第1講函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題專題七

應(yīng)用題板塊三專題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]應(yīng)用題考查是江蘇高考特色，每年均有考查，試題難度中等或中等偏上.命題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)相關(guān)模型解決實(shí)際問題的能力.與函數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用題，可以通過建立函數(shù)、不等式模型，解決實(shí)際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實(shí)際問題.熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破例1

某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬元.為了提高工人的收入，工廠將進(jìn)行技術(shù)改造.若改造后，有x(100≤x≤150)人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元；剩下的人從事其他服務(wù)行業(yè)，這些人的人均年收入有望提高2x%.(1)設(shè)技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；熱點(diǎn)一和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題解答其中100≤x≤150，x∈N*.(2)當(dāng)x為多少時(shí)，能使這200人的人均年收入達(dá)到最大，并求出最大值.解答答①當(dāng)100≤25(a＋3)≤150，即1≤a≤3，a∈N*時(shí)，②當(dāng)25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時(shí)，函數(shù)y在[100,150]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝150時(shí)，y取最大值，即ymax＝3a＋4.當(dāng)a＞3，a∈N*，x＝150時(shí)，y取最大值3a＋4.二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題的一個(gè)重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì).思維升華解答跟蹤演練1某企業(yè)參加A項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為1000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從A項(xiàng)目中調(diào)出x人參與B項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤

萬元(a＞0)，A項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高0.2x%.(1)若要保證A項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加B項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？解根據(jù)題意可得(1000－x)(10＋10×0.2x%)≥1000×10，整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500，最多調(diào)出的人數(shù)為500.解答(2)在(1)的條件下，當(dāng)從A項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的40%時(shí)，能使得A項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.對x∈[0,400]恒成立，當(dāng)x＝0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)0＜x≤400時(shí)，可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數(shù)，故f(x)min＝f(400)＝1025，熱點(diǎn)二和不等式有關(guān)的應(yīng)用題解答例2秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項(xiàng)培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時(shí)還有增肥增產(chǎn)作用.某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時(shí)讓秸稈還田，花137600元購買了一臺(tái)新型聯(lián)合收割機(jī)，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費(fèi))；該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費(fèi)維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費(fèi)維修保養(yǎng)，所付費(fèi)用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付費(fèi)1800元，第五年付費(fèi)6000元.(1)試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費(fèi)用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式；解依題意知，當(dāng)n＝2時(shí)，y＝1800；當(dāng)n＝5時(shí)，y＝6000，解答(2)這臺(tái)收割機(jī)使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－維修保養(yǎng)費(fèi)用－購買機(jī)械費(fèi)用)解記使用n年，年均收益為W(元)，所以這臺(tái)收割機(jī)使用14年，可使年均收益最大.運(yùn)用基本不等式求解應(yīng)用題時(shí)，要注意構(gòu)造符合基本不等式使用的形式，同時(shí)要注意等號成立的條件.思維升華解答跟蹤演練2小張于年初支出50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬元.小張?jiān)谠撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售收入為(25－x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出？解設(shè)大貨車到第x年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬元，則y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*，即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*，由－x2＋20x－50＞0，故從第三年開始運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出.解答(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大？(利潤＝累計(jì)收入＋銷售收入－總支出)解因?yàn)槔麧櫍嚼塾?jì)收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年平均利潤為當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號成立.答第5年年底出售貨車，獲得的年平均利潤最大.熱點(diǎn)三和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題解答例3

(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點(diǎn)D把桿AC分成AD，CD兩段，其中兩固定點(diǎn)A，B間距離為1米，AB與桿AC的夾角為60°，桿AC長為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米.設(shè)∠ADB＝α，則制作整個(gè)支架的總成本記為S元.(1)求S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并求出α的取值范圍；解答(2)問AD段多長時(shí)，S最小？αα0cosαS′－0＋S

極小值

諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，用三角函數(shù)知識(shí)來求解.思維升華解答跟蹤演練3某單位將舉辦慶典活動(dòng)，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖).設(shè)計(jì)要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù)).彩門的下底BC固定在廣場底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l.(1)請將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l＝f(α)；解過D作DH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示.解答(2)問當(dāng)α為何值時(shí)l最小，并求最小值.αf′(α)－0＋f(α)

極小值

真題押題精練解答1.某學(xué)校有長度為14m的舊墻一面，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126m2的活動(dòng)室，工程條件是：①

建1m新墻的費(fèi)用為a元；②

修1m舊墻的費(fèi)用是

元；③

拆去1m舊墻所得的材料，建1m新墻的費(fèi)用為

元，經(jīng)過討論有兩種方案：(1)利用舊墻的一段xm(0<x＜14)為矩形廠房的一面邊長；解設(shè)利用舊墻的一面邊長為xm，當(dāng)0＜x＜14時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時(shí)取最小值35a.(2)矩形活動(dòng)室利用舊墻的一面邊長為x≥14.問如何利用舊墻，即x為多少時(shí)建墻的費(fèi)用最?。?1)(2)兩種方案，哪種方案最好？解答解當(dāng)x≥14時(shí)，故f(x)在[14，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝14時(shí)取最小值35.5a.答第(1)種方案最省，即當(dāng)x＝12m時(shí)，總費(fèi)用最省，為35a元.解答2.某油庫的容量為31萬噸，年初儲(chǔ)油量為10萬噸，從年初起計(jì)劃每月月初先購進(jìn)石油m萬噸，然后再調(diào)出一部分石油來滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求.若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸，區(qū)域外前x個(gè)月的需求量y(萬噸)與x的函數(shù)關(guān)系為y＝5＋(p＞0,1≤x≤10，x∈N*).已知前4個(gè)月區(qū)域外的需求量為15萬噸.(1)試寫出第x個(gè)月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲(chǔ)油量M(x)(萬噸)的函數(shù)表達(dá)式；解因?yàn)榍?個(gè)月區(qū)域外的需求量為15萬噸，解答(2)要使油庫中的石油在前10個(gè)月內(nèi)任何時(shí)候都不超出油庫的容量，又能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域