第十八章分式單元總結(jié)導(dǎo)學(xué)案

本單元圍繞分式展開(kāi)，涵蓋分式的性質(zhì)、運(yùn)算及分式方程等重要內(nèi)容。此導(dǎo)學(xué)案旨在

幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理知識(shí)，強(qiáng)化重難點(diǎn)，提升對(duì)分式相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（簡(jiǎn)寫(xiě)版）

1.全面掌握分式的概念、基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用分式的性質(zhì)進(jìn)行變形、約分與通分。

2.熟練運(yùn)用分式的加、減、乘、除及乘方運(yùn)算法則準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算，明晰各運(yùn)算中的易

錯(cuò)點(diǎn)。

3.深入理解分式方程的解法，能準(zhǔn)確識(shí)別增根，靈活運(yùn)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題。

二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：

?分式的基本性質(zhì)，以及依據(jù)此性質(zhì)進(jìn)行的約分和通分運(yùn)算。

?分式的四則運(yùn)算及乘方運(yùn)算的法則與計(jì)算。

-分式方程的解法步驟和實(shí)際應(yīng)用，包括找等量關(guān)系列方程。

難點(diǎn)：

?分式運(yùn)算中復(fù)雜多項(xiàng)式的因式分解、最簡(jiǎn)公分母的確定，以及避免運(yùn)算錯(cuò)誤。

?理解分式方程增根產(chǎn)生的原因，在實(shí)際問(wèn)題中準(zhǔn)確分析數(shù)量關(guān)系建立分式方程模

型。

三、知識(shí)點(diǎn)自主預(yù)習(xí)填空

1.一般地，如果4B（B70）表示兩個(gè)整式，且B中含有那么式子就叫

D

做分式。

2.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)的整式，分式的值

______。用式子表示為?=簧，?=言（BKO,CHO）。

DD-CDD—C

3.分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即卜5=

ba

();分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即

(bH0,cW0,dW0)o

4.同分母分式相加減，分母_____分子________即士士紋(________);異分母分

CC

式相加減，先______變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減，即_______"WO,d豐

ba

0)o

5.分母里含有的方程叫做分式方程，解分式方程的基本思路是將其化為

方程，最后必須進(jìn)行O

四、知識(shí)點(diǎn)詳細(xì)講解與要點(diǎn)講解

知識(shí)點(diǎn)1:分式的概念

詳細(xì)內(nèi)容：

分式的定義為：若4B(8K0)表示兩個(gè)整式，且B中含有字母，那么式子2就是分

式。判斷一個(gè)式子是否為分式，關(guān)鍵看分母是否含有字母，且分母不能為0。例如

平是分式，當(dāng)X=O時(shí)，該分式無(wú)意義；而|分母為常數(shù)，不是分式。

常考易錯(cuò)點(diǎn)：

?忽略分母不能為0的條件，在確定分式有意義的取值范圍時(shí)出錯(cuò)。

?對(duì)“字母”的理解不準(zhǔn)確，如把工誤認(rèn)為是分式，實(shí)際上兀是常數(shù)，該式不是分式。

71

經(jīng)典例題1：在式子：，手，二中，分式有()

X5TCX—k

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

答案：B

解析：2分母含有字母》,是分式；千分母為常數(shù)3,不是分式；-

X371

中兀是常數(shù)，不是分式；寧分母含有字母久，是分式。所以分式有2個(gè)，選B。

x—1

變式題1：當(dāng)X取何值時(shí)，分式三|有意義？

x+2

答案：久力一2

解析：要使分式有意義，則分母不能為0,即％+2H0,解得久H-2。

知識(shí)點(diǎn)2：分式的基本性質(zhì)

