2026屆高中數(shù)學(xué)思想方法大合集-泰勒

公式講義

公式定理泰勒公式

【地位作用】泰勒公式的本質(zhì)是用多項式函數(shù)在某點處逼近原函數(shù).這種化繁為

簡的功能，使得泰勒公式成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.

【內(nèi)容展示】

若函數(shù)在X=X0處任意階可導(dǎo)，則

+8n\

【證明過程】

常規(guī)步驟證明

1.假設(shè)函數(shù)性質(zhì)：假設(shè)函數(shù)/(無)在某一點a處具有n階可導(dǎo)性質(zhì).

2.構(gòu)建越級數(shù)形式:使用泰勒展開的思想，將函數(shù)/(x)在點。處展開成一個無窮級數(shù)的形式,

設(shè)募級數(shù)為/(x)=/+%(x-a)+?(x-a)?+…①.

3.確定系數(shù)4：令x=a,代入①式可得%=/(a).

4.對塞級數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)并確定％:對①式求導(dǎo)得/'(x)=%+2g(x-。)+3%(x-+…②，

令x=a,代入②式可得為=/'(a).

5.對一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)并確定。2：對②式兩邊求導(dǎo)，再令》=。，可得。2=工?.

6.以此類推確定?！埃豪^續(xù)上述求導(dǎo)代入過程，可得%=

n\

7.得出泰勒公式：所以/(x)在x=a處的泰勒公式為

/(x)=/(a)+/，(a)(x-a)+^j/，，(a)(x-a)2+…+(a)(x—a)"+…

數(shù)學(xué)歸納法證明

基礎(chǔ)步驟

當(dāng)〃=1時，/(x)=/(x),這是一個顯然成立的等式.

歸納步驟

假設(shè)當(dāng)〃=上時命題成立，即函數(shù)/(X)可以按照泰勒公式展開.當(dāng)〃=左+1時，根據(jù)泰勒定理

的推論，有/(X)的展開式包含舟這一項，因此當(dāng)”=左+1時，命題

試卷第1頁，共10頁

也成立.由于在基礎(chǔ)步驟和歸納步驟中，命題都成立，所以可以得出結(jié)論：命題對于所有的

正整數(shù)”都成立.

【內(nèi)涵外延】

⑴/(O)(X)=/(X),=(x)j.

(2)上述公式成立的范圍會隨著函數(shù)的變化而變化，但是其成立范圍的研究比較復(fù)雜，這

里不加以展開，只需知道常用函數(shù)的展開式的成立范圍即可.

(3)當(dāng)/=0時，泰勒公式也稱為麥克勞林公式.

常用函數(shù)的麥克勞林展開式如下.

23n

@ln(l+x)=x-y+y--+(-l)，，-1—+-,xe(-l,l].

23n

e=1+—+——+—+…+—+…,XGR.

1!2!3!n\

③siiu=x-1+...+(-1)”

?+???XGR.

④cosx=l-|y+…+后限…，xeR.

⑤(陋)。=1+4+皿一112+……(""+l)x"+…,xe(-l,l).

上述公式右側(cè)是無窮項的和式，實際應(yīng)用時會用前幾項來近似替代.

泰勒公式的衍生不等式如下.

2

①ln(l+x)Vx(xe(-l,+oo)),ln(l+x)>x-^-(xe[0,+co)).

2

@ex>l+x,ex>1+x+—(x>0).

d

@sinx<x(x>0),sinx>x---(x>0).

6

224

ZTX、1%XX

(4)COSX21----，COSXW1-----1---.

2!2!4!

⑤當(dāng)〃eN*時，(l+x)"21+〃x(x>-1).

⑥(伯努利不等式)當(dāng)a40或時，(1+>1+tzx(x>-1)；

當(dāng)0<a<l時，(l+x『<l+crx(x>-1).

試卷第2頁，共10頁

靈活應(yīng)用一泰勒公式的正用

3111

典例1已知”正，6=cos-,c=4sin-,貝|（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

o752

【詳細解析】（方法一泰勒公式）。=衛(wèi)=1-上二，

322

7110.2520.254

D=COS—---------------1--------------，

424!

