第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江第三高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z1=12?3i，z2=?9+i，則zA.3，?2 B.3，?2i C.2，?3 D.2，?3i2.設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2=b2+cA.30° B.60° C.120° D.150°3.長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是(

)A.202π B.252π4.“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b滿足a?b=|aA.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CD上，且CF=2DF，AE與BF交于點(diǎn)P，若AP=λAE，則λ=A.34 B.58 C.386.已知向量a=(x,2),b=(x,x+12)，若A.1 B.?1 C.0 D.37.已知球與棱長為2的正方體的各條棱都相切，則球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為(

)A.2π B.4π C.6π D.20π8.如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心在線段CD(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量AP=mAB+nAF(m,n為實(shí)數(shù))，則m+nA.2 B.3 C.5 D.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法中，正確的是(

)A.任意單位向量的模都相等．

B.若A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則AB=BA

C.若向量a//b，b//10.如圖，一塊半徑為4的圓形鐵片上有3塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的正三角形沿虛線加工成一個(gè)正三棱錐，則該正三棱錐的(

)A.表面積為123

B.表面積為33

C.體積為211.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a：b：c=4：5：6，則下列結(jié)論正確的是(

)A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是鈍角三角形

C.若c=6，則△ABC內(nèi)切圓半徑為72

D.若c=6，則△ABC外接圓半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a與b的夾角為60°，|a|=3，|b|=6，則2a?13.如圖，△A′O′B′是水平放置的△ABC的直觀圖，A′B′=2，A′B′⊥x′軸，則△ABC的面積為______．14.祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家.祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.例如可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R，高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面α去截這兩個(gè)幾何體，設(shè)圓錐頂點(diǎn)到平面α的距離為l，則截得的截面面積都為______(用R，l表示)，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等，從而得到半球的體積公式．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a,b,c是同一平面的三個(gè)向量，a=(4,3)．

(1)若|b|=52，且a//b，求b的坐標(biāo)；

16.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且bcosC+3bsinCa+c=1．

(1)求B；

(2)若△ABC17.(本小題15分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3c?2bsinC=0．

(1)求角B的大??；

(2)從條件①b=33，a=4；條件②a=2，18.(本小題17分)

已知Rt△ABC按照斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′如圖所示，其中，B′C′=4，A′B′=2．

(1)畫出Rt△ABC的原圖并求其面積；

(2)若以Rt△ABC的邊BA為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的體積和表面積．19.(本小題17分)

已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b)，且m⊥n．

(1)求角B的大??；

(2)若b=參考答案1.A

2.B

3.C

4.B

5.A

6.B

7.B

8.C

9.AD

10.AC

11.ACD

12.3

13.214.πR15.解：(1)已知a,b,c是同一平面的三個(gè)向量，a=(4,3)，

因?yàn)閍//b，

設(shè)b=λa=(4λ,3λ)，

又|b|=52，

則|b|=16λ2+9λ2=25λ2=516.解：(1)由bcosC+3bsinCa+c=1，可得bcosC+3bsinC=a+c，

根據(jù)正弦定理，得sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC，

因?yàn)椤鰽BC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinBcosC+3sinBsinC=(sinBcosC+cosBsinC)+sinC，

整理得sinC(3sinB?cosB?1)=0，

結(jié)合sinC≠0，可得3sinB?cosB=1，即2sin(B?π6)=1，sin(B?π6)=12．

而B為三角形的內(nèi)角，可知B?π6=π6，所以B=π3；

(2)△ABC17.解：(1)∵3c?2bsinC=0，由正弦定理得3sinC?2sinBsinC=0．

∵C∈(0,π2),sinC≠0，∴sinB=32．

∵B∈(0,π2)，∴B=π3；

(2)條件①：b=33,a=4；

∵b=33,a=4，由(1)B=π3，

∴根據(jù)余弦定理得b2=c2+a2?2cacosB，即27=c2+16?4c，

化簡整理為c2?4c?11=0，解得c=2+18.解：(1)如圖所示，在Rt△ABC中，BC=AB=4，

故Rt△ABC面積為：SΔABC=12×4×4=8．

(2)該幾何體為圓錐，底面半徑r=4，圓錐的高?=4，

其體積為：V=1319.解：(1)因?yàn)閙⊥n，

所以m?n=(2a+c)cosB+bcosC=0，

由正弦定理得，(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0，

所