第七節(jié)函數(shù)的圖象內(nèi)容索引必備知識·自主學(xué)習(xí)核心考點·精準研析核心素養(yǎng)測評【教材·知識梳理】1.利用描點法作函數(shù)圖象的流程2.圖象變換(1)平移變換：【常用結(jié)論】

1.關(guān)于對稱的三個重要結(jié)論(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(a，b)中心對稱.(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a+x)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.2.函數(shù)圖象平移變換八字方針(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量.(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若函數(shù)y=f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.(

)(2)當x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同. (

)(3)函數(shù)y=af(x)與y=f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同. (

)(4)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于原點對稱.(

)提示:(1)√.若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)×.如f(x)=2x-x2時,|f(x)|=|2x-x2|與f(|x|)=2|x|-x2在(0,+∞)上的圖象不同.(3)×.如f(x)=x2時,2f(x)=2x2與f(2x)=4x2的圖象不相同.(4)×.函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽略函數(shù)的某些性質(zhì)考點一、T1,2,32忽略絕對值的作用考點二、T(1)(3)3混淆平移方向,平移單位不清考點二、T(2)4忽略函數(shù)的單調(diào)性考點三、角度25忽略函數(shù)的定義域、值域考點三、角度3【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修1P78鞏固與提高T16(1)改編)函數(shù)f(x)=x+的圖象關(guān)于 (

)

A.y軸對稱 B.x軸對稱C.原點對稱 D.直線y=x對稱【解析】選C.函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù),關(guān)于原點對稱.2.(必修1P68探索與研究改編)小明騎車上學(xué),開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間后,為了趕時間加快速度行駛,與以上事件吻合得最好的圖象是

(

)【解析】選C.小明勻速運動時,所得圖象為一條直線,且距離學(xué)校越來越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段時間,與學(xué)校的距離不變,故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛,故排除B.3.(必修1P78鞏固與提高T8改編)下列圖象是函數(shù)y=的圖象的是

(

)【解析】選C.其圖象是由y=x2圖象中x<0的部分和y=x-1圖象中x≥0的部分組成.

考點一函數(shù)圖象的識別與辨析

【題組練透】1.已知y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖,則函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的圖象可以是(

)

2.(2019·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)=在[-π,π]的圖象大致為 (

)3.(2018·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=的圖象大致為 (

)4.函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可以是 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號(

)A.f(x)=x+sinxB.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=xcosx【解析】1.選A.根據(jù)f(x)和g(x)的圖象,可得g(x)在x=0處無意義,所以函數(shù)h(x)=f(x)g(x)在x=0處無意義;因為f(x)與g(x)都為奇函數(shù),所以函數(shù)h(x)=f(x)g(x)是偶函數(shù),故排除D;當x取很小的正數(shù)時,f(x)<0,g(x)>0,所以f(x)g(x)<0,所以B、C錯誤,故A符合要求.2.選D.由f(-x)==-f(x),得f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱.又f>1,f(π)=>0.故選D.3.選B.因為x≠0,f(-x)==-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),舍去選項A,因為f(1)=e-e-1>0,所以舍去選項D;因為f′(x)=所以x>2,f′(x)>0,所以舍去選項C.4.選D.函數(shù)為奇函數(shù),排除C;函數(shù)f(x)=x+sinx只有一個零點,排除A;B選項中x≠0,所以B不正確.

【規(guī)律方法】辨析函數(shù)圖象的入手點(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性.(4)從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).(5)從函數(shù)的特征點,排除不合要求的圖象.

考點二作函數(shù)的圖象

【典例】分別作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=|lgx|.(2)y=2x+2.(3)y=x2-2|x|-1.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)由y=|lgx|,想到y(tǒng)=lgx的圖象(2)由y=2x+2,想到y(tǒng)=2x的圖象以及圖象的平移變換(3)由y=x2-2|x|-1,想到二次函數(shù)的圖象以及偶函數(shù)圖象的特點【解析】(1)y=圖象如圖①所示.(2)將y=2x的圖象向左平移2個單位.圖象如圖②所示.(3)y=圖象如圖③所示.

【規(guī)律方法】作函數(shù)圖象的兩種常用方法(1)直接法:當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本初等函數(shù)時,就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出.(2)圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到,可利用圖象變換作出,但要注意變換順序.【變式訓(xùn)練】1.作出下列各函數(shù)的圖象:(1)y=x-|x-1|.

