1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章

空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)能用向量方法得到兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角的向量表達(dá)式，解決立體幾何中有關(guān)角度的度量問題01能綜合運(yùn)用“基底法”“坐標(biāo)法”解決立體幾何問題02探索新知在必修教材中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角、直線與平面相交所成的角以及兩個(gè)平面相交所成的二面角．那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？探索新知兩異面直線所成的角如何用空間向量求兩條直線的夾角？兩條直線夾角的定義兩條直線夾角的取值范圍兩條直線夾角的向量求法兩條直線夾角問題的研究路徑：過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角.θ∈(0°,90°]探索新知兩異面直線所成的角兩條直線的夾角

θ

與它們方向向量的夾角有什么關(guān)系？

若異面直線

l1，l2所成的角為

θ，其方向向量分別是

u，v，則

典型例題

例7如圖，在棱長為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為

BC，AD的中點(diǎn)，求直線

AM和

CN夾角的余弦值．

典型例題

典型例題例7如圖，在棱長為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為

BC，AD的中點(diǎn)，求直線

AM和

CN夾角的余弦值．

解：回到圖形問題所以直線

AM和

CN夾角的余弦值為

．

探索新知直線與平面所成的角如何用向量方法求直線

AB

與平面

BCD所成的角？可以把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.

如圖，直線

AB與平面

α相交于點(diǎn)

B，設(shè)直線

AB與平面

α所成的角為

θ，直線

AB的方向向量為

u，平面

α的法向量為

n，則探索新知兩平面的夾角如圖，平面

α與平面

β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面

α

與平面

β

的夾角．兩個(gè)平面的夾角與二面角的平面角有什么區(qū)別？

探索新知如何用向量方法求平面

α與平面

β所成的角？類似于兩條異面直線所成的角，若平面

α，β的法向量分別是

n1

和

n2，則平面

α與平面

β的夾角即為向量

n1

和

n2

的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)平面

α與平面

β的夾角為

θ，則平面與平面所成的角

典型例題例8如圖，在直三棱柱

ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

Q，R分別在棱

AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面

PQR與平面

A1B1C1夾角的余弦值．分析：因?yàn)槠矫?/p>

PQR與平面

A1B1C1的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面

PQR與平面

A1B1C1的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個(gè)平面的法向量的夾角即可．典型例題解：化為向量問題以

C1為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線為

x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面

A1B1C1的法向量為

n1，平面

PQR的法向量為

n2，則平面

PQR與平面

A1B1C1的夾角就是

n1與

n2的夾角或其補(bǔ)角．例8如圖，在直三棱柱

ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

Q，R分別在棱

AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面

PQR與平面

A1B1C1夾角的余弦值．典型例題

典型例題

例8如圖，在直三棱柱

ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

Q，R分別在棱

AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面

PQR與平面

A1B1C1夾角的余弦值．典型例題例9右圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°．已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度

g取9.8m/s2，精確到0.01N)．分析：因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以降落?/p>

8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大?。?根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．典型例題

典型例題例10如圖，在四棱錐

P-ABCD中，底面

ABCD是正方形，側(cè)棱

PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是

PC的中點(diǎn)，作

EF⊥PB交

PB于點(diǎn)

F．(1)求證：PA∥平面

EDB；(2)求證：PB⊥平面

EFD；(3)求平面

CPB與平面

PBD的夾角的大小．分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計(jì)算兩個(gè)平面的夾角．這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量及坐標(biāo)表示問題中的幾何元素，進(jìn)而解決問題．典型例題

典型例題

典型例題

典型例題

探索新知解決立體幾何中的問題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法.你能說出它們各自的特點(diǎn)嗎？(1)本部分綜合法也稱幾何法，即綜合應(yīng)用幾何定理性質(zhì)解決問題的方法.(2)向量法是用向量解決數(shù)學(xué)問題的方法，本部分常用基向量法，即通過確定空間向量的基底，其他向量用基底表示，然后進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.(3)本部分坐標(biāo)法即通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)