202X本溪市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題一、中考幾何壓軸題1．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠BAE的值．2．在中，，點(diǎn)D?E分別是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接．觀察猜想（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，填空：①______________；②直線所夾銳角為____________；類比探究（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說明理由；拓展應(yīng)用（3）在（2）的條件下，若，將繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在射線AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．3．已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（觀察猜想）（1）CM與BE的數(shù)量關(guān)系是________；CM與BE的位置關(guān)系是________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板BMN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段CM與BE的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．4．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請(qǐng)直接寫出線段OP長度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．5．如圖：兩個(gè)菱形與菱形的邊在同一條直線上，邊長分別為a和b，點(diǎn)C在上，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：如圖①，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______________．（2）拓展探究：如圖②，，將圖①中的菱形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②位置，其他條件不變，連接，①猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②求出線段與所成的最小夾角．（3）解決問題：如圖③，若將題目中的菱形改為矩形，且，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．6．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合下述情境，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是矩形．探究展示：“興趣小組”提出的問題是：“如圖2，連接CE．求證：AE⊥CE．”并展示了如下的證明方法：證明：如圖3，分別連接AC，BD，EF，AF．設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．又∵四邊形BEDF是矩形，∴EF經(jīng)過點(diǎn)O，∴OE=OF=EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四邊形AECF是平行四邊形．（依據(jù)1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四邊形AECF是矩形．（依據(jù)2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述證明過程中“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是什么？拓展再探：（2）“創(chuàng)新小組”受到“興趣小組”的啟發(fā)，提出的問題是：“如圖4，分別延長AE，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，求證：EB=PB．”請(qǐng)你幫助他們寫出該問題的證明過程．（3）“智慧小組”提出的問題是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面積．請(qǐng)你解決“智慧小組”提出的問題．7．如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點(diǎn)M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點(diǎn)重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖(2)，當(dāng)n＝1時(shí)，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.（類比探究）（2）如圖(3)，當(dāng)n＝2時(shí)，矩形AMNP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)就圖(3)給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當(dāng)矩形AMVP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CN的長8．探究：如圖1和圖2，四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別在、上，．（1）①如圖1，若、都是直角，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合，直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系____________________；②如圖2，若、都不是直角，但滿足，線段、和之間①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（2）拓展：如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長．9．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（探究證明）（2）如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；（拓展延伸）（3）如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，將△ACD繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α（0°＜α＜360°），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度．10．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在復(fù)習(xí)線段垂直平分線性質(zhì)時(shí)，提出了以下幾個(gè)問題，請(qǐng)你幫他們解決：[數(shù)學(xué)理解](1)點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，則的值為；[拓展延伸](2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)經(jīng)小組探究發(fā)現(xiàn)，如圖，延長線段到點(diǎn)，使，以點(diǎn)為因心，長為半徑作園，則對(duì)于上任一點(diǎn)，都有，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論：[問題解決](4)如圖，某人乘船以25千米/時(shí)的速度沿一筆直的河從碼頭到碼頭，再立即坐車沿一筆直公路以75千米/時(shí)的速度回到住處，已知乘船和坐車所用的時(shí)間相等請(qǐng)?jiān)诤舆吷洗_定碼頭的位置．(請(qǐng)畫出示意圖并簡要說明理由)11．將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中．（1）操作發(fā)現(xiàn):如圖2，固定使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)的面積為的面積為當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）猜想論證:當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想中與的數(shù)量關(guān)系為相等，并嘗試分別作出了和中邊上的高請(qǐng)你證明小明的猜想，即證明:．（3）拓展探究:已知，點(diǎn)是角平分線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)（如圖4)．若射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的長．12．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為________；直線與所夾的銳角為_________；類比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；拓展延伸：（3）中，為的中位線，將繞點(diǎn)逆時(shí)針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．13．如圖1，在菱形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB上的點(diǎn)，且，猜想：①的值是_______；②直線DE與直線CF所成的角中較小的角的度數(shù)是_______．（2）類比探究：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中結(jié)論是否成立，就圖2的情形說明理由．（3）拓展延伸：在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長．14．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，若∠ADE＝60°，則AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究如圖2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上．