Sm24

4.I710.250.25、1包,日7,小小

c=4sm-=—^-Kl―——+——f計算得c〉b〉。，故選A.

4

c|

(方法二不等式放縮)因為：=4tan；,

b4

因為當(dāng)無e(0,四］時，x<tanx,所以tan，>，即1>1,所以c>b.

k2J44b

因為當(dāng)時，sinx<x,所以cosL=l-2sin2』>l-2（』］=—,

k2j48⑻32

故6>a,所以c>6>a.故選A.

【題后反思】利用泰勒公式進行估值，只要牢記幾個常見函數(shù)的展開式，估值時對于后續(xù)明

顯可以忽略的項進行舍棄，利用前幾項進行估計，操作思路統(tǒng)一，對小題而言更有優(yōu)勢.

【舉一反三】

1,若函數(shù)g(x)=e*+sinx+cosx22+ax,貝！|。=.

靈活應(yīng)用二泰勒公式的變形用

典例2若對xe(O,l)恒成立，則后的最大值為.

【詳細解析】(方法一)ln(l+x)=x

23

ln(l-x)=-x--——-------,

v723

貝U/(x)=In；+%=ln(l+x)-ln(l-x)=+—>2%+?］，

要使得=+對xe(O,l)恒成立，必有運2,即左的最大值為2.

試卷第3頁，共10頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】原卷版

(方法二)令g(x)=ln^―^-左卜+5］，

由題意可得g(%)>0對、￡(0,1)恒成立.

因為g(0)=0，g'(x)=+----左(1+工2),

當(dāng)左>2時，g'⑼=2-后<0,貝IJ存在%〉0,

使得當(dāng)xw(O,/］時，gr(x)<0,即g(x)在區(qū)間(0,/］上單調(diào)遞減.

所以g(/)<g(O)=O,與題意矛盾，舍去.

當(dāng)上《2時，g'(x)=-+-----左(1+工2)

X+11-X

11",2、2x4C

>---+-----2(l+x)=---->0,

x+11-x\)1-X27

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,所以g(x)>g(o)=o,符合題意.

綜上，k<2,即左的最大值為2.

【題后反思】上述借助泰勒公式的方法一是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模珜τ谛☆}而言，可提高解題速度.

【舉一反三】

2.已知數(shù)列｛。"｝滿足：%=g，%+i=(l-a”)sina?,neN,.求證：

(2)cos個2alcos??-cos,2%>.

靈活應(yīng)用三泰勒公式的靈活用

典例3已知數(shù)列｛%｝滿足再=1,xn=xH+1+ln(l+x?+1),neN,.求證：當(dāng)〃eN*時,

(1)0<%+1<%；

⑵2xn+l-xn<^.

【詳細解析】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：%>o.

當(dāng)”=1時再=1>0.假設(shè)當(dāng)"=左時，4>0,

那么當(dāng)月=左+1時，若4+1?0,則0<x?=X"］+ln(l+s+JV0,矛盾，故%>0.

因此%>0(〃eN*),所以X"=x.+］+ln(l+x“+J>x,+i,

試卷第4頁，共10頁

因此0<X"+i<x"(w€N*).

(2)(方法一分析法)由％=無.+1+111(1+尤“+|)得

x,西+i-4x,+|+2xn=片+]-2xn+l+(%+2)ln(l+x?+1).

記函數(shù)〃x)=x2-2x+(x+2)ln(l+x)(x>0),

2x2+Y

則/'(%)=---—+ln(l+x)>0(x>0),

所以函數(shù)/(無)在(o,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)>/(o)=o,

因此<1-2xn+l+(x?+1+2)ln(l+xn+1)=/(x?+1)>0,

故(neN,).

2

(方法二泰勒公式的衍生不等式)由不等式ln(l+x)Zx-5(xe[0,+8))(構(gòu)造函數(shù)易證,

略)

2

可得兌=x“+i+In(1+X?+1)>X?+I+x?+1一一2xn+I-,

故2%fV((〃eN*).

【題后反思】分析法是解題的通法，是最值得推崇的，但靈活運用泰勒公式的衍生不等式可

快速找到放縮的路徑.

