第1講空間中的平行與垂直專(zhuān)題二

立體幾何板塊三專(zhuān)題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]自從江蘇實(shí)施新課標(biāo)以來(lái)，命題者嚴(yán)格執(zhí)行江蘇高考對(duì)立體幾何的考試說(shuō)明要求，大幅度降低難度，命題的焦點(diǎn)是空間平行與垂直.試題總體在送分題的位置，但是對(duì)考生的規(guī)范答題要求比較高.熱點(diǎn)分類(lèi)突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類(lèi)突破例1

(1)若直線(xiàn)a與平面α不垂直，則在平面α內(nèi)與直線(xiàn)a垂直的直線(xiàn)有________條.熱點(diǎn)一空間線(xiàn)面關(guān)系的判定無(wú)數(shù)答案(2)(2018·江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)已知a，b，c是三條不同的直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，那么下列命題中正確的序號(hào)為_(kāi)_______.(填序號(hào))①若a⊥c，b⊥c，則a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若a⊥α，b⊥α，則a∥b；④若a⊥α，a⊥β，則α∥β.解析答案③④解析可以借助長(zhǎng)方體進(jìn)行判斷，①中的a，b也可能相交或異面；②中的α，β可能相交，③④正確.解決空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線(xiàn)面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.思維升華解析答案跟蹤演練1如圖，平面α與平面β相交于BC，AB?α，CD?β，點(diǎn)A?BC，點(diǎn)D?BC，則下列敘述正確的是________.(填序號(hào))①直線(xiàn)AD與BC是異面直線(xiàn)；②過(guò)AD只能作一個(gè)平面與BC平行；③過(guò)AD只能作一個(gè)平面與BC垂直；④過(guò)D只能作唯一平面與BC垂直，但過(guò)D可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與BC平行.①②④解析由異面直線(xiàn)的判定定理得直線(xiàn)AD與BC是異面直線(xiàn)；在平面β內(nèi)僅有一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D且與BC平行，這條直線(xiàn)與AD確定一個(gè)平面與BC平行，即過(guò)AD只能作一個(gè)平面與BC平行；若AD垂直于平面α，則過(guò)AD的平面都與BC垂直，因此③錯(cuò)；過(guò)D只能作唯一平面與BC垂直，但過(guò)D可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與BC平行.故①②④正確.熱點(diǎn)二直線(xiàn)與平面的平行與垂直證明例2

(2018·江蘇揚(yáng)州中學(xué)調(diào)研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線(xiàn)段PC中點(diǎn)，G為線(xiàn)段EC中點(diǎn).(1)求證：FG∥平面PBD；證明連結(jié)PE，因?yàn)镚，F(xiàn)分別為EC和PC的中點(diǎn)，∴FG∥PE，又FG?平面PBD，PE?平面PBD，∴FG∥平面PBD.證明(2)求證：BD⊥FG.證明∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵FG?平面PAC，∴BD⊥FG.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線(xiàn)線(xiàn)垂直和線(xiàn)線(xiàn)平行，常用方法如下：(1)證明線(xiàn)線(xiàn)平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線(xiàn)同時(shí)和第三條直線(xiàn)平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線(xiàn)定理證明線(xiàn)線(xiàn)平行；四是利用線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線(xiàn)即高線(xiàn)的性質(zhì)；②勾股定理；③線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，即要證兩線(xiàn)垂直，只需證明一條直線(xiàn)垂直于另一條直線(xiàn)所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a.思維升華證明跟蹤演練2

(2018·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn).(1)若PB＝PD，求證：PC⊥BD；證明取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)CO，PO，因?yàn)镃D＝CB，所以△CBD為等腰三角形，所以BD⊥CO.因?yàn)镻B＝PD，所以△PBD為等腰三角形，所以BD⊥PO.又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO，所以BD⊥平面PCO.因?yàn)镻C?平面PCO，所以PC⊥BD.證明(2)求證：CE∥平面PAD.證明由E為PB的中點(diǎn)，連結(jié)EO，則EO∥PD，又EO?平面PAD，PD?平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO?平面PAD，AD?平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD.熱點(diǎn)三平面與平面的平行與垂直證明例3

(2018·江蘇鹽城中學(xué)模擬)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1中點(diǎn).(1)求證：AQ∥平面PBC1；證明取AB中點(diǎn)為R，連結(jié)PR，B1R.由已知點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1中點(diǎn)可以證得，四邊形AQB1R，PRB1C1都為平行四邊形，所以AQ∥B1R，B1R∥PC1，所以AQ∥PC1，因?yàn)锳Q?平面PBC1，PC1?平面PBC1，所以AQ∥平面PBC1.證明(2)若BC＝CC1，求證：平面A1B1C⊥平面PBC1.證明因?yàn)樗睦庵鵄BCD－A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，BC＝CC1，所以B1C⊥BC1，因?yàn)锳1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1，因?yàn)锳1B1∩B1C＝B1，A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又因?yàn)锽C1?平面PBC1，所以平面A1B1C⊥平面PBC1.證明面面平行或面面垂直的關(guān)鍵是尋找線(xiàn)面平行或線(xiàn)面垂直，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.思維升華解答跟蹤演練3

如圖，在四面體ABCD中，AD＝BD，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn)，且平面EFG∥平面BCD.解因?yàn)槠矫鍱FG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G為AD的中點(diǎn)，所以E為AB的中點(diǎn)，證明(2)求證：平面EFD⊥平面ABC.證明因?yàn)锳D＝BD，由(1)知，E為AB的中點(diǎn)，所以AB⊥DE，又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，由(1)知，EF∥BC，所以AB⊥EF，又DE∩EF＝E，DE，EF?平面EFD，所以AB⊥平面EFD，又AB?平面ABC，所以平面EFD⊥平面ABC.真題押題精練1.(2018·江蘇)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；證明在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.證明(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.證明證明在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B.又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.(2018·江蘇南京師大附中模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P，C)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.證明(1)求證：AB∥EF；證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB∥CD.又AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因?yàn)锳B?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平