全等三角形九大經(jīng)典模型舉一反三專題練習(xí)

?題型梳理

【題型1平移模型1....................................................................................................................1

【題型2軸對稱模型】..........................................................................3

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】............................................................................4

【題型4一線三等角模型】.....................................................................6

【題型5倍長中線模型】........................................................................8

【題型6截長補短模型1............................................................................................................10

【題型7手拉手模型】.........................................................................12

【題型8角平分線模型】.......................................................................15

【題型9半角全等模型】.......................................................................16

?舉一反三

【知識點1平移模型】

【模型解讀】把AABC沿著某一條直線1平行移動，所得到4DEF與AABC稱為平移型全等三角形，圖①,

圖②是常見的平移型全等三角線.

【常見模型】

【題型1平移模型】

【例1】（2023春?陜西咸陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，將口48。沿BC方向平移得到口。￡戶，使點8的對應(yīng)點E恰

好落在邊8C的中點上，點C的對應(yīng)點尸在3C的延長線上，連接4D,AC,DE交于點O.下列結(jié)論一定正確的

1

是（）

A.18=口尸B.ACUDEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

【變式1-1］（2023?浙江?七年級假期作業(yè)）如圖，AABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點C

為AE的中點，AB=CD,BC=DE.

（1）求證：AABC/ACDE；

（2）將AABC沿射線AC方向平移得到A/RC',邊B'C'與邊CD的交點為F,連接ER若EF將CDE分為

面積相等的兩部分，且AB=4,則CF=

【變式1-2］（2023春.重慶.七年級校考期中）如圖，將口48。沿射線BC方向平移得到口。?！?連接2。交NC于

點尸.

（1）求證：UAF3DHCFD-,

（2）若43=9,BC=7,求8尸的取值范圍.

【變式1-3］（2023春?七年級課時練習(xí)）已知口/BC,AB=AC,DABC=nACB,將口/BC沿3C方向平移得到

DDEF.如圖，連接AD、AF,則/程（填或“="），并證明.

【知識點2軸對稱模型】

2

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見模型】

【題型2軸對稱模型】

【例2】（2023春?河北邯鄲?七年級?？计谀┤鐖D，在長方形中，點M為CD中點，將□MBC沿2”翻

折至口也石，若口DABE=/3,貝b與夕之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.a+3￡=180°B./3~a=20°C.a+￡=80°D.3￡—2a=90°

【變式2-1］（2023?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，將RSABC沿斜邊翻折得到△ADC,點E,F分別為DC,

BC邊上的點，且NEAF=；/DAB.試猜想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式2-2］（2023春?山東青島?七年級統(tǒng)考期中）如圖，在上A/5C中，□C=90°,將A48C沿向下翻折后,

再繞點/按順時針旋轉(zhuǎn)a度6＜口48。）.得到及A4DE,其中斜邊4E交2C于點尸，直角邊DE分別48、BC于

點G,“

（1）請根據(jù)題意用實線補全圖形；（不得用鉛筆作圖）.

（2）求證：AAFBUAAGE

3

【變式2-3］（2023春?山西臨汾?七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答下列問題

如圖1,以AB為軸，把△ABC翻折180。，可以變換到△ABD的位置；

如圖2,把△ABC沿射線AC平移，可以變換到ADEF的位置.像這樣，其中的一個三角形是另一個三角

形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換.班

里學(xué)習(xí)小組針對三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論

（1）請你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），.

（2）如圖2,前進(jìn)小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF,若平移的距離為2,且AC=5,則DC=.

（3）如圖3,圓夢小組展開了探索活動，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)部點A，的

位置，且得出一個結(jié)論：2NA，=N1+N2.請你對這個結(jié)論給出證明.

（4）如圖4,奮進(jìn)小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外部點A，的位置,

此時/A，與/I、/2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明.

【知識點3旋轉(zhuǎn)模型】

【模型解讀】將二角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個二角形能夠完全重合，則稱這兩個二角形為旋

轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.

