初中數(shù)學(xué)章節(jié)同步練習(xí)題一、章節(jié)概述一元一次方程是初中代數(shù)的基礎(chǔ)核心內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程、一元二次方程、分式方程等的重要鋪墊。本章重點(diǎn)考查方程的基本概念、解法步驟及實(shí)際應(yīng)用，其中“找等量關(guān)系列方程”是貫穿始終的核心能力，也是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)與高頻考點(diǎn)。本章考點(diǎn)分布：1.一元一次方程的定義與解的概念（基礎(chǔ)題，占比15%）；2.一元一次方程的解法（重點(diǎn)題，占比35%）；3.一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用（難點(diǎn)題，占比50%，涉及行程、工程、利潤、配套等類型）。二、分考點(diǎn)同步練習(xí)（一）考點(diǎn)1：一元一次方程的基本概念核心知識(shí)點(diǎn)：一元一次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1，且是整式方程（分母不含未知數(shù)）。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值（代入驗(yàn)證）。例題1（判斷一元一次方程）：下列式子中，屬于一元一次方程的是（）A.\(x+2y=5\)B.\(x^2-3x=1\)C.\(\frac{1}{x}+1=2\)D.\(2x-1=3\)解析：A.含兩個(gè)未知數(shù)（\(x,y\)），不符合“一元”；B.未知數(shù)次數(shù)為2，不符合“一次”；C.分母含未知數(shù)（\(x\)），不是整式方程；D.符合所有條件，答案：D。例題2（求方程中的參數(shù)）：若方程\((a-2)x+3=0\)是一元一次方程，則\(a\)的取值范圍是______。解析：一元一次方程要求未知數(shù)系數(shù)不為0，故\(a-2\neq0\)，答案：\(a\neq2\)。練習(xí)1（基礎(chǔ)鞏固）：1.下列方程中，是一元一次方程的是（）A.\(3x+2=5y-3\)B.\(\frac{x}{3}-1=2\)C.\(x^2-1=0\)D.\(2x+3\)（提示：D是代數(shù)式，不是方程）2.已知\(x=3\)是方程\(2x+k=7\)的解，則\(k=\)______（代入得\(6+k=7\)，\(k=1\)）。（二）考點(diǎn)2：一元一次方程的解法核心知識(shí)點(diǎn)：解法步驟（順序可調(diào)整，但需注意易錯(cuò)點(diǎn)）：1.去分母（兩邊乘最簡公分母，每一項(xiàng)都要乘，包括常數(shù)項(xiàng)）；2.去括號(hào)（括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)變號(hào)）；3.移項(xiàng)（從一邊移到另一邊，符號(hào)改變）；4.合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及次數(shù)不變）；5.系數(shù)化為1（兩邊除以未知數(shù)系數(shù)，注意符號(hào)）。例題3（典型解方程）：解方程組：\(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2}=1\)解析（分步展示，強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)）：去分母（最簡公分母6）：\(2(2x-1)-3(x+1)=6\)（注意：右邊1也要乘6）；去括號(hào)：\(4x-2-3x-3=6\)（括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)變號(hào)）；移項(xiàng)：\(4x-3x=6+2+3\)（移項(xiàng)變號(hào)）；合并同類項(xiàng)：\(x=11\)；驗(yàn)證：代入左邊得\(\frac{22-1}{3}-\frac{11+1}{2}=7-6=1\)，等于右邊，正確。例題4（分母為小數(shù)的方程）：解方程組：\(0.5x+0.7=1.3x-0.9\)解析（轉(zhuǎn)化為整數(shù)分母，簡化計(jì)算）：兩邊乘10，得\(5x+7=13x-9\)；移項(xiàng)：\(5x-13x=-9-7\)；合并同類項(xiàng)：\(-8x=-16\)；系數(shù)化為1：\(x=2\)。練習(xí)2（解法強(qiáng)化）：解下列方程（寫出關(guān)鍵步驟）：1.