第3章勾股定理單元測(cè)試

一、單選題

1.下列四個(gè)三角形，與左圖中的三角形相似的是（）

2.如圖，V/BC中，NA4c=90。，分別以邊/2、AC,5c向外作正方形，圖形中數(shù)字或

字母表示該正方形的面積，則字母S所代表的正方形的面積是（)

C.194D.144

3.如圖，是。。的直徑，N3OD=120。，點(diǎn)C為弧8。的中點(diǎn)，NC交。D于點(diǎn)￡,DE=\,

4.在RtZ\48C中NC=90。，若tan/=』，AB=\Q,則8c的長(zhǎng)度為（）

2

A.5B.10C.275D.475

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,C,N的坐標(biāo)分別為L(zhǎng)2,0）,（2,0）,（4,3）,以

點(diǎn)C為圓心，2為半徑畫（DC,點(diǎn)尸在。C上運(yùn)動(dòng)，連接4P,交。C于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段

0尸的中點(diǎn)，連接MV,則線段的最小值為（）

C.V13D.Vio

6.某興趣小組要測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子剛好垂到地面，若緊

拉繩子的末端向后退6m后發(fā)現(xiàn)繩子末端到地面的距離為2m,則旗桿的高度是（）

A.5mB.10mC.13mD.17m

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭（jid）生其中，

出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何.”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺，）其大

意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出

水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度

是多少？則水深為（）

I------10

C.12尺D.13尺

8.下列各組數(shù)據(jù)不熊作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）

A.8cm,15cm,17cmB.3cm,5cm,^34cm

C.0.3cm,0.4cm,0.5cmD.J^cm,s/4cm>>/5cm

9.如圖，矩形中，點(diǎn)￡為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿DE折疊V/OE得到△￡）斯，點(diǎn)/的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,連接CF,過點(diǎn)尸作FG〃/8交于點(diǎn)G,若=4,=4逝，當(dāng)△尸GC

為等腰直角三角形時(shí)，/￡的長(zhǎng)為（）

DC

A.V2-1B.25/2-2c.3V2-3D.4V2-4

10.如圖，將直角邊/C=6cm,BC=8cm的直角V4BC紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折

痕為DE,則AD等于（）

4(B)

7

A.—cmB.—cmC.—cmD.0cm

4444

二、填空題

11.如圖，在菱形4BCD中，尸為8c邊上一點(diǎn)，將VC。尸沿。尸折疊，點(diǎn)C恰好落在C2延

長(zhǎng)線上的點(diǎn)￡處，連接。E交48于點(diǎn)G,若BE=3,BF=2,則。下的長(zhǎng)為

12.如圖所示，正方形網(wǎng)格中，三個(gè)正方形/,B,C的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，用等式表示三個(gè)

正方形的面積邑，SB，之間的關(guān)系

13.圖，線段CE的長(zhǎng)為3cm,延長(zhǎng)EC到8,以C3為一邊作正方形/BCD,連接?！?以

DE為一邊作正方形DEFG,設(shè)正方形48CD的面積為H，正方形。昉G的面積為S2,則

岳-星的值為

AC=24,8c=10,。是的中點(diǎn)，連接CO,則CD

15.如圖，在5x7網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)。，A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上,

點(diǎn)。是V/5C的外心，在不添加其他字母的情況下，則除V/8C外把你認(rèn)為外心也是。的

三角形都寫出來(lái)

三、解答題

16.如圖，/市氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在N市正東方向300千米的8處，以10J7千米/時(shí)的

速度向北偏西60。的3尸方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.

北

(1M市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說(shuō)明；

⑵如果N市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？

17.如圖，在V4BC中，點(diǎn)。，E分別為3C,NC邊上的中點(diǎn)，BE=2DE,過點(diǎn)N作"'〃應(yīng)1

交?！暄娱L(zhǎng)線于點(diǎn)?

⑴求證：四邊形48訪為菱形；

(2)若/48￡=45。，48=4,求四邊形48。尸的面積.

18.如圖1,矩形E為邊48上的點(diǎn)，將△8CE沿折疊，點(diǎn)8恰好落在/C上點(diǎn)

(1)若N3=8,BC=6,求BE的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作EC的垂線，垂足為點(diǎn)G,分別交3C、NC于點(diǎn)尸、H,連接斯，若

EF=AE,求證：上/D絲FF為定值.