【常見模型】

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】

【例3】（2023春?全國?七年級期末）（1）問題引入：如圖1,點尸是正方形A2CD邊上一點，連接AP,

將口4。/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。與DABG重合（。與B重合，尸與G重合，此時點G,B,C在一條直線上），

/GAF的平分線交BC于點E,連接EE判斷線段跖與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4

(2)知識遷移：如圖2,在四邊形ABC。中，ZADC+ZB=180°,AB=AD,E,尸分別是邊BC,CO延長

線上的點，連接AF,且NBAD=2N￡AR試寫出線段BE,EF,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)實踐創(chuàng)新：如圖3,在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AC平分/D4B,點E在AB上，連接DE,CE,

且NZMB=NZ)CE=60。，若DE=a,AD—b,AE=c,求BE的長.(用含a,b,c的式子表示)

【變式3-1](2023春?七年級課時練習(xí))如圖，等邊口/8。中，U408=115。,：]30c=125。，則以線段。4,O8,OC

為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為.

【變式3-2](2023春?全國?七年級專題練習(xí))已知，如圖1,四邊形48CD是正方形，E,尸分別在邊BC、CD

上，且口區(qū)4尸=45。.

(1)在圖1中，連接斯，為了證明結(jié)論"E尸尸”，小亮將AADF繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。后解答了這個問題,

請按小亮的思路寫出證明過程；

(2)如圖2,當(dāng)口口磔點/旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究M與。尸、8E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【變式3-3](2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))如圖，在銳角AABC中，口/=60。，點。，E分別是邊上

一動點，連接3E交直線。于點H

5

圖2備用圖

(1)如圖1,若4B>AC,S.BD=CE,UBCD=□CBE,求口CFE的度數(shù);

(2)如圖2,若4B=/C,且BD=AE,在平面內(nèi)將線段/C繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段CM,連接ME

點N是A3的中點，連接CN.在點O,E運動過程中，猜想線段BRCRCN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的猜想.

【知識點4一線三等角模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD_LDE,AB±AC,CE±DE,那么一定有/B=/CAE.

【題型4一線三等角模型】

【例4】(2023春?山東荷澤?七年級校聯(lián)考階段練習(xí))(1)如圖1,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

直線機經(jīng)過點A,3D，直線相，CEL直線加，垂足分別為點￡＞、E.求證：△ABD之△C4E；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，并且有/BD4

=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論△A3。絲△CAE是否成立？如成立，請給出證

明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是。，A,E三點所在直線機上的兩動點(D,A,E三點互不重合)，點尸

為NBAC平分線上的一點，且△A2P和△ACF均為等邊三角形，連接BDCE,若NAEC=/BAC,

求證：△DEF是等邊二角形.

【變式4-1](2023?浙江?七年級假期作業(yè))如圖，在AABC中，AB^AC=9,點E在邊AC上，AE的中垂線

6

交BC于點。，若/ADE=NB,CD=3BD,則CE等于（）

99

A.3B.2C.；D.；

42

【變式4-2］（2023春?上海?七年級專題練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí),

解決下列問題：

［模型應(yīng)用］如圖2,AEUAB^.AE=AB,BCDCDS.BC=CD,請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成

的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,DBAD=nCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且2c□/尸于點RDE與直線/磔

于點G.若BC=21,AF=12,貝!lOlDG的面積為.

【變式4-3］（2023春?七年級課時練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放："如圖①，0402=90。，/C=3C,4DEICE,BEDCE,

垂足分別為DE,4D=2.5cm,DE=1.7cm.求的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為.

（2）探索證明：如圖②，點8,C在mi/NN的邊NM、AN上,AB=AC,點E,尸在口屈4"內(nèi)部的射線/。上，且

DBED=nCFD=nBAC.求證：AABEDACAF.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在A42C中，AB=AC,AB>BC.點。在邊2c上，CD=2BD,點E、P在線段上，

QBED=UCFD=UBAC.若A48c的面積為15,則A4c尸與A8DE的面積之和為.（直接填寫結(jié)果，

不需要寫解答過程）

7

A

BM

【知識點5倍長中線模型模型】

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加

輔助線.所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形

的有關(guān)知識來解決問題的方法.