\(3(x-2)=2x+1\)（去括號(hào)得\(3x-6=2x+1\)，移項(xiàng)得\(x=7\)）；2.\(\frac{x-1}{2}=1-\frac{x+2}{3}\)（去分母得\(3(x-1)=6-2(x+2)\)，去括號(hào)得\(3x-3=6-2x-4\)，移項(xiàng)得\(5x=5\)，\(x=1\)）；3.\(0.3x+0.4=0.2x+0.7\)（乘10得\(3x+4=2x+7\)，\(x=3\)）。（三）考點(diǎn)3：一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用核心知識(shí)點(diǎn)：解決實(shí)際問題的步驟：1.設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)或間接設(shè)，優(yōu)先設(shè)所求量）；2.找等量關(guān)系（關(guān)鍵！需結(jié)合題意分析）；3.列方程（根據(jù)等量關(guān)系）；4.解方程（注意單位統(tǒng)一）；5.驗(yàn)證答案（是否符合實(shí)際意義）。常見題型與等量關(guān)系：行程問題：相遇（甲路程+乙路程=總路程）、追及（快者路程-慢者路程=初始距離）；工程問題：總工作量=甲工作量+乙工作量（通常設(shè)總工作量為1，效率=1/時(shí)間）；利潤問題：利潤=售價(jià)-成本，利潤率=（利潤/成本）×100%，售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；配套問題：零件數(shù)量比=配套比例（如1螺釘配2螺母，則螺母數(shù)量=2×螺釘數(shù)量）。例題5（相遇問題）：甲、乙兩地相距300千米，甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行40千米，兩車同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，幾小時(shí)后相遇？解析：設(shè)\(t\)小時(shí)后相遇，等量關(guān)系：甲車路程+乙車路程=總路程；列方程：\(60t+40t=300\)；解得：\(100t=300\)，\(t=3\)；答案：3小時(shí)后相遇。例題6（利潤問題）：一件商品成本50元，按標(biāo)價(jià)的8折出售，利潤率為20%，求該商品的標(biāo)價(jià)。解析：設(shè)標(biāo)價(jià)為\(x\)元，售價(jià)=0.8x，利潤=0.8x-50；利潤率=（利潤/成本）×100%，故方程：\(\frac{0.8x-50}{50}\times100\%=20\%\)；化簡得：\(0.8x-50=10\)；解得：\(0.8x=60\)，\(x=75\)；答案：標(biāo)價(jià)75元。例題7（配套問題）：某車間有22名工人，生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天可生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母，1個(gè)螺釘需配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘與螺母剛好配套，應(yīng)安排多少名工人生產(chǎn)螺釘？解析：設(shè)安排\(x\)名工人生產(chǎn)螺釘，則\(22-x\)名生產(chǎn)螺母；螺釘數(shù)量=1200x，螺母數(shù)量=2000(22-x)；配套關(guān)系：螺母數(shù)量=2×螺釘數(shù)量，故方程：\(2000(22-x)=2\times1200x\)；化簡得：\(____-2000x=2400x\)；移項(xiàng)得：\(4400x=____\)；解得：\(x=10\)；答案：10名工人生產(chǎn)螺釘。練習(xí)3（實(shí)際應(yīng)用強(qiáng)化）：1.（工程問題）甲單獨(dú)做一項(xiàng)工程需10天，乙單獨(dú)做需15天，兩人合作需幾天完成？（設(shè)總工作量為1，效率分別為1/10、1/15，合作效率=1/10+1/15=1/6，時(shí)間=1÷1/6=6天）；2.（追及問題）小明以每小時(shí)5千米的速度跑步，出發(fā)2小時(shí)后，爸爸騎自行車以每小時(shí)15千米的速度追他，爸爸多久能追上小明？（設(shè)\(t\)小時(shí)追上，小明路程=5(t+2)，爸爸路程=15t，等量關(guān)系：15t=5(t+2)，解得t=1小時(shí)）；3.（數(shù)字問題）一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2，若將十位與個(gè)位數(shù)字交換，得到的新數(shù)比原數(shù)小18，求原數(shù)。