若∠ADE＝α，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．（3）解決問題如圖3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿B→C方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PM，在PM右側(cè)作∠PMG＝30°，該角的另一邊交射線CA于點(diǎn)G，連接PC．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△APG為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．15．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；（2）問題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長為1，求的面積．16．（1）問題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過作于，取中點(diǎn)，連接，則的長為_______（請(qǐng)直接寫出答案）小明采用如下的做法：延長到，使，連接，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線……請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長．17．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過60個(gè)單位長度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）18．（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)教材第89頁的部分內(nèi)容．例6：如圖18.2.12，G、H是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，E、F分別是邊AB和CD的中點(diǎn)．圖18.2.12求證：四邊形EHFG是平行四邊形．證明：連結(jié)EF交AC于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD．又∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝CF．又∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．又∵∠AOE＝∠COF,∴．請(qǐng)補(bǔ)全上述問題的證明過程．（探究）如圖①，在中，E，O分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，D、F分別是線段AO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到，若四邊形DEFG的面積為8，則的面積為．（拓展）如圖②，GH是正方形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)．若正方形ABCD的面積為16，則四邊形EHFG的面積為．19．綜合與實(shí)踐——探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含角的直角三角板和按如圖1所示位置放置，且的較短直角邊為2，現(xiàn)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，是等腰三角形；（2）深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中，如果連接，，那么所在的直線是線段的垂直平分線．請(qǐng)幫他們證明；（3）再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，求與重疊的面積；（4）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；若不能，說明理由．20．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG解析：（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問題．（3）如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識(shí)．2．（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD解析：（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD于T．證明，推出，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．，是等邊三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為，故答案為1，．（2）如圖②中，設(shè)AC交于O，AE交于T．，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為．（3）①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．由題意，，，，，在中，②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是A解析：（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是AN的中點(diǎn)，即可證明CM=2BE，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90°即可證明CM⊥BE．（2）【探究證明】延長BE至F使EF=BE，連接AF，先證明△AEF≌△NEB，再證明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，進(jìn)而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可證明EB⊥CM；（3）[拓展延伸]由a=45°得到∠ABE=15°，由前面可得∠BMC=30°，過C作CG⊥MB于G，設(shè)CG為m，則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，最后求得的值．【詳解】解:【觀察猜想】(1)CM=2BE；CM⊥BE；如圖1所示圖1∵正方形ABCD，∴AB=CB，∵等腰三角形BMN，∴BM=BN，∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，∴∠BAN=∠BCM，又∵E是AN的中點(diǎn)，∴BE=AE=NE=AN，∴CM=2BE，∵BE=AE，∴∠BAN=∠ABE，∴∠ABE=∠BCM，∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90°∴∠BPM=90°∴CM⊥BE．【探究證明】(2)CM=2BE，CM⊥BE仍然成立．如圖2所示，延長BE至F使EF=BE，連接AF，∵AE=EN，∠AEF=∠NEB，EF=BE，∴△AEF≌△NEB∴AF=BN，∠F=∠EBN，∴AF//BN，AF=BM，∴∠FAB+∠ABN=180°，∵∠MBN=∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABN=90°，∴∠NBA+∠FAD=90°，∴∠CBN=∠FAD∴∠FAB=∠MBC，∵AB=BC，∴△FAB≌MBC，∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，∵∠ABF+∠FBC=90°∴∠BCM+∠EBC=90°，∴EB⊥CM；[拓展延伸](3)由a=45°得∠MBA=∠ABN=45°，∵∠NBE=2∠ABE，∴∠ABE=15°，由前面可得∠MCB=∠ABE=15°，∠MBC=135°，∴∠BMC=180°-15°-135°=30°，如圖3所示，過C作CG⊥MB于G，圖3設(shè)CG為m則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上性質(zhì)解決問題．4．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，結(jié)合∠AGB＝∠FGC，即可得到結(jié)論；（2）先證明ABCADE，從而得，結(jié)合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，(3，3)，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAD＝∠BAC?∠DAC，∠CAE＝∠DAE?∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴ABCADE，∴，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BADCAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴AB=kAC，直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-α-β；（3）由題意得：MN=MP，∠NMP=90°，把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），∴(3，3)∵OPM，∴，即線段OP長度最小時(shí)，的長度最小，∴當(dāng)⊥y軸時(shí)，的長度最小，此時(shí)(0，3)，∴N(0，3)，OP的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵．5．（1）；（2）①，理由見解析；②線段與所成的最小夾角為60；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知求得AE=a+b，CG=b-a，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求得CM=，通過計(jì)算即可求解；（2）①延長BM解析：（1）；（2）①，理由見解析；②線段與所成的最小夾角為60；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知求得AE=a+b，CG=b-a，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求得CM=，通過計(jì)算即可求解；（2）①延長BM到H，使MH=BM，連接GH，利用SAS證明△CMB△GMH和△ABE△HGB，即可得到結(jié)論；②延長MB交AE于N，證明∠GBE=∠BNE=60，即可求解；（3）延長BM到H，使MH=BM，連接GH，同理證明△CMB△GMH，再證明△ABE△HGB，即可求解．【詳解】（1），理由如下：∵菱形ABCD與菱形