【常見模型】

【題型5倍長中線模型】

【例5】（2023春?甘肅慶陽七年級校考期末）小明遇到這樣一個問題，如圖1,OlBC中，AB=7,AC=5,

點。為BC的中點，求4。的取值范圍.小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線

法，就是將二角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等二角形，從而運用全等二角形的有關(guān)知識來解決問題

的方法，他的做法是：如圖2,延長，。到E,使DE=4D,連接BE,構(gòu)造口3￡?？诳凇?。，經(jīng)過推理和計算使

問題得到解決.請回答：

⑴小明證明UBED□□C/D用到的判定定理是：_（用字母表示）;

8

（2）/。的取值范圍是二

（3）小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.參考小明思考

問題的方法，解決問題：如圖3,在口48。中，ND為邊上的中線，且40平分CLB/C,求證：AB=AC.

【變式5-1］（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，口43。中，點。在/C上，

AD=3^4B+AC=10,點E是2。的中點，^^CE,\JACB=DABC+2DBCE,則。=.

【變式5-2］（2023春?全國?七年級階段練習(xí)）如圖，AB=AE,ABQAE,AD=AC,NOMC,點M為8c的中

【變式5-3］（2023?江蘇?七年級假期作業(yè)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，AABC中，AB=1,AC=5,點、D為BC

的中點，求AD的取值范圍.

小明的解法如下：延長到點E,DE=AD,連接CE.

［BD=DC

在小ABD與AECD中］

（AD=DE

：.AABD=AECD（SAS）

'.AB—.

又???在△AEC中石C-ACVA石VEC+AC,而AB=EC=7,AC=5,

???<AE<.

又???AE=2AD

<AD<.

【探索應(yīng)用】如圖②,A3DCD,A5=25,C0=8,點石為5C的中點，N0FE=N3AE,求。尸的長為.（直

接寫答案）

9

【應(yīng)用拓展】如圖③，ZBAC=60°,ZCDE=120°,AB=AC,DC=DE,連接BE,尸為BE的中點，求證:

AP1DP.

【知識點6截長補短模型】

【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長:指在長線段中截取一段等于已知線

段:補短:指將短線段延長，延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等服三角形、角平分線等關(guān)鍵詞

句,可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程,截長補短法(往往需證2次全等)o

【模型圖示】

(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例：如圖,求證BE+DC=AD；

方法:①在AD上取一點F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點F,使DF=DC,證AF=BE

(2)補短:將短線段延長，證與長線段相等

【題型6截長補短模型】

【例6】(2023?浙江?七年級假期作業(yè))如圖①，口/gC和口3￡＞。是等腰三角形，且BD=CD,DBAC=S0°,

□ADC=100。，以。為頂點作一個50。角，角的兩邊分別交邊N2,NC于點E、F,連接砂.

10

D

圖①圖②

⑴探究8￡、EF、尸C之間的關(guān)系，并說明理由;

(2)若點￡、P分別在48、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則2瓜EF、尸C之間存在什么樣的關(guān)

系？并說明理由.

【變式6-1］（2023?江蘇?七年級假期作業(yè)）如圖，AABC中，NB=2/A,/ACB的平分線CD交AB于點D

已知AC=16,BC=9,則8。的長為（)

A.6B.7C.8D.9

【變式6-2］（2023春?七年級課時練習(xí)）在口48。中，BE,CD為口48（7的角平分線，BE,CD交于點、F.

（1）求證：口8尸。=90°+：口/；

(2)已知口4=60°.

①如圖1,若6。=4,BC=6.5,求CE的長;

②如圖2,若BF=AC,求口/￡2的大小.

11

【變式6-3］（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：

【原題呈現(xiàn)】如圖1,在ElABC中，ZA=2ZB,CO平分NACB,AD=2.2,AC=3.6,求BC的長.