詳細(xì)內(nèi)容：

分式的基本性質(zhì)是分式變形的核心，即分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于

0的整式，分式的值不變。它可用于約分和通分：

?約分是把分式分子分母的公因式約去，化為最簡(jiǎn)分式。如怒=鬻葛=金

9比y43xy-3y3y

?通分是將異分母分式化為同分母分式，先確定最簡(jiǎn)公分母，再根據(jù)性質(zhì)變形。如以

與看，最簡(jiǎn)公分母是6/,表=景=彘，梟=懸=去

常考易錯(cuò)點(diǎn)：

?運(yùn)用性質(zhì)時(shí)，忽略所乘（或除以）整式不為o的條件。

?約分不徹底或錯(cuò)誤約去非公因式；通分找不準(zhǔn)最簡(jiǎn)公分母。

經(jīng)典例題2:下列變形正確的是（）

Xx+1

AA.-=-----

yy+1

=⑦為整式）

C.-=4

yy2

XX,CL/c\

D-=—(aW0)

y曠以

答案：D

解析：A選項(xiàng)不符合分式基本性質(zhì)；B選項(xiàng)未說(shuō)明a70,當(dāng)a=0時(shí)不成立；C選項(xiàng)

不符合性質(zhì)；D選項(xiàng)符合分式基本性質(zhì)，所以選D。

變式題2:將分式急的分子分母同時(shí)乘以(a-b)后，得到的分式是

佐型.2a(。一匕)

口榮-(a+b)(a-b)

解析：根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子分母同乘(a-b),可得2：『)

\CL-rD)^(1—D)

知識(shí)點(diǎn)3：分式的運(yùn)算

詳細(xì)內(nèi)容：

?乘法與除法：分式乘法是分子相乘作分子，分母相乘作分母；除法是將除式分子分

母顛倒后與被除式相乘。如千與=蜜=*==2以

3xy3x-yyxx2

?加法與減法：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母分式先通分再加

咸。如裝？+口=工，1+亥=豆+豆=豆。

?乘方：(鏟=第(b于0,九為整數(shù)),如(|)3=1|='

常考易錯(cuò)點(diǎn)：

?運(yùn)算順序錯(cuò)誤，在混合運(yùn)算中未遵循先乘方，再乘除，最后加減的順序。

■計(jì)算過(guò)程中符號(hào)出錯(cuò)，尤其是在減法和負(fù)指數(shù)騫運(yùn)算時(shí)。

?對(duì)運(yùn)算法則記憶不準(zhǔn)確，如分式除法忘記將除式顛倒。

經(jīng)典例題3:計(jì)算比也

X+1

答案：1

解析：

先對(duì)分子分母因式分解：久2一1=(久+1)(%-1),%2+2%+1=(%+I)2；

(%+1)(%-1)

原式變?yōu)閤+1

(x+1)2

約分可得1O

變式題3:計(jì)算三-二

答案：言

解析：根據(jù)同分母分式減法法則，三-蕓=T。

知識(shí)點(diǎn)4:分式方程

詳細(xì)內(nèi)容：

分母含有未知數(shù)的方程是分式方程，解分式方程一般步驟為：

1.去分母，方程兩邊同乘各分母最簡(jiǎn)公分母化為整式方程。

2.解整式方程。

3.檢驗(yàn)，將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若不為0,是原方程的解；若為0,是增

根，原方程無(wú)解。

如解方程」；=4兩邊同乘x(x-1)得x=2(x-1),解得x=2,檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，

-1)=2X(2-1)=2。0,所以X=2是原方程的解。

?？家族e(cuò)點(diǎn)：

,去分母漏乘不含分母的項(xiàng)。

?忘記檢驗(yàn)，導(dǎo)致增根未被排除。

?在實(shí)際問(wèn)題中，找不準(zhǔn)等量關(guān)系列錯(cuò)方程。

經(jīng)典例題4：解方程三=二,

%+1x-1

答案：x=5

解析：

方程兩邊同乘(x+1)(x-1)得:3(x-1)=2(x+1);

展開(kāi)括號(hào)：3x-3=2x+2;

移項(xiàng)：3x-2x=2+3,解得x=5；

檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，(%+1)(%-1)=(5+1)x(5—1)=2470,所以x=5是原方程