BEFG的邊長分別為a和b，∴AE=AB+BE=a+b，CG=BG-BC=b-a，∵點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，∴CM=CG=，∴，∴；（2）①，理由如下：延長BM到H，使MH=BM，連接GH，如圖：∵點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，∴CM=MG，∵∠CMB=∠GMH，∴△CMB△GMH(SAS)，∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180，∵菱形ABCD與菱形

BEFG中，∠ABC=120°，∠GBE=60°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH，∵AB=BC=HG，BE=BG，∴△ABE△HGB(SAS)，∴AE=HB；②線段與所成的最小夾角為60，理由如下：∵△ABE△HGB，∴∠AEB=∠BHG，延長MB交AE于N，則∠MBE=∠BNE+∠AEB，即∠HBG+∠GBE=∠BNE+∠AEB，∴∠GBE=∠BNE=60，∴線段與所成的最小夾角為60；（3），理由如下：延長BM到H，使MH=BM，連接GH，如圖：同理可得：△CMB△GMH(SAS)，∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180，∵矩形ABCD與矩形

BEFG中，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH，∵，∴，∴△ABE△HGB，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．6．（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性解析：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠1=∠4，再由矩形性質(zhì)證得∠PBA=∠EBC，得出△PBA≌△EBC，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．結(jié)合（2）所得結(jié)論利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=PM=ME，設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．則根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．（2）證明：連接CE，由題意得，∠CEA=90°，∴∠1+∠2=180°-∠AEC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠3+∠4=180°-∠ABC=90°．∵∠2=∠3．∴∠1=∠4．∵四邊形EBFD是矩形，∴∠EBF=90°．∴∠PBE=180°-∠EBF=90°．∴∠PBE=∠ABC．∴∠PBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．即∠PBA=∠EBC．∴△PBA≌△EBC．∴PB=EB．（3）解：過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．由（2）可知，PB=BE，∠PBE=90°．∴BM=PM=ME．設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°．∴AB=2BM，tan∠BAM=，解得x=1．∴AB=2，∴S正方形ABCD=2×2=4．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握特殊四邊形、全等三角形及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（解析：（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（2）連接AC，證明,即可求解；（3）分兩種情況考慮：通過證得出對(duì)應(yīng)邊數(shù)量關(guān)系，設(shè)，則解直角三角形AQM，從而計(jì)算出QM的長度，從而求算CN．【詳解】（1）解：∵當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形∴AM=AP,AB=AD∴BM＝PD又∵∴∴（2）CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，.理由：連接AC，如圖：在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵.AD=2AB，AP=2AM，∴，∴.易得∴△ANC∽△APD∴∴（3）分兩種情況考慮：①如圖：∵已知AD＝4，AP＝2,∴AB=2,AM=PN=1由圖知：∴設(shè)，則，在直角三角形AQM中：解得：（舍）∴，∴∴②如圖：由①可得：，，MN=2∴【點(diǎn)睛】本題考查矩形與旋轉(zhuǎn)、相似等綜合，有一定的難度，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度是解題關(guān)鍵．8．（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GA解析：（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，推出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可得出結(jié)果；

（2）把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3-x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）①如圖1中，∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，

∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共線．

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，

故答案為：EF=BE+DF；②成立，理由如下：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）∵△ABC中，，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，．如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中，，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，∵BC=4，∴BF=CE=4-1-x=3-x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，x2=（3-x）2+12，解得：，即DE=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題運(yùn)用了類比的思想，一般先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對(duì)學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．9．（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段BE的長度為．【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段BE的長度為．【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；（2）連接BD，由題意易得∠BAD=∠CAE，進(jìn)而可證△BAD≌△CAE，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；（3）如圖，過A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證△BAE∽△CAD，最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由：如圖2，連接BD，∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△CEA≌△BDA（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，∴BD⊥CE；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴，即，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，∴BE⊥CE，在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，∴BD＝，∵AC⊥BD，∴S△BCD＝AC?BD＝BC?AC，∴AC＝AE＝，AD＝，∴AF=，CE＝2CF＝2×，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解．10．（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求解析：（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求出的長，再根據(jù)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，根據(jù)推出，從而推出，證明，即可證明；（4）在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長線上作點(diǎn)，使，以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.同（3）證明即可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，∴，∴，故答案為：1；（2）∵∴，∵，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或；（3）如圖，連接，∵，，∴，∵的半徑為，∴，∴.∴，∴.∵，∴，∴.∴.（4）如圖，在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長線上作點(diǎn)，使.以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.簡要理由:由于水路速度為陸路速度的，且時(shí)間相等，所以水路的距離必為陸路距離的，即需，連接，同(3)可證，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴又∵，由此，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確的理解題意畫出圖形和作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.11．（1）；（2）詳見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解析：（1）；（2）詳見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

