(shè)直線ZC的解析式為y=h+b,將點(diǎn)/(2,4)、C(6,0)代入得:

2左+6=4

6左+6=0

k=-\

解得:

b=6

：.直線AC的解析式為y=-X+6,

y=-x+6

聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)8,

y=-

IX

解得:

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,2).

21.⑴丁

(2)2

（1）解：連接。4。民。。，

:.AC=CB，

NABC=NCAB,Z_AOC=ZBOC,AC=BC,

vZACB=150°,

/.ZABC=ZCAB=\50,

:.ZAOC=ZBOC=30°f

...408=60。，

???OA=OB,

.?.△048是等邊三角形,

:.OA=OB=AB=W,

???不也41。=與;

1803

(2)解：vZPAB=90°,

.?）P是。。的直徑,

連接。。交45于M點(diǎn),

...OCLAB,

AM=MB=5,

?/ZPAB=ZOMB=90°,

\OC〃EH,

BCOB,

——=—=1,

CQBP

；.C為3。的中點(diǎn)，

.?.。。是丫5P。的中位線，

EQ=n,EP=38,

OC=^PQ=^EP-EQ)=13,

:.OM=^BO2-BM2=7132-52=12，

:.CM=OC-OM=1,

■：CM是A480的中位線，

:.AQ=2CM=2.

12i

22.(1)?=—；(2)(2,4)；(3)AAOF=-AEOC,證明見(jiàn)解析

x2

(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式＞=幺，

X

:反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)E(3,4),

4=—,即k=12.

3

...反比例函數(shù)的解析式為y="12；

尤

(2)?.?正方形/0C8的邊長(zhǎng)為4,

二點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4,點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4.

?.?點(diǎn)。在反比例函數(shù)的圖象上，

...點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為3,即。(4,3),

,點(diǎn)Z)在直線y=+6上，

3=--x4+Z?,解得6=5,

2

...直線。廠的解析式為＞=-；x+5,

將y=4代入尸-;x+5,

得4=-；x+5,解得尤=2,

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,4)；

(3)ZAOF=-ZEOC.

2

證明如下：如圖，在上截取CG=/尸=2,連接OG,連接EG并延長(zhǎng)交匯軸于點(diǎn)

???AO=CO=4,/CM尸=ZOCG=90。,/尸=CG=2,

:?△OAF絲△OCG（SAS）.

???ZAOF=/COG.

?.?ZEGB=/HGC/B=ZGCH=90°,SG=CG=2,

AAEGB^AHGC（ASA）.

??.EG=HG.

設(shè)直線￡G的解析式為y=3：+〃（加。0）,

???￡（3,4）,G（4,2）,

f4=3m+n[m=—2

???c,，解得m-

[2=4m+n[〃=10

?,?直線EG的解析式為＞=-2x+10.

令V=-2x+10=0,得x=5.

：.H（5,0）,OH=5.

在MANOE中，/。=4,/￡=3,根據(jù)勾股定理/￡2+/。2=?！?得?！?5.

OH=OE,

：.OG是等腰△OEa底邊跖上的中線，

OG是等腰AOEH頂角的平分線，

ZEOG=ZGOH.

：.ZEOG=ZGOC=ZAOF,

即NAOF=g/EOC.

.—Jr47r27r

23.嘗試：△/班，~A4C0；拓展：CdC；應(yīng)用：點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為:或三或子或萬(wàn)