的解。

變式題4:若關(guān)于x的分式方程啖-2=會(huì)有增根，則m的值為。

答案：3

解析：方程兩邊同乘x-3得x-2(x-3)=m,因?yàn)榉匠逃性龈?，所以x-3=0,即乂=

3,把x=3代入x-2(x-3)=m,得3—2x(3—3)=m,解得m=3。

五、效果檢測(cè)（判斷題）

1.式子2T一定是分式。（）

2.分式島中，x可以取任意實(shí)數(shù)。（）

3.由分式基本性質(zhì)可得戶(hù)言（c為整式）。（）

4.分式占1約分后為x-1。（）

x—1

六、課后作業(yè)

一、單選題

1.下列各式中是分式的是（）

2.對(duì)于分式心下列說(shuō)法正確的是（）

x+3

A.當(dāng)x=0時(shí)，分式無(wú)意義B.當(dāng)*=-3時(shí)，分式有意義

C.當(dāng)x=±3時(shí)，分式的值為零D.當(dāng)x=3時(shí)，分式的值為零

3.下列各式中，不論x取何值分式都有意義的是（）

1111

A.-B.-----c.-；—

X1-xx+1x2-l

3?

4.計(jì)算（-蘇「二的結(jié)果是（）

m

A.-2m4B.2m4C.-2m5D.2m5

r-j,i+12d5+36/、

5.若Q=—3,則2=()

a+6a

A.—3B.-1C.3D.6

2

6.計(jì)算二+工的結(jié)果等于（）

a2-la+\

111

A.——B.-----c.—D.1

a-1〃+11—a

7.剪紙是我國(guó)優(yōu)秀的民間傳統(tǒng)文化藝術(shù)之一，傳承了中華民族深邃的傳統(tǒng)思想和古老文

化，具有獨(dú)特的美術(shù)價(jià)值和人文價(jià)值.剪紙紙張的厚度通常可以達(dá)到0Q00107m甚至更

細(xì)，將數(shù)據(jù)0000107用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.107x10-3B.1.07x10^C.1.07xlO^5D.1.07xlO4

8.對(duì)于非零實(shí)數(shù)。，b,規(guī)定。一，若(2%-1)02=1,則尤的值為(

)

ab

二、填空題

—2

9.若分式X=的值為0,則x的值是

X

11.計(jì)算：2《=__.

ab

12.如圖，一個(gè)正確的運(yùn)算過(guò)程被蓋住了一部分，則被蓋住的部分是

三、解答題

13.計(jì)算

x2-lx—2

⑴

+(D?2

/-4無(wú)+4X+X

14?計(jì)算：卜2|一一3-1+(6-2)

15.計(jì)算：-3+(-2025)°+I

23

16.解方程一-=

x+1x

七、答案與解析

（-）知識(shí)點(diǎn)自主預(yù)習(xí)填空答案

1.字母

2.不等于0；不變

ac.ad

bd1be

4.不變；相加減；理；通分；曙

cba

5.未知數(shù)；整式；檢驗(yàn)

（二）效果檢測(cè)答案與解析

1.答案：＜

解析：式子士分母含有字母x,符合分式定義，所以是分式，該說(shuō)法正確。

X+1

2.答案：x

解析：要使分式會(huì)有意義，則/-170,即％力士1,所以X不能取任意實(shí)數(shù)，該說(shuō)法錯(cuò)

xz—1

、口

鐵。

3.答案：x

解析：根據(jù)分式基本性質(zhì)，三=詈（。^。且^:為整式）,缺少C70條件，該說(shuō)法錯(cuò)誤。

uu-C

4.答案：x、

（三）課后作業(yè)答案與解析

題號(hào)12345678

答案ADCCBABA

1.A

【分析】本題考查了分式的定義，能熟記分式的定義是解此題的關(guān)鍵，判斷一個(gè)代數(shù)式是否分式

的關(guān)鍵是：看分母中是否含有字母.

根據(jù)分式的定義，分母中含有字母的代數(shù)式稱(chēng)為分式.逐一判斷各選項(xiàng)分母是否含有字母.

【詳解】解：A.-：分母為字母°,符合分式定義，故此選項(xiàng)符合題意；

a

b

B.分母為2%，其中r是常數(shù)，不含字母，屬于整式，故此選項(xiàng)不符合題意；

2萬(wàn)7

C.審：分母為常數(shù)2,屬于整式，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.|xy：分母為常數(shù)2,屬于整式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

2.D

【分析】本題考查了分式有意義的條件，分式值為零的條件，根據(jù)分式有意義要求分母不為零，

分式的值為零要求分子為零且分母不為零，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解.