(3)過點(diǎn)D作//BE，求出四邊形是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊥BD，求出∠=60°，從而得到△是等邊三角形，然后求出，再求出∠=∠，利用“邊角邊”證明△和全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)也是所求的點(diǎn)，根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解:（1）∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°?∠B=90°?30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，

∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即；如圖3．是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，．．在和中．的面積和的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)即（3）如圖4，過點(diǎn)D作//BE，∵BD平分∠ABC，

∠ABD=∠DBC，

∵D//BE，DE//B，∴四邊形BED是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，∴∠DBC=∠BDE，

∴BE=DE，

∴四邊形BED是菱形，∴BE=D，且BE、D上的高相等，此時(shí)；過點(diǎn)D作D⊥BD，∵∠ABC=60°，D//BE，∴∠D=∠ABC=60°，∵B=D，∠BD=∠ABC=30°，∠DB=90°，∴∠D=∠ABC=60°，∴△D是等邊三角形，∴D=D，∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CD=180°?∠BCD=180°?30°=150°，∠CD=360°?150°?60°=150°，∴∠CD=∠CD∵在△CD和△CD中，D=D，∠CD=∠CD，CD=CD，∴△CD≌△CD(SAS)，∴點(diǎn)也是所求的點(diǎn)，又∵BE=4=B=D，△D是等邊三角形，∴B=4=，∴B=8，綜上所述：當(dāng)BF=4或8時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，還要注意(3)中符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)．12．（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形解析：（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出直線與所夾的銳角為45°，與（1）結(jié)論不符．（3）此問需要分兩種情況討論，一種情況是當(dāng)在直線上，該種情況需要先證明，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出；另一種情況是，當(dāng)在直線下，先證明，從而證明四邊形為矩形，最后求出．【詳解】解：（1）；60°解答如下：如圖１，與為等邊三角形，，在與中，，故答案為：；直線與所夾的銳角為60°．（2）不成立理由如下：與為等腰直角三角形，，，，即：，在與中，故（1）中的結(jié)論不成立；（3）的長度為2或4；①點(diǎn)在直線上方時(shí)如圖4，，，②點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖5，∥根據(jù)題意，易證四邊形為矩形，，故答案為綜上可得的長度為2或4【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的三邊關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，從而證明三角形全等是解答該小問的關(guān)鍵．（2）根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，證明兩個(gè)三角形相似是解答第二問的關(guān)鍵，重點(diǎn)掌握相似三角形的判定方法．（3）解答本題時(shí)，首先要認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)過程中滿足題意的兩種情況，其次證明過程可參考上面的證明過程，最后如何判定四邊形為矩形也是解答最后一題第二種情況的關(guān)鍵．13．（1）①；②30度；（2）成立，理由見解析；（3）或，理由見解析．【分析】①由得;②延長DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點(diǎn)G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3解析：（1）①；②30度；（2）成立，理由見解析；（3）或，理由見解析．【分析】①由得;②延長DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點(diǎn)G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3）過點(diǎn)A作，交直線DE于M,再結(jié)合（2）中相似分類討論即可；【詳解】（1）①∵菱形ABCD中，∴,∵∴∴∴;②如解題圖1，延長DE、CF交于K，∵∴，∵∴∴∴∴（2）成立，理由如下如解題圖2，連接BD交AC于點(diǎn)G,∵四邊形ABCD是菱形，∴,,即直線DE與CF夾角所成的較小角的度數(shù)是30度（3）或理由如下：（1）過點(diǎn)A作，交直線DE于M,如解題圖3：當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),由（2）得,(2)如解題圖4，過點(diǎn)A作,當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),由（2）得【點(diǎn)睛】本題綜合考察相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵14．（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，解析：（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，即可得到結(jié)論；（3）解決問題:可證△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示線段的長，當(dāng)G點(diǎn)在線段AC上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，則AP＝AG，代入計(jì)算即可；當(dāng)G點(diǎn)在CA延長線上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，則△APG為等邊三角形，代入計(jì)算得到t．【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴．故答案為：．（2）拓展探究（1）中的結(jié)論成立，∵AB＝AC，∠B＝α，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，∵∠ADE＝α，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴；（3）解決問題∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∵∠PMG＝30°，∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BPM＝∠CMG，又∠B＝∠C＝30°，∴△PBM∽△MCG，∴，由題意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，如圖1，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BC＝2BH＝4cm，∴MC＝（4t）cm，∴，即CG＝3t，當(dāng)G點(diǎn)在線段AC上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，則AP＝AG，如圖2，此時(shí)AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，∴4﹣3t＝t，解得：t＝1，當(dāng)G點(diǎn)在CA延長線上時(shí)，若△APG為等腰三角形時(shí)，如圖3，此時(shí)∠PAG＝180°﹣120°＝60°，則△APG為等邊三角形，AP＝AG，此時(shí)AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，∴3t﹣4＝t，解得：t＝2，∴當(dāng)△APG為等腰三角形時(shí)，t的值為1或2．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握分類的思想方法是解題的關(guān)鍵．