NACB

19.如圖，在矩形4BC。中，AB=S,BC=4,將矩形沿/C折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)步處.

(1)求證：AF=CF

(2)求8尸的長(zhǎng).

20.已知為a、b、c是V48c的三邊，當(dāng)加＞0時(shí)，關(guān)于x的方程

c(/+%)+6(x2-4)一2而辦=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證VABC為直角三角形.

《第3章勾股定理單元測(cè)試》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BDACBBCDDB

1.B

【分析】本題考查了相似三角形的判斷，熟練掌握基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

通過勾股定理算出已知圖形三條邊的長(zhǎng)度，然后算出三邊之比，再逐一算出選項(xiàng)的三邊之比

是否和題干圖形的比一樣，再進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：通過勾股定理可得到已經(jīng)圖形的三條邊分別為爐主=拒，2,爐工=廂，

所以三邊之比為0:2：V10=l：V2：A/5

A、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為爐==石，1-g7涯=20，所以三邊

之比為1:石：2收，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；

B、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為71r正=后，1，人才;5所以三邊之

比為1:亞:遙，與已知圖形之比一樣，故兩個(gè)三角形相似，故符合題意；

C、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為爐丁R=3,爐下二布,所以三邊之

比為正:括:3,與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；

D、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為廬方=石，2,正行=用，所以三邊

之比為2:逐:&U，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；

故選：B.

2.D

【分析】本題考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

直接利用勾股定理即可得出答案.

【詳解】解：?.Z4C=90。,

AAB2=25,CS2=169),

，AC2=BC2-AB2=169-25=144

所代表的正方形的面積是144,

故選：D.

3.A

【分析】連接AD,可證NODA=/OAD=/AOD=60。，根據(jù)弧中點(diǎn)，得出/DAC=30。，AADE

是直角三角形，用勾股定理求AE即可.

【詳解】解：連接AD,

,/ZSOr>=120°,AB是0。的直徑，

...ZAOD=60°,

VOA=OD,

：.ZOAD=ZODA=60°,

;點(diǎn)C為弧2。的中點(diǎn)，

：.ZCAD=ZBAC=30°,

：.ZAED=90°,

'：DE=\,

；.AD=2DE=2,

AE=^AD2-DE2=V22-l2=百，

故選：A.

c

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵是通過連接弦構(gòu)造直角三角形，并

通過弧相等導(dǎo)出30。角.

4.C

【分析】本題考查了解直角三角形.熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.

先利用直角三角形的邊角間關(guān)系，用含3c的代數(shù)式表示出/C,再利用勾股定理求出8C.

【詳解】?.,在RtZ\/8C中NC=90°,若tan/=,，

2

.BCI

??一，

AC2

???AC=2BC,

AC1+BC1=AB2,45=10,

（2SC）2+3C2=102,

5C=2A/5.

故選：C.

B

5.B

【分析】以點(diǎn)。為圓心，2為半徑畫。。，連接ON交。。于點(diǎn)AT,連接CM,由點(diǎn)M為

線段0尸的中點(diǎn)，得CML4P,從而得點(diǎn)M在。。上，由勾股定理得ON=14?+3?=5,

進(jìn)而求得"N的最小值.

【詳解】解：以點(diǎn)。為圓心，2為半徑畫。。，連接ON交。。于點(diǎn)AT,連接CM,

???CMYAP,

點(diǎn)M在。O上運(yùn)動(dòng)，

■.■N(4,3),

ON=A/42+32=5，

■：MN+OM>ON^MN+2>5,

MN>3,

的最小值為3,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理，構(gòu)造輔助線，找出點(diǎn)M的

運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角

形.

【詳解】解：如圖，設(shè)旗桿的高度為xm,則繩子/C的長(zhǎng)度為xm,過點(diǎn)。作CE1/3

于點(diǎn)E,

則￡6=80=6111,CD=EB=2m,

在中，

根據(jù)勾股定理可得(x-2丫+6?=/,

解得x=10,

???旗桿的高度是10m,

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】設(shè)水池里的水深為x尺，由題意得：

X2+52=(X+1)2

解得：x=12

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理并能根據(jù)勾股定理正確的列出對(duì)應(yīng)的

方程式解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)四個(gè)答案進(jìn)行逐一判斷

即可.