【詳解】解：選項(xiàng)A：當(dāng)尤=0時(shí)，分母工+3=0+3=3w0,分式有意義，故A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B：當(dāng)兀二-3時(shí)，分母1+3=-3+3=0,分式無(wú)意義，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C：分式值為零需滿(mǎn)足分子閃-3=0且分母X+3W0.

由|%|=3得％=3或x=-3.

當(dāng)尤=3時(shí)，分母3+3=6w0,滿(mǎn)足條件；

當(dāng)產(chǎn)-3時(shí)，分母-3+3=0,分式無(wú)意義,故C錯(cuò)誤.

選項(xiàng)D：當(dāng)x=3時(shí)，分子|3|-3=0,分母3+3=6片0,分式值為零，故D正確.

故選：D.

3.C

【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)題意逐一分析各選項(xiàng)分母是否可能為零，若無(wú)論無(wú)取

何值分母均不為零，則符合題意，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、分母為無(wú)，當(dāng)x=0時(shí)，分母為零，分式無(wú)意義，不符合題意；

B、分母為1-x,當(dāng)x=l時(shí)，分母為零，分式無(wú)意義，不符合題意；

C、分母為Y+1,由于fzo,則V+121,無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分母始終大于零，分式恒有意義，

符合題意；

D、分母為/-1,當(dāng)x=l或x=-l時(shí)，分母為零，不符合題意；

故選：C.

4.C

【分析】本題考查了哥的乘方，分式的乘法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先運(yùn)算累的

乘方，再運(yùn)算分式的乘法，即可作答.

2365

【詳解】解：依題意，(-m)--=-m--=-2m,

x7mm

故選：C.

5.B

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，將分式化簡(jiǎn)后代入求值，即可求解.

【詳解】解：/+產(chǎn)+36=（；+6）=a+6

a+6〃a[a+6）a

當(dāng)a=-3時(shí)，原式=3+6=_]

-3

故選：B.

6.A

【分析】本題考查分式的加法運(yùn)算，先通分化為同分母，再進(jìn)行計(jì)算，最后約分化簡(jiǎn)即可.

21

【詳解】解：原式="1）（〃+1）+二

2

=-----------H------a---1-----

+（Q一

2+（a-l）

（Q—1）（Q+1）

〃+1

（4—]）（〃+1）

1

~^1；

故選A.

7.B

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為4X10"的形式，其中14時(shí)＜10,”為整

數(shù)，正確確定。、〃的值是解題的關(guān)鍵.將0.000107寫(xiě)成axlO,其中＜10,"為整數(shù)的形式即

可.

【詳解】解：0.000107=1.07x10^.

故選B.

8.A

【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算的含義，根據(jù)定義的新運(yùn)算，將（2x-l）02=l轉(zhuǎn)化為分式方

程，解方程并檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，運(yùn)算。＜8）8=工-。，

代入（2x-l）?2=l得：｛3rg=1，

113

移項(xiàng)得：^^=1+-=-,

2x-l22

2

兩邊取倒數(shù)：2x-l=-,

解得：2x=-2+l=|5,

解得：

0

552

檢驗(yàn)：當(dāng)％二—時(shí)，分母2%—1=21=—wO,

663

因此，x的值為3，

6

故選：A

9.2

【分析】本題考查了分式的值為零的條件，直接利用分式的值為零則分子為零，分母不為零，進(jìn)

而得出答案，熟知分式的值為0時(shí)要滿(mǎn)足的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：...分式」的值為0,

X

%-2=0,

解得x=2,

故答案為：2.

10.--

a

【分析】本題主要考查了含乘方的分式乘法計(jì)算，先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法即可得到答案.

【詳解】解：.a2=-^-a2=--,

a)aa

A3

故答案為：-2.

a

1

11.-

b

【分析】本題考查分式的乘法，根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可.

ba_ab