第一章空間向量與立體幾何專題01：利用空間向量根本定理解決立體幾何問題一、選擇題1.()如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BD的交點(diǎn)為M,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,那么以下向量中與C1M相等的向量是A.-12a+1B.12a+1C.-12a-1D.-12a-12.()三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn),那么異面直線AB與CC1所成角的余弦值為()A.34 B.34 C.53.()如圖,在四面體OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,那么OA與BC所成角的余弦值為()A.3-2C.12 D.二、填空題4.()在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,那么異面直線A1B與AC所成角的余弦值是.

5.()如圖,在三棱錐D-ABC中,AB=2,AC·BD=-3,設(shè)AD=a,BC=b,CD=c,那么c2ab+1三、解答題6.()如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E分別是AB1,BC的中點(diǎn).求證:(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.(用向量方法證明)7.()如下圖,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC=60°,AC與BD交于點(diǎn)O,EC⊥底面ABCD,F為BE的中點(diǎn),AB=CE.(1)求證:DE∥平面ACF；(2)求異面直線EO與AF所成角的余弦值；(3)求AF與平面EBD所成角的正弦值.答案全解全析一、選擇題1.CC1M=AM-AC1=12(AB+AD)-(AB+AD+AA12.B設(shè)AB=a,AC=b,AA1=c,BC的中點(diǎn)為D,那么A1D⊥平面ABC,∴A1D設(shè)三棱柱的各棱長均為1,那么|a|=|b|=|c|=1,且<a,b>=60°,∴A1D=AD-AA∴A1D·AB=1解得a·c=34,∴cos<a,c>=a·c|a∴異面直線AB與CC1所成角的余弦值為343.A因?yàn)锽C=AC-AB,所以O(shè)A·BC=OA·(AC-AB)=OA·AC-OA·AB=|OA||AC|cos<OA,AC>-|OA||AB|·cos<OA,AB>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=-162+24.所以cos<OA,BC>=OA·BC|OA||即OA與BC所成角的余弦值為3-二、填空題4.答案6解析由題意得∠CAB=45°,AB=2,∵A1B=AB-∴A1B·AC=(AB-AA1)·AC=AB·AC-AA1·AC=又|A1B|=(AB-AA1∴cos<A1B,AC>=A1B·5.答案2解析設(shè)CA=x,CB=y,CD=z,那么{x,y,z}是空間的一個(gè)基底,AB2=(y-x)2=y2-2y·x+x2=b2-2y·x+x2=4①AC·BD=(-x)·(z-y)=x·y-x·z=-3②,AD2=(z-x)2=z2-2z·x+x2=c2-2z·x+x2=a2③①-③得b2-c2-2y·x+2z·x=4-a2④,將②代入④得b2-c2+6=4-a2,化簡得c2a2+b2+2=1,又a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號),∴c2ab+1三、解答題6.證明設(shè)AB=a,AC=b,AA(1)DE=AE-AD=12(a+b)-12AB1=1∵A1C=AC-AA1=b-c,∴DE=12A1C,∴DE∥A1C,又DE?平面ACC1A1,A1C?平面ACC1A1,(2)易知AE=12(a+b),BC=b-a,BB1=c,B∵A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,∴A即(兩式相加,整理得b2-a2+b·c+a·c=0,∵AB=AC,∴|a|=|b|,∴b·c+a·c=0.∵AE·BB1=12(a+b)·c=12(a·c+b·c)=0,∴又AE·BC=12(b2-a2)=0,∴AE⊥BC又BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BCC1B1.7.解析設(shè)AB=CE=1,CD=a,CB=b,CE=c,那么|a|=|b|=|c|=1,<a,c>=<b,c>=90°,<a,b>=120°.(1)證明:∵DE=c-a,CF=12(b+c),CA=a+b,∴DE=2CF-CA即DE,CF,CA共面,又DE?平面ACF,CF,CA?平面ACF,∴DE∥平面ACF.(2)∵EO=CO-CE=12(a+b)-c,AF=CF-CA=12(b+c)-(a+b)=-a-12∴EO·AF=-78,|EO|=52,|∴cos<EO,AF>=EO·AF|EO||∵兩異面直線所成角不大于90°,∴異面直線EO與AF所成角的余弦值為75(3)易知EB=b-c,ED=a-c,過點(diǎn)A作AG⊥平面EBD,垂足為G,那么∠AFG即直線AF與平面EBD所成角.設(shè)DG=xDE+yBE,∵DE=c-a,BE=c-b,∴DG=xDE+yBE=(x+y)c-xa-yb,AG=AC+CD+DG=(x+y)c-xa-(y+1)b,由AG·EB=0,AG·ED=0,得y=-35x=25,∴AG=-15c-25a-25b,|又AF=1