【詳解】解：A、；82+152=17?,...能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、：32+52=(用了，.?.能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

c、?.?0.32+0.42=0.52,...能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、?.?（后『+（4）屋（石y,...不能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

9.D

【分析】作由AFGC為等腰直角三角形，設(shè)FG=CG=x,則。尸2=。爐+切2,

由此可得40尸C=90。，所以￡、F、C三點(diǎn)共線，再由FG〃/8即可求解；

【詳解】解：如圖，作用，CD,

,/△FGC為等腰直角三角形，

FG=CG,

設(shè)廠G=CG=x,

DF~=DH-+FH2，BP42=（4A/2+x2,

解得：x=2A/2，

ZDFH=45°,

ZDFC=90°,

:.E、F、C三點(diǎn)共線，

FG//AB,

：.ZCEB=/CFG=45°

EB=BC=4,

AE=AB-EB=4O-4;

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并靈

活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，比較簡(jiǎn)單.設(shè)CZ）=x,先根據(jù)翻折變

換的性質(zhì)可得到則4）=8-x,再根據(jù)勾股定理即可求解，再利用線段和差計(jì)算.

【詳解】解：設(shè)。。=尤，則。3=8-x,

是V沿直線翻折而成，

/.AD=BD=8—x,

是直角三角形，

：.AC2=AD2-CD2，

即62=(8-X)2-X2,

7

解得x=f

4

725

BD=BC-CD=S——=—cm

44

故選：B.

11.276

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得。尸=跖，DFLBC,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得C尸=5,BC=1,由菱形的

性質(zhì)得DC=1,最后根據(jù)勾股定理可得DF的長(zhǎng).

【詳解】解：由折疊得，CF=EF,DF±BC,

;BE=3,BF=2

：.EF=BE+BF=3+2=5

：.CF=5

：.BC=BF+FC=2+5=1

..?四邊形/BCD是菱形

：.DC=BC=1

在RtADFC中，加2=加2+CFi

DF=y]DC2-CF2=正與=2A/6

故答案為：2屈

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得

到CF=EH。尸，8C是解答本題的關(guān)鍵.

12.SA+SB=SC

【分析】根據(jù)勾股定理以及正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：S/=32=9,SB=52=25,

正方形C的邊長(zhǎng)為療行=V34，

二=（取/=34,

ASA,SB,S0之間的關(guān)系為邑+&=1，

故答案為：J+品=品，

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

13.-9cm2

【分析】根據(jù)題意，得/DCE=90。,結(jié)合勾股定理的性質(zhì)，計(jì)算得再根據(jù)

2

正方形的性質(zhì)，得SLCD?,S2=DE,通過計(jì)算即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意得：ZDCE=90°,

：.CD2+CE2=DE2

:正方形/BCD的邊長(zhǎng)為CD,面積為S；正方形。即G的邊長(zhǎng)為DE,面積為$2,

22

：.Si=CD,S2=DE,

CE的長(zhǎng)為3cm>

2

/.S1+3=S2,

.,.SI—S尸-9cm2,

故答案為：-9cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和正方形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、正方形的

性質(zhì)，從而完成求解.

14.13

【分析】考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明V/8C是直角

三角形.

根據(jù)勾股定理的逆定理可得VABC是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出CD的長(zhǎng).

【詳解】解：在V/3C中，AB=26,ZC=24,3c=10,

Q262=242+102,

AB2=BC2+AC2,

:"BC是直角三角形，

?.?。是48的中點(diǎn)，

:.CD=-AB=\3.

2

故答案為：13.

15.△ADC、ABDC、/\ABD

【分析】先求出△N8C的外接圓半徑心再找到距離。點(diǎn)的長(zhǎng)度同為r的點(diǎn)，即可求解.

【詳解】由網(wǎng)格圖可知。點(diǎn)到/、B、。三點(diǎn)的距離均為：爐方=石，

則外接圓半徑r=右，

圖中。點(diǎn)到。點(diǎn)距離為：JF+22=6=廠,

圖中￡點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：712+32=屈，

則可知除△N3C外把你認(rèn)為外心也是。的三角形有：△ADC、AADB,/\BDC,

故答案為：AADC、△402、ABDC.