（設(shè)個(gè)位數(shù)字為\(x\)，十位數(shù)字為\(x+2\)，原數(shù)=10(x+2)+x=11x+20，新數(shù)=10x+(x+2)=11x+2，方程：(11x+20)-(11x+2)=18，恒成立，說明所有十位比個(gè)位大2的兩位數(shù)都滿足，如31、42、53等，需驗(yàn)證：31-13=18，正確）。三、綜合測試題（100分）（一）選擇題（每題5分，共20分）1.下列方程中，是一元一次方程的是（）A.\(x+\frac{1}{x}=2\)B.\(3x-2=0\)C.\(x^2+1=5\)D.\(2x+y=3\)2.方程\(2x-1=3\)的解是（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=3\)D.\(x=4\)3.解方程\(\frac{x}{2}-1=\frac{x}{3}\)時(shí)，去分母正確的是（）A.\(3x-1=2x\)B.\(3x-6=2x\)C.\(3x-1=0\)D.\(3x-6=0\)4.若\(x=2\)是方程\(3x+a=7\)的解，則\(a=\)（）A.1B.2C.3D.4（二）填空題（每題5分，共20分）5.方程\(3x+5=0\)的解是______；6.解方程\(2(x-1)=4\)，去括號(hào)得______；7.某商品標(biāo)價(jià)100元，打8折出售，售價(jià)為______元；8.甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，相向而行，5分鐘后相遇，兩地相距______米。（三）解答題（每題15分，共60分）9.解方程：\(\frac{2x+1}{3}-\frac{x-1}{2}=1\)；10.（行程問題）A、B兩地相距480千米，甲車從A地出發(fā)，每小時(shí)行60千米，乙車從B地出發(fā)，每小時(shí)行80千米，兩車同時(shí)出發(fā)，相向而行，幾小時(shí)后兩車相距120千米？（提示：分相遇前和相遇后兩種情況）；11.（工程問題）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需12天，乙單獨(dú)做需18天，甲先做2天后，乙加入合作，還需幾天完成？；12.（配套問題）某工廠生產(chǎn)一種零件，需要經(jīng)過兩道工序，第一道工序每人每天可做150個(gè)，第二道工序每人每天可做120個(gè)，現(xiàn)有14名工人，如何安排工序人數(shù)，才能使每天生產(chǎn)的零件剛好配套？（提示：兩道工序生產(chǎn)的零件數(shù)量相等）。四、答案與解析（一）選擇題1.B（解析：A分母含未知數(shù)，C次數(shù)為2，D含兩個(gè)未知數(shù)）；2.B（解析：2x=4，x=2）；3.B（解析：兩邊乘6得3x-6=2x）；4.A（解析：代入x=2得6+a=7，a=1）。（二）填空題5.\(x=-\frac{5}{3}\)（解析：3x=-5，x=-5/3）；6.\(2x-2=4\)（解析：括號(hào)前是2，直接乘）；7.80（解析：100×0.8=80）；8.550（解析：(60+50)×5=550）。（三）解答題9.解：去分母得\(2(2x+1)-3(x-1)=6\)；去括號(hào)得\(4x+2-3x+3=6\)；合并同類項(xiàng)得\(x+5=6\)；移項(xiàng)得\(x=1\)。10.解：分兩種情況：（1）相遇前相距120千米：\(60t+80t=480-120\)，解得\(t=3\)；（2）相遇后相距120千米：\(60t+80t=480+120\)，解得\(t=6\)；答案：3小時(shí)或6小時(shí)。11.解：設(shè)還需\(t\)天完成，總工作量為1；甲先做2天的工作量：\(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)；甲乙合作工作量：\((\frac{1}{12}+\frac{1}{18})t\)；方程：\(\frac{1}{6}+(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})t=1\)；化簡得：\(\frac{1}{6}+\frac{5}{36}t=1\)；解得：\(t=6\)；答案：還需6天。12.解：設(shè)安排\(x\)名工人做第一道工序，則\(14-x\)名做第二道工序；等量關(guān)系：第一道工序產(chǎn)量=第二道工序產(chǎn)量；方程：\(150x=120(14-x)\)；化簡得：\(150x=1680-120x\)；解得：\(x=8\)；故\(14-x=6\)；答案：8名做