【舉一反三】

3.&a=O.leo,,b=^,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

靈活應(yīng)用四泰勒公式的綜合用

典例4給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)/'(X)的導(dǎo)數(shù)叫做〃x)

的二階導(dǎo)數(shù)，記作/(無).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作了”(》)，三階導(dǎo)數(shù)的

導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，"-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做〃階導(dǎo)數(shù)，記作

/■(")(x)=[/1("T)(x)],〃24.②若〃eN*,定義加=-2)x…x3x2xl.③若函數(shù)

在包含玉的某個開區(qū)間(a,6)上具有”階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一xe(a,6)有

g(x)=〃/)+竽…)+竽―空我

試卷第5頁，共10頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】原卷版

們將g(x)稱為函數(shù)〃尤)在點》=無。處的"階泰勒展開式.例如，＞=e，在點x=0處的，邛介泰

勒展開式為1+X+]/+…+±x".根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

2n\

⑴求出工(X)=sin無在點X=0處的3階泰勒展開式修(X),并直接寫出f2(x)=cosx在點

x=0處的3階泰勒展開式g2(x)；

(2)比較(1)中工(尤)與g/x)的大小;

(3)證明：e*+sinx+cosx＞2+2x.

【詳細解析】(1)；＜'(x)=cosx,夕(x)=-sinx,f"[x)=-cosx,

⑼=1,((0)=0,q

107-1

■■?gi(^)=sin0+-(x-0)+—(x-0)-+—(x-0),即g"x)=x--x3

6

2

同理可得：g2(x)=l-1x；

(2)由(1)知：C(x)=sinx,g(x)=x--x3

l6

令〃(x)=fi(x)-g](x)=sinx-x+—x3,貝！J〃(x)=cosx-l+—x2,

62

=-sinx+x,=l-cosx>0,

???/(X)在R上單調(diào)遞增，又“⑼=0,

.,.當(dāng)xe(-co,0)時，/z"(x)<0,單調(diào)遞減；當(dāng)xe(0,+co)時，/z"(x)>0,單調(diào)遞

增；

(無)]加=A,(0)=l-l+0=0,:.h'(x)>0,

???〃(x)在R上單調(diào)遞增,又〃(0)=0,

.,.當(dāng)xe(-co,0)時，A(x)<0；當(dāng)xe(0,+oo)時，無)>0；

綜上所述：當(dāng)x<0時，Z(x)<gj(x)；當(dāng)x=0時，/(x)=gi(x)；當(dāng)x>0時，

fi(x)>&(x)；

(3)令夕(x)=/(無)一g2(%)=cosx-l+；無2,貝!|e'(x)=_sinx+x,

^(x)=l-cosx>0,二”(x)在&上單調(diào)遞增,

試卷第6頁，共10頁

又“（0）=0,"（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+。）上單調(diào)遞增，

。（%）20（0）=0,gpcosx>l-^-x2；

y=e"在點x=0處的4階泰勒展開式為：l+x+—x2+—x3，

x23

/.e=l+x+，%2+J_%3+J_%4>1+X+J_X+J-x,當(dāng)且僅當(dāng)X=0時取等號，

262426

①當(dāng)時，由（2）可知，sinx>x-1x3,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，所以

6

e"+sinx+cosx|1+xH—x2-\—x3|+1x—x3］+（1—x2］=2+2x?

I26JI6JI2J

②當(dāng)x<0時，設(shè)尸（x）=e"+sinx+cosx-2—2x,尸（0）=0,

F'（x）=ex+cosx-sinx-2=ex+V^cos［x+；］-2,/"（x）=e"-sinx-cosx,

當(dāng)％w（-1,0）,由（2）可知sinx<x-二1，所以，

6

/"（x）=e"—sinx—cosx>1+xH————x—cosx

V7266

=l-cosx+L/（3+2%）〉0,即有尸'（x）<k（°）=0；

6

當(dāng)xeJoo,—1］時，F(xiàn)z（x）=ex+V2cos［x+；］—2<'+后一2<；+V2-2<0,

所以，x<0時，尸（x）單調(diào)遞減，從而尸⑴〉尸（0）=0,即e"+sinx+cosx>2+2x.

綜上所述：ex+sinx+cosx>2+2x.