【點(diǎn)睛】本題考查了外接圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，求出△N3C的外接圓半徑「是解答本

題的關(guān)鍵.

16.⑴會(huì),說(shuō)明見解析

(2)10小時(shí)

【分析】(1)過點(diǎn)/作月于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得求出ND,

再比較，即可求解；

(2)設(shè)臺(tái)風(fēng)到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，/市開始受到臺(tái)風(fēng)的影響，到達(dá)點(diǎn)￡時(shí)，/市開始不受到臺(tái)風(fēng)的

影響，則/￡=/。=200千米，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得C￡=D￡,再由勾股定理求出C￡),

即可求解.

【詳解】(1)解：/市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由如下：

如圖，過點(diǎn)/作尸于點(diǎn)。，

北

在口AA8。中，ZABD=30°,/8=300千米,

/。=!/3=二300=150千米，

22

：M>150千米<200千米，

.,.A市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；

(2)解：設(shè)臺(tái)風(fēng)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，A市開始受到臺(tái)風(fēng)的影響，到達(dá)點(diǎn)￡時(shí)，A市開始不受到臺(tái)

風(fēng)的影響，則/E=/C=200千米，

:ADLBF,

：.CD=DE,

DC=ylAC2-AD2=V2002-1502=5077千米，

CE=IOOV7千米，

：.A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為竺吧=10(小時(shí)).

10出

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意，準(zhǔn)

確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

17.(1)見詳解.

(2)1072.

【分析】(1)先證四邊形/8E尸是平行四邊形，再利用條件與三角形中位線定理證

即可得到結(jié)論.

(2)過點(diǎn)E作瓦于點(diǎn)由菱形的性質(zhì)可知再證為等腰直

角三角形，得到EM=亞班=亞、4=20,然后由梯形的面積公式即可得到答案.

22

【詳解】⑴證明：：點(diǎn)。、E分別為BC、/C邊上的中點(diǎn)

是V/8C的中位線，

/.DE//AB,AB=2DE,

?/AF//BE,

...四邊形ABEF是平行四邊形，

又BE=2DE,

:.AB=BE,

：.aABEF為菱形.

(2)解：過點(diǎn)E作瓦欣于點(diǎn)M,AB=2DE,AB=4,

DE=2,

?.?四邊形為菱形，

：.BE=EF=AB=4,

：.DF=DE+EF=2+4=6,

在RtAEBM中，NABE=45°,

：./XEBM為等腰直角三角形，

EM2+BM2=BE?,

EM=—BE=—x4=2y/2,

22

四邊形4RD斤的面積為：^(AB+DF)-EM=^x(4+6)x242=l0yf2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，菱形的判定與性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及梯形的面積公式等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)

知識(shí)并靈活運(yùn)用.

18.(1)3

3

⑵證明見解析，|

【分析】(1)RtAASC中，48=8,BC=6,求得/C=10,由翻折的性質(zhì)，BC=B'C=6,

則45'=4,設(shè)EB=EB』x,則/￡=8-x,Rt/IUEB'中，4?+/=(8-x)2,求出x即可求

=3.

(2)過￡作區(qū)WL4C于跖可證明必ANME哈比貝設(shè)NECB

=NEC4=x,則有/8NC=N￡F3=90°-2x,ZGFC=90°-ZFCG=90°-x,/EFG=

/DFF3

180。-/BFE-NGFC=3x,即可求得---------=一.

NACB2

【詳解】(1)解：(1)???矩形Z5C。,

.?.△A8C為直角三角形，

□△ABC中，AB=8,BC=6,

：.AC=10,

由翻折的性質(zhì)，BC=B'C=6,

：.AB'=4,

設(shè)EB=EB，=x,貝iJ/￡=8-x,

中，42+N=(8-x)2,

，x=3,

:.BE=3.

(2)(2)過E作EN_L/C于M,

圖2

,:EM=BE,EF=AE,/AME=/B=90°,

:.RtdAME%RtdFBE(HL),

：.NEFB=/EAM,

設(shè)/ECB=NECA=x,

：./BAC=NEFB=9QO-2x,

：.ZGFC=900-ZFCG=90°-x,