已知正數(shù)滿足13x+25y=10xy,求22x+26y的最小值主要內(nèi)容：通過替換、代入、柯西不等式、k值換元法、二次方程判別式、導(dǎo)數(shù)法及多元函數(shù)最值法等，介紹22x+26y在13x+25y=10xy，且x，y為正數(shù)條件下最小值的計(jì)算步驟。主要公式：1.均值不等式：正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：對(duì)于四個(gè)正實(shí)數(shù)x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))2，等號(hào)條件為：cx=by。3.導(dǎo)數(shù)公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x2).方法“1”的代換22x+26y=eq\f(1,10)*(22x+26y)*10=eq\f(1,10)*(22x+26y)(eq\f(25,x)+eq\f(13,y))=eq\f(1,10)*(550+338+286*eq\f(x,y)+650*eq\f(y,x))利用均值不等式，則有：22x+26y≥eq\f(1,10)*(550+338+2eq\r(25*13*22*26))即：22x+26y≥eq\f(1,10)*(550+338+260eq\r(11))則：22x+26y≥eq\f(444+130eq\r(11),5)。所以：22x+26y的最小值=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法柯西不等式法對(duì)已知條件變形為:eq\f(25,x)+eq\f(13,y)=10，再運(yùn)用不等式公式：∵(eq\f(25,x)+eq\f(13,y))(22x+26y)≥(eq\r(22*25)+eq\r(13*26))2∴10(22x+26y)≥(5eq\r(22)+13eq\r(2))2,即：22x+26y≥eq\f(1,10)*(5eq\r(22)+13eq\r(2))2，所以：22x+26y的最小值=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法二次方程判別式法設(shè)22x+26y=t,則y=eq\f(1,26)*(t-22x),代入已知條件得：eq\f(25,x)+eq\f(338,t-22x)=10,方程進(jìn)行通分有：25(t-22x)+338x=10x(t-22x)10*22x2+(338-10t-550)x+25t=0,方程有解，則判別式為非負(fù)數(shù)，即：△=(338-10t-550)2-4*10*22*25t≥0，化簡(jiǎn)得：(10t-888)2≥4*25*13*22*26。要求t的最小值，則對(duì)不等式兩邊開方有：10t-888≥260eq\r(11),10t≥888+260eq\r(11)，即tmin=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法代入法：由已知條件13x+25y=10xy可知：y=eq\f(13x,10x-25)＞0,代入所求表達(dá)式有：22x+26y=22x+26*eq\f(13x,10x-25)=eq\f(1,10)*[22(10x-25)+eq\f(25*13*26,10x-25)+888]≥eq\f(1,10)*[888+2eq\r(25*13*22*26))]=eq\f(1,10)*(888+260eq\r(11))=eq\f(444+130eq\r(11),5).方法k值換元法設(shè)y=kx,k＞0，代入已知條件有：13x+25kx=10xkx，即：x=eq\f(13+25k,10k),則y=eq\f(13+25k,10),代入所求表達(dá)式22x+26y有：22*eq\f(13+25k,10k)+26*eq\f(13+25k,10)=eq\f(1,10)[22*eq\f(13+25k,k)+26(13+25k)]=eq\f(1,10)(eq\f(22*13,k)+22*25+26*13+26*25k)=eq\f(1,10)(eq\f(22*13,k)+26*25k+888)≥eq\f(1,10)[2eq\r(25*13*22*26)+888]=eq\f(1,10)*(888+260eq\r(11))=eq\f(444+130eq\r(11),5).方法導(dǎo)數(shù)法：設(shè)所求代數(shù)式的最小值為t，則22x+26y=t,求導(dǎo)有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(11,13);對(duì)已知條件變形為eq\f(25,x)+eq\f(13,y)=10，求導(dǎo)有:-eq\f(25,x2)-eq\f(13,y2)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(25,13)*(eq\f(y,x))2,所以：-eq\f(11,13)=-eq\f(25,13)*(eq\f(y,x))2，求出：y=eq\r(\f(11,25))x,代入有：13x+25*eq\r(\f(11,25))x=10x*eq\r(\f(11,25))x,即：x=eq\f(55+13\r(11),22),進(jìn)一步求出:y=eq\r(\f(11,25))*eq\f(55+13\r(11),22)=eq\f(13+5\r(11),10),所以:22x+26y的最小值=22*eq\f(55+13\r(11),22)+26*eq\f(13+5\r(11),10)=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法多元函數(shù)極值法設(shè)F(x,y)=22x+26y+λ(eq\f(25,x)+eq\f(13,y)-10),分別對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得：Fx=22-eq\f(25λ,x2),Fy=26-eq\f(13λ,y2),Fλ=eq\f(25,x)+eq\f(13,y)-10。令Fx=Fy=Fλ=0,則：22x2=25λ,26y2=13λ,x=eq\r(\f(25λ,22)),y=eq\r(\f(13λ,26))。代入得方程：eq\f(\r(22*25),eq\r(λ))+eq\f(\r(13*26),eq\r(λ))=10,eq\r(λ)=eq\f(1,10)*(eq\r(22*25)+eq\r(13*26)),則：22x+26y的最小值=(eq