【題后反思】通過對所給材料的讀取與理解，利用泰勒展開式對所求問題進行求解.

【舉一反三】

4.給出以下三個材料：

①若函數(shù)“X）可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)了'（X）的導(dǎo)數(shù)叫做了（X）的二階導(dǎo)數(shù)，記作了"（X）.類

似的，函數(shù)“X）的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)〃x）的三階導(dǎo)數(shù)，記作「（（X）,函數(shù)“X）的

三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)〃X）的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)“X）的"1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫

做函數(shù)/（無）的〃階導(dǎo)數(shù)，記作/（"）（x）=［尸（X）］',?>4；

②若〃eN*,定義〃!=〃X（"-1）X（"-2）X-X3X2X1.

③若函數(shù)/（x）在包含%的某個開區(qū)間（。⑼上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任意xe（a,6）有

試卷第7頁，共10頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】原卷版

g(x)=〃％)+中口一毛)+^1(A/)2+-一+^^(l/)'+?「我們將8w)稱為

函數(shù)/(x)在點x=x0處的泰勒展開式.

例如/(x)=e，在點x=0處的泰勒展開式為g|(x)=l+x+：/+...+!”+..?

2n\

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

⑴求出f(x)=cosx在點x=0處的泰勒展開式g(x);

⑵用/'(x)=cosx在點x=0處的泰勒展開式前三項計算COS0.3的值，精確到小數(shù)點后4位;

(3)現(xiàn)已知/-土］++-二］［1+二］…，試求的值.

xv兀八兀八2兀八27iy\九兀八mi)狙n

T公式定理針對訓(xùn)煉

（公式正用）

3111

5.己知。=一,b-cos—,c=4sin-,貝5]

3244-----------

（公式正用）

6.設(shè)a=0.1e°」,6=g,c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

（公式正用）

7.a=21nl.01,/j=lnl.02,c=Vr（）4-l,貝!?。ǎ?/p>

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

(公式靈活用)

8.若當(dāng)x>0時，sinxAx-ad恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

(公式靈活用)

9.已知函數(shù)/(x)=(x-a)lnx(awR),導(dǎo)函數(shù)為廣(x),當(dāng)。=0時,證

明:f(x)<er+cosx-1.

(公式靈活用)

357

10.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=x-—+其中

3!5!7!

?!=1X2X3X4X...x?,此公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示

值的精確性。

試卷第8頁，共10頁

(1)估算sin0.5的值(采用四舍五入法，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)

⑵此外該公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)xe/g1時，siwcvx,

333

sinx>x--,sinx<x--+—(解答本題時，這些不等式根據(jù)需要可以直接使用).

3!3!5!

⑴證明：當(dāng)1時，2sinx-x>0；

(ii)設(shè)/(x)=-2sinx,若區(qū)間0可滿足以下條件:①a6W0；

②當(dāng)〃x)定義域為［。回時，值域也為［?；?，則稱區(qū)間“為的“封閉區(qū)間，，.試問

/(x)=-2sinx是否存在“封閉區(qū)間”？若存在，求出/(x)的所有“封閉區(qū)間”，若不存在，請

說明理由.

(公式綜合用)

11.在高等數(shù)學(xué)中，我們將y=/(x)在x=x。處及其附近可以用一個多項式函數(shù)近似表示，

,2

具體形式為：/(x)=/(xJ+/(x0)(x-x0)+^p^(x-x0)+---+^—^(x-x0)"+■■-(其

中/⑺(X)表示“X)的〃次導(dǎo)數(shù))，以上公式我們稱為函數(shù)〃X)在x=x。處的秦勒展開式.

(1)分別求e*,sinx,cosx在才=0處的泰勒展開式;

(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：建+1=0.(其中i為虛數(shù)單位)；

sinx

(3)當(dāng)時，求證：e>x+l.(參考數(shù)據(jù)Ing合0.9)

(公式綜合用)

_JC3X5V7

12.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=x-—+其中

3!5!7!

?!=1X2X3X4X...xn,此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)

333

時，siiu<x,siiw>x-二,siiu<x-L+土…，(解答本題時，這些不等式根據(jù)需要可以直

3!3!5!

接使用).