【思考引導(dǎo)】因為CD平分/ACB,所以可在BC邊上取點E,使EC=AC,連接。E.這樣很容易得到

DDEC^DDAC,經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）.

【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；

（2）拓展提升：如圖3,已知DABC中，AB=AC,ZA=20°,平分/ABC,BD=2.3,BC=2.求AD的

長.

圖I

【知識點7手拉手模型】

【模型解讀】如圖，AABC是等腰三角形、ZiADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=?o結(jié)論：△BAD0ZXCAE。

【模型分析】手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。

【題型7手拉手模型】

【例7】（2023?江蘇?七年級假期作業(yè)）如圖，口/BC是一個銳角三角形，分別以/氏/C為邊向外作等邊三角

形口/AD、UACE,連接RE、CD交于點尸，連接/尸.

D

(1)求證：UABE^UADC；

12

⑵求口后“的度數(shù)；

(3)求證：/尸平分QD尸E.

【變式7-1](2023春?上海?七年級專題練習(xí))如圖，大小不同的等腰直角三角形AABC和△DEC直角頂點

重合在點C處，連接A￡、BD,點A恰好在線段BD上.

(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；

(2)猜想AE與8。的位置關(guān)系，并說明理由.

【變式7-2X2023?江蘇?七年級假期作業(yè))如圖，若MCB和ODCE均為等腰直角三角形，UACB=UDCE=90°,

點4、D、E在同一條直線上，CM為QDCE中DE邊上的高，連接3E.

(1)求證：DACDUUBCE-,

(2)若CW=2,BE=3,求4E■的長.

【變式7-3](2023春?全國?七年級專題練習(xí))已知AABC,分別以A3、AC為邊作△ABD和△ACE,且AD

=AB,AC=AE,ZDAB=ZCAE,連接DC與BE,G、尸分別是DC與BE的中點.

(1)如圖1,若/D4B=60。，則/AFG=

(2)如圖2,若/。42=90。，則NAFG=—；

13

(3)如圖3,若/D4B=a,試探究/AFG與a的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【知識點8角平分線模型】

模型一：如圖一，角平分線+對稱型

圖一

利用角平分線圖形的對稱性,在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，

可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移,這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。

【理論依據(jù)】：三邊對應(yīng)相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對應(yīng)角相等

模型二：如圖二，角平分線+垂直兩邊型

如圖二

【幾何語言】：：OC為/AOB的角平分線,D為OC上一點DE±OA,DFXOB

ACED之△OFD(AAS),

；.DE=DF

模型三：如圖三，角平分線+垂直平分線型

如圖三

【說明】構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的三線合一,也可以得到兩個全等的直角三角形,進(jìn)而

得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。

模型四：如圖四，角平分線+平行線型

14

.M

O'

P

O-N

如圖四

【說明】有角平分線時,常過角平分線上一點作角的有邊的平行線,構(gòu)造等腰三角形，

為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。

【題型8角平分線模型】

[例8]（2023春?浙江?七年級期中）如圖，DABC的外角/DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點,

PD_LAB于D,PE_LAC于E.

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長.

【變式8-1]（2023春.七年級課時練習(xí)）如圖，△ABC的外角/AC。的平分線CP與內(nèi)角/ABC平分線BP

交于點P,若/BPC=36。，貝IJ/C4P=.

【變式8-2]（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,CO平分/ACB,

BELCD,垂足E在CD的延長線上.求證：BE=；CD.

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【變式8-3](2023春?七年級課時練習(xí))(1)如圖1,射線O尸平分/MON,在射線OM,ON上分別截取

線段。4,OB,使。4=。2,在射線。尸上任取一點D,連接A。，BD.求證：AD=BD.

(2)如圖2,在放△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,CD平分/ACB,求證：BC=AC+AD.

(3)如圖3,在四邊形ABDE中，AB=9,DE=1,BD=6,C為2。邊中點，若AC平分N54E,EC平分NAED,

ZACE^120°,求AE的值.

【知識點9半角模型】

【模型解讀】如圖：已知/2=：/AOB,OA=O