(2)y=(3)y=|log2x-1|.【解析】(1)根據(jù)絕對值的意義,可將函數(shù)式化為分段函數(shù)y=可見其圖象是由兩條射線組成,如圖(1)所示.(2)作出y=的圖象,保留y=的圖象中x≥0的部分,加上y=的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對稱部分,即得y=的圖象,如圖(2)實線部分.(3)先作出y=log2x的圖象,再將其圖象向下平移一個單位,保留x軸上方的部分,將x軸下方的圖象翻折到x軸上方,即得y=|log2x-1|的圖象,如圖(3)所示.2.為了得到函數(shù)f(x)=log2x的圖象,只需將函數(shù)g(x)=log2

的圖象________.

【解析】g(x)=log2=log2x-3=f(x)-3,因此只需將函數(shù)g(x)的圖象向上平移3個單位即可得到函數(shù)f(x)=log2x的圖象.答案:向上平移3個單位

考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用

命題精解讀考什么:(1)作函數(shù)圖象、識別函數(shù)圖象、由圖象求解析式、解方程、解不等式、求參數(shù)值等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).怎么考:多以選擇、填空題的形式考查,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)形結(jié)合思想、靈活運用知識的能力以及分析問題解決問題的能力.新趨勢:以函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體,圖象與性質(zhì)、數(shù)與形、求參數(shù)值或范圍交匯考查.學(xué)霸好方法1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)的四種對應(yīng)關(guān)系(1)圖象的左右范圍對應(yīng)定義域.(2)上下范圍對應(yīng)值域.(3)上升、下降趨勢對應(yīng)單調(diào)性.(4)對稱性對應(yīng)奇偶性2.利用函數(shù)的圖象確定方程的根或不等式的解集的方法:(1)方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標;(2)不等式f(x)<g(x)的解集是函數(shù)f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點的橫坐標的集合.命題角度1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)【典例】已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是 (

)A.f(x)是偶函數(shù),遞增區(qū)間是(0,+∞)B.f(x)是偶函數(shù),遞減區(qū)間是(-∞,1)C.f(x)是奇函數(shù),遞減區(qū)間是(-1,1)D.f(x)是奇函數(shù),遞增區(qū)間是(-∞,0)【解析】選C.將函數(shù)f(x)=x|x|-2x去掉絕對值得f(x)=畫出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖,觀察圖象可知,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(-1,1)上單調(diào)遞減.【解后反思】利用函數(shù)圖象哪些特征研究函數(shù)的性質(zhì)?提示:圖象的左右、上下范圍,自左向右的變化趨勢以及圖象的對稱性.命題角度2利用圖象解不等式【典例】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=x2-x.若f(a)<4+f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(a)<4+f(-a)可轉(zhuǎn)化為f(a)<2,作出f(x)的圖象,如圖:

由圖易知:a<2.答案:(-∞,2)【解后反思】利用圖象解不等式的適用條件是什么?提示:不等式兩端對應(yīng)函數(shù)的圖象都能畫出來,且其交點坐標也能求出來.命題角度3利用圖象確定方程解的個數(shù)【典例】關(guān)于x的方程exlnx=1的實根個數(shù)是________. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】由exlnx=1(x>0)得lnx=(x>0),即lnx=(x>0).令y1=lnx(x>0),y2=(x>0),在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y1,y2的圖象,圖象如圖所示.根據(jù)圖象可知兩函數(shù)只有一個交點,所以原方程實根的個數(shù)為1.答案:1【解后反思】方程f(x)=g(x)的解的個數(shù)與函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象有何關(guān)系?提示:函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點的個數(shù)就是方程f(x)=g(x)的解的個數(shù).【題組通關(guān)】【變式鞏固·練】1.(2020·大連模擬)下列函數(shù)f(x)的圖象中,滿足f>f(3)>f(2)的只可能是 (

)【解析】選D.因為f>f(3)>f(2),所以函數(shù)f(x)有增有減,排除A,B.在C中,f<f(0)=1,f(3)>f(0),即f<f(3),排除C.2.已知函數(shù)f(x)=關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實根,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】問題等價于函數(shù)y=f(x)與y=-x+a的圖象有且只有一個交點,如圖,結(jié)合函數(shù)圖象可知a>1.

答案:(1,+∞)3.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,對于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】如圖作出函數(shù)f(x)=|x+a|與g(x)=x-1的圖象,觀察圖象可知:當且僅當-a≤1,即a≥-1時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范圍