⑴證明：當(dāng)時，包竺〉:；

⑵設(shè)“x)=-2si!u,若區(qū)間卜肉滿足：當(dāng)"X)定義域為及涉］時，值域也為［“,修，則稱區(qū)

間k,“為的“和諧區(qū)間”.試問〃x)=-2s加是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出〃x)

的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.

試卷第9頁，共10頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】原卷版

試卷第10頁，共10頁

公式定理泰勒公式

【地位作用】泰勒公式的本質(zhì)是用多項式函數(shù)在某點處逼近原函數(shù).這種化繁為

簡的功能，使得泰勒公式成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.

【內(nèi)容展示】

若函數(shù)在X=X0處任意階可導(dǎo)，則

+8n\

【證明過程】

常規(guī)步驟證明

1.假設(shè)函數(shù)性質(zhì)：假設(shè)函數(shù)/(無)在某一點a處具有n階可導(dǎo)性質(zhì).

2.構(gòu)建越級數(shù)形式:使用泰勒展開的思想，將函數(shù)/(x)在點。處展開成一個無窮級數(shù)的形式,

設(shè)募級數(shù)為/(x)=/+%(x-a)+?(x-a)?+…①.

3.確定系數(shù)4：令x=a,代入①式可得%=/(a).

4.對塞級數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)并確定％:對①式求導(dǎo)得/'(x)=%+2g(x-。)+3%(x-+…②，

令x=a,代入②式可得為=/'(a).

5.對一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)并確定。2：對②式兩邊求導(dǎo)，再令》=。，可得。2=工?.

6.以此類推確定?！埃豪^續(xù)上述求導(dǎo)代入過程，可得%=

n\

7.得出泰勒公式：所以/(x)在x=a處的泰勒公式為

/(x)=/(a)+/，(a)(x-a)+^j/，，(a)(x-a)2+…+(a)(x—a)"+…

數(shù)學(xué)歸納法證明

基礎(chǔ)步驟

當(dāng)〃=1時，/(x)=/(x),這是一個顯然成立的等式.

歸納步驟

假設(shè)當(dāng)〃=上時命題成立，即函數(shù)/(X)可以按照泰勒公式展開.當(dāng)〃=左+1時，根據(jù)泰勒定理

的推論，有/(X)的展開式包含舟這一項，因此當(dāng)”=左+1時，命題

試卷第1頁，共20頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】解析版

也成立.由于在基礎(chǔ)步驟和歸納步驟中，命題都成立，所以可以得出結(jié)論：命題對于所有的

正整數(shù)”都成立.

【內(nèi)涵外延】

⑴/(O)(X)=/(X),=(x)j.

(2)上述公式成立的范圍會隨著函數(shù)的變化而變化，但是其成立范圍的研究比較復(fù)雜，這

里不加以展開，只需知道常用函數(shù)的展開式的成立范圍即可.

(3)當(dāng)/=0時，泰勒公式也稱為麥克勞林公式.

常用函數(shù)的麥克勞林展開式如下.

23n

@ln(l+x)=x-y+y--+(-l)，，-1—+-,xe(-l,l].

23n

e=1+—+——+—+…+—+…,XGR.

1!2!3!n\

③siiu=x-1+...+(-1)”

?+???XGR.

④cosx=l-|y+…+后限…，xeR.

⑤(陋)。=1+4+皿一112+……(""+l)x"+…,xe(-l,l).

上述公式右側(cè)是無窮項的和式，實際應(yīng)用時會用前幾項來近似替代.

泰勒公式的衍生不等式如下.

2

①ln(l+x)Vx(xe(-l,+oo)),ln(l+x)>x-^-(xe[0,+co)).

2

@ex>l+x,ex>1+x+—(x>0).

d

@sinx<x(x>0),sinx>x---(x>0).

6

224

ZTX、1%XX

(4)COSX21----，COSXW1-----1---.

2!2!4!

⑤當(dāng)〃eN*時，(l+x)"21+〃x(x>-1).

⑥(伯努利不等式)當(dāng)a40或時，(1+>1+tzx(x>-1)；

當(dāng)0<a<l時，(l+x『<l+crx(x>-1).