15．（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，解析：（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．證出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再證出為等腰直角三角形，根據(jù)圖形的性質(zhì)和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長度，即可計(jì)算出的面積．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為，的中點(diǎn)，∴PQ為△BOC的中位線，∵四邊形是正方形，∴AC⊥BO，∴，；故答案為：，；（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：連接并延長交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)可得，∠，是等腰直角三角形，，．∴，．又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，．∴，∴．∴為等腰直角三角形．∴，．∴也為等腰直角三角形．又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，且．∴的形狀是等腰直角三角形．（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴．由旋轉(zhuǎn)得，四邊形是矩形，∴，．∴為等腰直角三角形．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，．∴．∴，．∴．∴．∴為等腰直角三角形．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長到，使，連接，過作于，在中，利用勾股定理求得EH的長，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長與的延長線交于一點(diǎn)，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長到，使，連接，過作于，在中，利用勾股定理求得EH的長，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長與的延長線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．【詳解】（1）延長到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，過作于，∵，，∴四邊形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：如圖在上方，延長與的延長線交于一點(diǎn)，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；如圖，在下方，延長與的延長線交于一點(diǎn)，同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，延長到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過作于，∠ACB+∠DCE=90，∠ABC=90，∴四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=2+6=8，∴EH=，∴；當(dāng)點(diǎn)D在AC延長線上時(shí)，延長到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過作于，同理四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=6-2=4，∴EH=，∴；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．17．【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相解析：【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意列方程即可求出結(jié)果；②仿照①的解題思路和方法解答即可；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)點(diǎn)第二次相遇地點(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，根據(jù)題意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即為a的值；②分0＜x≤50與50＜x＜75兩種情況，分別求出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步即可補(bǔ)全函數(shù)圖象；【拓展】分三種情況畫出圖形，然后根據(jù)題意得出相應(yīng)的分式方程，解方程即可得出y與x的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：【觀察】①∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣30＝120個(gè)單位長度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為v＝4v，∴機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A再返回到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，故答案為：90；②∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣35＝115個(gè)單位長度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，∴機(jī)器人乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，故答案為：105；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)?shù)诙蜗嘤龅攸c(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，即：a＝50，故答案為：50；②當(dāng)0＜x≤50時(shí)，點(diǎn)P（50，150）在線段OP上，∴線段OP的表達(dá)式為y＝3x，當(dāng)v＜時(shí)，即當(dāng)50＜x＜75，此時(shí)，第二次相遇地點(diǎn)是機(jī)器人甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），整理，得y＝﹣3x+300，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，補(bǔ)全圖象如圖2所示：【拓展】①如圖，由題意知，，∴y＝5x，∵0＜y≤60，∴0＜x≤12；②如圖，∴，∴y＝﹣5x+300，∵0≤y≤60，∴48≤x≤60，③如圖，由題意得，＝，∴y＝5x﹣300，∵0≤y≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x≤72，綜上所述，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案為：0＜x≤12或48≤x≤72．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離、一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，難度較大，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．18．教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：．【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而解析：教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：．【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得；拓展：先根據(jù)正方形的性質(zhì)和面積可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得，最后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】教材呈現(xiàn)：補(bǔ)充完整證明過程如下：，又∵，∴，即，∴四邊形EHFG是平行四邊形；探究：如圖，連接OE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CO的中點(diǎn)，，由等底同高得：，，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，