試卷第2頁，共20頁

靈活應(yīng)用一泰勒公式的正用

3111

典例1已知”正，6=cos-,c=4sin-,貝|()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

o752

【詳細解析】(方法一泰勒公式)。=衛(wèi)=1-上二，

322

7110.2520.254

D=COS—----------1--------，

424!

Sm24

4.I710.250.25、1包,日7,小小

c=4sm-=—^-Kl―——+——f計算得c〉b〉。，故選A.

4

c1

(方法二不等式放縮)因為：=4tan；,

b4

因為當(dāng)無e(0,時，x<tanx,所以tan，>，，即：>1,所以c>b.

V2J44b

因為當(dāng)時，sinx<x,所以cos』=l-2sin2』>l-2(r|=—,

k2j48⑻32

故6>a,所以c>6>a.故選A.

【題后反思】利用泰勒公式進行估值，只要牢記幾個常見函數(shù)的展開式，估值時對于后續(xù)明

顯可以忽略的項進行舍棄，利用前幾項進行估計，操作思路統(tǒng)一，對小題而言更有優(yōu)勢.

【舉一反三】

1,若函數(shù)g(x)=e*+sinx+cosx22+ax,貝！|。=.

【答案】2

【分析】方法一：由泰勒公式可得g(x)=2+2x+…，則當(dāng)x->0時，g(x)->2+2x,根據(jù)

x—>。+和x―0-時不等式成立可得Q=2；

方法二：構(gòu)造函數(shù)/(x)=e'+sinx+cosx-辦-2,并求出導(dǎo)函數(shù)，因為/(力之0恒成立且

/(0)=0,根據(jù)極值點的性質(zhì)得((0)=0,即可求解.

r2r3

【詳解】(方法一)由泰勒公式可知e*=l+x+土+土+…,

2!3!

.X3X5X2X4

sinX=X-------F----F…,cosx=l-----+----1■…,

3!5!2!4!

當(dāng)x.0時，g(x)f2+2x.

試卷第3頁，共20頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】解析版

又g(x)22+ox,

所以當(dāng)x.0+時，a<2,當(dāng)x-0-時，a>2.

綜上，a=2.

(方法二)設(shè)〃x)=e*+sinx+cosx-ax-2,xeR,

貝lj/'(x)=e*+cosx-smx-a.

由題意可得了(x”0恒成立.

因為〃0)=1+0+1-0-2=0,所以函數(shù)/(X)在x=0處取到最小值，

因為xeR,且/(x)在R上為連續(xù)函數(shù)，所以0為一(X)的極小值點，

所以/'(0)=2"=0,解得a=2.

故答案為：2.

靈活應(yīng)用二泰勒公式的變形用

典例2若/'(%)=1!1；匕>左，+■］對xe(O,l)恒成立，則人的最大值為______.

1—xI3}

丫2V3

【詳細解析】(方法一)ln(l+X)=X-y+y+--,

23

In(1-x)=-x-----,

則/(x)-^Y~—=ln(l+x)-ln(l-x)=2卜+?+..］〉+,

要使得/(x)=lng>—x+：］對xe(O,l)恒成立，必有人42,即左的最大值為2.

(方法二)令g(x)=ln1^-%［x+?］,

1-XI5J

由題意可得g(x)>0對x?0,l)恒成立.

因為g(0)=0，g'(x)=-----k(l+x2］,

X+11—X

當(dāng)上>2時，g，(0)=2-左<0,則存在%>0,

使得當(dāng)xe(O,x0］時，g'(x)<0,即g(x)在區(qū)間(0,x。］上單調(diào)遞減.

試卷第4頁，共20頁

所以g(x。)<g(O)=O,與題意矛盾，舍去.

gz(x)=^—+—---左(1+X：

當(dāng)上K2時,,2

V7x+11-x\

11-2(1+%2)=^^>0,

>---+----

x+11-x''1-x2

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，所以g(”〉g(O)=O,符合題意.

綜上，k<2,即左的最大值為2.

【題后反思】上述借助泰勒公式的方法一是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但對于小題而言，可提高解題速度.

【舉一反三】

2.已知數(shù)列｛?！埃凉M足：=1,a“+i=(l-a“)sinq,,?eN,.求證：

(2)cosJ2alcos)2出…cos<2%>.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

12

⑵設(shè)/(x)=cosx+.-l,xe(O,+⑹，先利用導(dǎo)數(shù)證明COSX21-],再利用放縮法即可

證明原不等式.

【詳解】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明了e(0,1).

當(dāng)"=1時，%=：€(0,1);

假設(shè)當(dāng)”=左時，

當(dāng)"=左+1時，ak+}=(1-ak)sin4e(0,1).

所以％e(O/)，所以1一%>0,

所以。"+i=(l-??)sint7?<(l-a?)a?

1111

由對7得丁2白廣

a[aa

%+1n\~n)n【一

111

即------->：——>1n,

aa

?+in1-a.

所以-1)=〃+2,所以-(M>2).

a??i77+2

試卷第5頁，共20頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】解析版

1

又4=§4'所以"〃工

〃+2

(2)設(shè)/(X)=C0SX+；%2一1,XG(0,+ooj,

貝Ij/'(x)=—sinx+x,/"(x)=-cosx+1>0,

所以r（%）在區(qū)間（o,+。）上單調(diào)遞增,

所以/。）之/（0）=0,

所以/（X）在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增，

12

所以/（x）=cosx+-x2-l>/（0）=0,解得COSX21—土，

22

所以cosJ2alcosJ2a2…cos2（1-q）（1-4）…（1-%）

靈活應(yīng)用三泰勒公式的靈活用

典例3已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,x“=X"+i+ln(l+x“+J,?eN,.求證：當(dāng)”eN*時,

(1)0<x?+1<xn.

(2)2x?+l-x?<^.

【詳細解析】（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：x?>0.

當(dāng)力=1時再=l〉0.假設(shè)當(dāng)〃=左時，/>0,

那么當(dāng)”=上+1時，若4+1V0,則。<項一=4+]+ln(l+z+jvo,矛盾，故x“i>0.

因此%>0(”eN*),所以％=x“+]+ln(l+x“J>x“+i,

因此0<x”+i<x,(〃eN*).

(2)(方法一分析法)由%=%+]+皿1+苫向)得

xnxn+l-4x?+1+2x?=xti-2x“+i+(x“+i+2)ln(l+x?+1).

1己函數(shù)/(x)=x2_2x+(x+2)ln(l+x)(x>0),

2x2+x

貝I]尸(x)=+]+ln(l+x)>0(x>0),

試卷第6頁，共20頁

所以函數(shù)在(o,+8)上單調(diào)遞增，所以〃x)>〃0)=0,

因此-2x?+1+(x?+1+2)ln(l+x?+1)=/(x,+1)>0,

故2x”+「x”W%|包(?eN*).

2

(方法二泰勒公式的衍生不等式)由不等式ln(l+x)Zx-'(xe［0,+8))(構(gòu)造函數(shù)易證,

略)

2

可得X”=x“+|+In(1+x?+1)>xn+l+xn+l-^>2xn+l-只工,

故V%j包(〃eN*).

【題后反思】分析法是解題的通法，是最值得推崇的，但靈活運用泰勒公式的衍生不等式可

快速找到放縮的路徑.

【舉一反三】

3.設(shè)。=0.目,6=，，c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定6,C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

設(shè)〃無)=ln(l+x)-x(x>T),因為/(x)=11二-1=一AY,

當(dāng)xe(fO)時,f\x)>0,當(dāng)xe(0,+oo)時/(x)<0,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+尤)-尤在(0,+勸單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以宿)</(。)=0,所以吟一"，故［吟=-ln0.9,即6>c,

所以〃-m)</(0)=0,所以In仿+歷<0,故/e］。，所以三°<j，

故。<6，

1lx2-

設(shè)g(x)=Xe"+ln(l-x)(0<x<1)，則/(尤)=(%+l)e*+—j-=----——，

令h(x)=e'(/-1)+1,h\x)=ex(x2+2x-1),

當(dāng)0<x〈亞-1時，"(x)<0,函數(shù)力(x)=e%，-1)+1單調(diào)遞減,

試卷第7頁，共20頁

公式定理89泰勒公式【思想方法】解析版

當(dāng)也-1<X<1時，h'(x)>o,函數(shù)3